1.1 Wyjaśnić pojęcia: automatyka, automatyzacja, teoria sterowania, sterowanie ręczne, sterowanie automatyczne.

1.2 Scharakteryzować krótko historię rozwoju automatyki.

1.3 Wyjaśnić istotę sterowania w układzie zamkniętym i w układzie otwartym.

1.4 Czym różni się sterowanie od regulacji?

1.5 Omówić wady i zalety sterowania w układzie otwartym i zamkniętym.

1.6 Wyjaśnić pojęcia: sygnał wejściowy, sygnał wyjściowy, sygnał uchybu, regulator, człon wykonawczy, obiekt sterowania, sprzężenie zwrotne, przewodnik pomiarowy.

2.1 Przedstawić istotę oraz podstawowe właściwości ciągłego przekształcenia Laplace`a

2.2 przedstawić sposób wyznaczania oryginału transformaty Laplace`a na podstawie:

-metod rozkładu na ułamki proste

-metody residuów

-rozkładu sygnału wejściowego na składniki.

2.3 Omówić problem dyskretyzacji sygnału ciągłego.

2.4 Scharakteryzować strukturę układu dyskretnego.

2.5 Podać przykłady kwantyzacji oraz próbkowania sygnału.

2.6 Jaką funkcję w układzie sterowania spełnia impulsator (przewodnik analogowo-cyfrowy)?

2.7 Jaką funkcję w układzie sterowania spełnia ekstrapolator (przewodnik cyfrowo-analogowy)?

2.8 Narysować przykładowe widmo ciągłego i dyskretnego sygnału harmonicznego.

2.9 Sformułować twierdzenia Shannona-Kotielnikowa.

2.10 Podać istotę i podstawowe właściwości dyskretnego przekształcenia.

2.11 Omówić metody odwrotnego przekształcenia.

3.1 Wymienić podstawowe formy opisu układu dynamicznego.

3.2 Przedstawić opis układu za pomocą równań różniczkowych.

3.3 Przedstawić opis układu za pomocą równań różnicowych.

3.4 Scharakteryzować opis układu ciągłego i dyskretnego za pomocą transmitancji operatorowej.

3.5 Scharakteryzować opis układu ciągłego i dyskretnego za pomocą transmitancji widmowej.

3.6 Co to jest charakterystyka statyczna układu? Podaj sposób jej wyznaczania na podstawie eksperymentu, równania różniczkowego i transmitancji operatorowej

3.7 Przedstawić opis układu ciągłego za pomocą równań stanu.

3.8 Przedstawić opis układu dyskretnego za pomocą równań stanu.

3.9 Wyprowadzić związek między równaniami stanu a transmitancją dla układu ciągłego i dyskretnego.

3.10 Omówić podstawowe charakterystyki czasowe układu ciągłego i dyskretnego

3.11 Analityczne i eksperymentalne wyznaczanie charakterystyk częstotliwościowych.

4.1 Wymienić i omówić standardowe sygnały wymuszające.

4.2 Scharakteryzować klasyczne metody analizy.

4.3 Omówić operatorowe metody analizy.

4.4 Jakie są podstawowe zasady budowy schematów blokowych?

4.5 Podstawowe metody przekształcenia schematów blokowych - omówić i podać przykłady.

4.6 Wyprowadzić zależności określające transmitancje ciągłego i dyskretnego układu: otwartego, zamkniętego oraz uchybową.

4.7 Omówić metody dyskretnej aproksymacji układów ciągłych

4.8 Wymienić i podać interpretacje fizyczną podstawowych parametrów członów dynamicznych. Oblicz parametry dla zadanej postaci transmitancji układu

4.9 Przedstawić problem wyznaczania uchybu ustalonego

4.10 Omówić podstawowe człony dynamiczne (proporcjonalny, inercyjny pierwszego rzędu, całkujące, różniczkujące, inercyjne drugiego rzędu i opóźniający )

4.11 Zapisać transmitancje układu ciągłego bez zer i z zerami w przestrzeni stanów

4.12 zapisać transmitancje układu dyskretnego bez zer i z zerami w przestrzeni stanów.

4.13 co to są wartości własne układu ?

4.14 odpowiedz czasowa układu swobodnego i wymuszonego, opisanego równaniami stanu

5.1 Wyjaśnij pojęcia: układ stabilny asymptotycznie, stabilny nieasymptotycznie, stabilny globalnie, stabilny lokalnie i niestabilny

5.2 Co to jest punkt (stanu) równowagi

5.3 Podać warunek konieczny i wystarczający stabilności asymptotycznej układu ciągłego

5.4 Algebraiczne kryteria stabilności ciągłych układów dynamicznych

5.5 Częstotliwościowe kryteria stabilności ciągłych układów dynamicznych

5.6 Podać warunek konieczny i wystarczający stabilności asymptotycznej układu dyskretnego

6.1 Przedstawić istotę problemu układu regulacji

6.2 Napisać transmitancje oraz narysować charakterystyki skokowe i częstotliwościowe podstawowych regulatorów analogowych

6.3 Napisać równania podstawowych regulatorów dyskretnych

6.4 Wymienić metody zwiększenia dokładności statycznej układu

6.5 Synteza układów regulacji bazująca na rozkładzie pierwiastków równania charakterystycznego

6.6 Scharakteryzować metody czasowe syntezy ciągłych i dyskretnych układów regulacji (zasada zieglera-nicholsa)

6.7 Scharakteryzować metody przestrzeni stanów syntezy układów ciągłych

6.8 Przedstawić sposób wyznaczania transmitancji regulatora dla zadanej transmitancji dyskretnego układu zamkniętego

6.9 scharakteryzować metody przestrzeni stanów syntezy układów dyskretnych

1.1.

Automatyka - dziedzina nauki i techniki zajmujaca się teorią i praktyczną realizacją nadzoru i sterowania obiektami technologicznymi bez udziału lub z ograniczonym udziałem człowieka. W automatyce mozemy wydzielić 3 podstawowe działy:

- podstawy teoretyczne automatyki

- budowa elementów i urządzeń automatyki

- zastosowanie automatyki w różnych dziedzinach techniki

Automatyzacja to znaczne ograniczenie lub zastąpienie (proces zastępowania) ludzkiej pracy fizycznej i umysłowej przez pracę maszyn działających na zasadzie samoregulacji i wykonujących określone czynności bez udziału człowieka. Również zastosowanie maszyn do pracy niemożliwej do wykonania w inny sposób.

Teoria sterowania jest działem nauki i techniki zajmującym się zachowaniem układów dynamicznych w czasie. Sterowaniem obiektu nazywa się oddziaływanie za pomocą sygnałów wejściowych na proces zachodzący w obiekcie, tak aby sygnał wyjściowy miał pożądaną wartość lub przebieg czasowy. Inaczej mówiąc, jest to więc celowe oddziaływanie na obiekt za pośrednictwem wielkości wejściowych, aby jego wielkości wyjściowe przyjęły określoną postać lub wartość

Sterowanie ręczne - sterowanie prowadzone przez człowieka, na strumień wyjściowy (zmianę jego wartości) wpływa człowiek

Sterowanie automatyczne - sterowanie prowadzone przez specjalne urządzenie sterujące (realizowane przez układ sterujący), na strumień wyjściowy (zmianę jego wartości) wpływa urządzenie sterujące

1.3

Sterowanie w układzie otwartym - na obiekt sterowania oddziałujemy wielkością sterującą zmienianą w świadomy sposób, tak aby wielkość wyjściowa przyjmowała określona wartość. Wielkość wyjściowa nie wpływa na wielkość wejściową. Ponieważ na obiekt mogą działać zakłócenia (wielkości podlegające zmianom przypadkowym), dlatego też wartość wyjściowa pod wpływem tych zakłóceń (zewnętrznych) często odchyla się od wartości żądanej. Ze względu na oddziaływanie jednokierunkowe w torze sterowania, wielkość sterująca powinna być dostosowana do zakłóceń jak i do wielkości wyjściowej. Np. Sygnał radiowy

Sterowanie w układzie zamkniętym - Urządzenie sterujące wyznacza wartości sygnału sterującego na podstawie wartości sygnału wejściowego i wyjściowego. Np. Pływakowy regulator poziomu wody.

1.4

Ze sterowaniem mamy do czynienia w układzie otwartym, z regulacją zaś w układzie zamkniętym, gdzie układ podlega samoregulacji.

1.5

Układ zamknięty jest o wiele praktyczniejszy i lepszy od układu otwartego. Sterowanie w układzie otwartym jest fatalne, wiąże się to z tym że brak jest sprzężenia zwrotnego (występuje ono w układzie zamkniętym). W układzie otwartym na obiekt sterowania mogą działać zakłócenia, dlatego wielkość wyjściowa często odchyla się znacznie od wartości żądanej. Natomiast w układzie zamkniętym wielkość wyjściowa jest ściśle wyznaczona przez wartość sygnału wejściowego.

1.6

Sygnał wejściowy - strumień materiałowy, energetyczny lub informacyjny, którego natężenie możemy zmieniać, mogący wpływać na procesy fizyczne zachodzące w obiekcie

Sygnał wyjściowy - strumień materiałowy, energetyczny lub informacyjny będący wynikiem przetwarzania w obiekcie strumieni wejściowych.

Sygnał uchybu (błąd regulacji) - róznica sygnałów e(t): zadanego w(t) i regulowanego y(t), porównanych na wejściu regulatora. Na podstawie wartości sygnału błędu e(t), regulator wytwarza odpowiedni sygnał sterujący u(t), tak aby wartość błedu była możliwie bliska zeru. (Inaczej mówiąc jest to różnica sygnału wejściowego i wyjściowego)

Regulator - urządzenie przetwarzające sygnał uchybu na sygnał sterujący obiektem

Człon wykonawczy - przetwarza sygnał wyjściowy z regulatora na sygnał o naturze fizycznej, przystosowany do sterowania obiektem..

Obiekt sterowania - urządzenie, w którym zachodzi proces technologiczny, czyli czynność lub zespół czynności, polegających na przetwarzaniu pewnych wielkości fizycznych z danej formy na inną. Z punktu widzenia automatyki obiekt lub proces w nim zachodzący są więc pojęciami prawie równoznacznymi. Obiekty można dzielić tak jak procesy. Obiekt jest to element dla króego budowany jest układ sterowania powiązany z otoczeniem przez oddziaływania, którymi wprowadza się lub wyprowadza różnorodne strumienie.

Sprzężenie zwrotne - wartość sygnału wyjściowego, mająca wpływ na sygnał sterujący.

Przetwornik pomiarowy - przetwarza wielkość regulowaną na wielkość odpowiednią dla danego elementu regulacyjnego.

2.1

Przekształcenie Laplace'a

F(s)=L[f(t)]= ₀∫^∞ f(t)e^-stdt

stosowane jest w celu usystematyzowania rozwiązywania równań różniczkowych.

Przekształcenie Laplace'a:

Zalety:

- włącza automatycznie warunki początkowe

- rozwiązanie uzyskuje się przez proste operacje algebraiczne

- umożliwia proste ujęcie nieciągłych sygnałów wejściowych

- rozwiązania ogólne i szczególne uzyskuje się jednocześnie.

Właściwości:

- liniowość

L[a₁f₁(t)+a₂f₂(t)]=a₁F₁(s)+a₂F₂(s)

- przesunięcie w dziedzinie zmiennej rzeczywistej

L[f(t-t₀)*1(t-t₀)]=e^-st0F(s)

- różniczkowanie w dziedzinie zmiennej rzeczywistej

L[dⁿf(t)/dtⁿ]=sⁿF(s)-∑(k=0..n-1) s^n-k-1f^(k)(0⁺), a gdy n=1 to:

L[df(t)/dt]=sF(s)-f(0⁺)

- transformata funkcji okresowej

jeśli f(t)=f(t+kT), k=1, 2, 3,…

oraz F_T(s)=₀∫^T f(t)e^-stdt to:

L[f(t)]= F_T(s)/1-e^-sT

- wartość końcowa

lim_t->0 f(t)= lim_s->0 sF(s)

- wartość początkowa

lim_t->∞ f(t)= lim_s->∞ sF(s)

2.2.

Wyznacz. oryginału transformaty:

• metoda rozkładu na uł. Proste

• metoda residuów

• rozkładu sygnału wejściowego na składniki

2.3.

Dyskretyzacja sygnału:

Jest to przekształcenie sygnału ciągłego w dyskretny. Rozróżnia się dyskretyzację w poziomie (kwantowanie) (występuje w układach przekaźnikowych) i dyskretyzację sygnału w czasie (próbkowanie). Układy dyskretne (cyfrowe) mogą być układami liniowymi lub nieliniowymi (jeśli występuje proces kwantyzacji). Są układami regulacji automatycznej, w których informacja jest przekazywana tylko w dyskretnych chwilach, zwanych chwilami impulsowania (próbkowania). Przedstawienie sygnału ciągłego w postaci ciągu impulsów jest nazywane modulacją impulsową i w teorii jest realizowane za pomocą impulsatora.

2.4.

Struktura układu dyskretnego:

(elementy układu regulacji)

• impulsator - element przetwarzający sygnał ciągły e(t) na impulsy e*(t)

• regulator impulsowy - przetwarza ciąg impulsów e*(t) w ciąg impulsów u*(t)

• ekstrapolator - ciąg impulsów u*(t) jest zastępowany np. funkcją schodkową u(t)

(elementy układu o charakterze aplikacyjnym)

• przetwornik A/C - przetwornik analogowo-cyfrowy, próbkując cyklicznie sygnał uchybu e(t) przetwarza go na sygnał cyfrowy (binarny) e*(t),

• regulator cyfrowy - urzadzenie mikroprocesorowe, które w wyniku cyklicznego przetworzenia sygnału e*(t) wyznacza potrzebną wartość sygnału sterującego u*(t)

• przetwornik C/A przekształca wprowadzaną cyklicznie wartość sygnału sterującego u*(t) na schodkowy sygnał sterujący u(t)

• proces - obiekt regulacji o charakterze ciągłym

2.5.

a) Przykład kwantylizacji sygnału

b) Przykład próbkowania sygnału

2.6.

Impulsator w układzie sterowania jego funkcję spełnia przetwornik analogowo-cyfrowy. Ze względu na trudny opis matematyczny takiego impulsatora stosuje się pewien idealny jego model, zwany impulsatorem idealnym. W modelu tym każdy z impulsów rzeczywistych jest zastąpiony przez impuls o nieskończenie małej szerokości, nieskończenie dużej wysokośći i o powierzchni jednostkowej pomnożonej przez wartość funkcji w chwilach próbkowania.

2.7.

W każdym dyskretnym układzie sterowania występuje przynajmniej 1 ekstrapolator. W układzie praktycznym funkcję tę spełnia przetwornik cyfrowo-analogowy. Jego zadaniem jest aproksymacja sygnału między kolejnymi próbkami, zwykle funkcją stałą. W procesie ekstrapolacji można uwzględniać jedynie przeszłe i bieżące wartości dyskretne sygnału (ze względu na realizowalność fizyczną).

2.8.

Widmo sygnału impulsowego jest sumą wielokrotnie powtórzonego sygnału ciągłego, przesuniętego o wielokrotność w_i=2pi/T

a) widmo częstotliwościowe sygnału ciągłego

b) widmo częstotliwościowe dyskretnego sygnału harmonicznego (próbkowanego)

2.9.

Twierdzenia Shannona-Kotielnikowa:

Sygnał ciągły może być ponownie odtworzony z sygnału dyskretnego, jeśli był próbkowany z częstotliwością co najmniej dwa razy większą od granicznej częstotliwości swego widma.

2.10

Przekształcenia dyskretne transformaty Z:

Służą do opisu i analizy układów dyskretnych. Stanowią odpowiednik przekształcenia Laplace'a w analizie układów ciągłych. Przekształceniem Z dyskretnej funkcji czasu f*(t) jest przekształcenie operatorowe:

Z [f*(t)] = Z [f(kT)] = F(z)

określone wzorem:

F(z) = ∑ f(kT)z^-k .

Transformaty Z istnieją dla funkcji dyskretnych, które rosną nie szybciej od funkcji wykładniczych.

Właściwości:

- liniowość

Z[af₁(kT)+bf₂(kT)]=aF₁(z)+bF₂(z)

- przesunięcie w dziedzinie czasu

Z[f(kT+mT)*1(kT)]=z^m[F(z)- ∑(n=0..m-1) f(nT)z^-n]

- transformata różnicy

Z[∆f(k)]=(z-1)F(z)-zf(0), Gdzie ∆f(k)= f[(k+1)T-f(kT) różnica 1 rz

- wartość końcowa

lim_k->∞ f(kT)= lim_z->1 (z-1)F(z)

2.11.

Odwrotne przekształcenie Z:

Jest to proces wyznaczania wartości dyskretnych funkcji f(kT) na podstawie znajomości transformaty F(z).

Z^-1[F(z)] = f(kT), k=0, 1, 2, ...

Odwrotne przekształcenie Z można zrealizować metodami:

• rozkładu na ułamki proste

• szeregu potęgowego

• residuów.

3.1.

Formy opisu układu dynamicznego:

• równania różnicowe

• transmitancje (operatorowe, widmowe)

• równania stanów

• charakterystyki czasowe lub częstotliwościowe

3.2.

Równania różniczkowe:

Równanie różniczkowe zwyczajne, opisujące ciągły, jednowymiarowy obiekt sterowania o stałych skupionych ma ogólną postać:

F=(y,y',…,y⁽ⁿ⁾,u,u',…u^(m),z,z',…, z^(k),t)=0

Gdzie: y-sygnał wy, u-sygnał we z - zakłócenia

Równanie to w przypadku ogólnym opisuje jednowymiarowy obiekt nieliniowy i niestacjonarny. Gdy obiekt jest stacjonarny, w równaniu nie występuje bezpośrednio zależność od czasu (współczynniki równania są stałe). Natomiast, gdy obiekt jest linowy, równanie to jest liniową kombinacją sygnałów i ich pochodnych. W przypadku ciągłego i stacjonarnego układu liniowego równanie można zapisać w postaci:

a_ndⁿy(t)/dtⁿ+...+ a₁dy(t)/dt+ a₀dy(t) = b_md^mu(t)/dt^m+...+ b₁du(t)/dt+ b₀u(t)+ c_kd^kz(t)/dt^k+...+c₁dz(t)/dt+ c₀z(t)

Zależnie od warunków pracy rozróżnia sie 4 przypadki:

1) Na obiekt działa zarówno sygnał sterujący u(t), jak i sygnał (lub sygnały) zakłucający z(t)

2) Na obiekt działa tylko sygnał sterujący (zakłócenie = 0)

3) Na obiekt działa tylko zakłócenie (sygnał sterujący = 0)

4) Na obiekt nie działają żadne sygnały zewnętrzne.

3.4.

a) Transmitancja operatorowa układu ciągłego to wielkość określona jako stosunek transformaty Laplace'a Y(s) sygnału wyjściowego obiektu do transformaty U(s) sygnału wejściowego (przy zerowych warunkach początkowych).

G(s) = Y(s) / U(s)

Dla układów opisanych liniowymi równaniami różniczkowymi o stałych współczynnikach transmitancja jest funkcją wymierną zmiennej zespolonej s, (iloraz 2 wielomianów o postaci):

G(s) = L(s) / M(s) = b_ms^m+.+b₁s+b₀/a_nsⁿ+.+a₁s+a₀

Pierwiastki licznika to tzw. zera, a mianownika to bieguny transmitancji.

Gdy układ posiada r wejść oraz m wyjść definiuje się wówczas macierz transmitancji:

[G₁₁(s) G₁₂(s) … G_1r(s)]

G(s) = [G₂₁(s) G₂₂(s) … G_2r(s)]

[G_m1(s) G_m2(s) … G_mr(s)]

gdzie:

G_ij(s)=Y_i(s)/U_j(s), i=1..m, j=1..r

Zaletą zapisu przy pomocy macierzy transmitancji jest to, że transmitancje stanowiące elementy tej macierzy reprezentują właściwości dynamiczne poszczególnych części układu. Wadą natomiast jest ujęcie wszystkich własności dynamicznych w określonych przypadkach. (np. poszczególne we oddziałują na wy obiektu)

Opis w przestrzeni stanów pozwala na pełniejsze przedstawienie zjawisk dynamicznych oraz stwarza dogodne warunki do obliczeń.

b) Transmitancja operatorowa układu dyskretnego

to wielkość określona jako stosunek dyskretnej transformaty Laplace'a Y(z) sygnału wyjściowego obiektu do transformaty U(z) sygnału wejściowego (przy zerowych warunkach początkowych).

G(z) = Y(z) / U(z)

Dla dyskretnych układów opisanych liniowymi równaniami różniczkowymi o stałych współczynnikach transmitancja jest funkcją wymierną zmiennej zespolonej z, (iloraz 2 wielomianów o postaci):

G(z) = L(z) / M(z)

Pierwiastki licznika to tzw. zera, a mianownika to bieguny transmitancji.

Gdy układ dyskretny posiada p wejść oraz q wyjść definiuje się wówczas macierz transmitancji:

[G₁₁(z) G₁₂(z) … G_1p(z)]

G(z) = [G₂₁(z) G₂₂(z) … G_2p(z)]

[G_q1(z) G_q2(z) … G_qp(z)]

gdzie:

G_ij(z)=Y_i(z)/U_j(z)

Transformatę sygnału wyjściowego można zapisać jako:

Y(z) = G(z)U(z)

Gdy:

[U₁(z)] [Y₁(z)]

U(z)=[ . . . ] Y(z)= [ . . . ]

[Up(z)] [Y₁(z)]

3.5.

Transmitancją widmową G(jw) liniowego układu stacjonarnego nazywa się iloraz wartości zespolonej wartości zespolonej odpowiedzi Y(jw) wywołanej wymuszeniem harmonicznym do wartości zespolonej U(jw) tego wymuszenia:

G(jw)=Y(jw) / U(jw)

Transmitancję widmową wyznacza się z transmitancji operatorowej:

G(jw)=G(s) |_s=jw

Wynika to z faktu, że przekształcenie Fouriera dla s=jw jest szczególnym przypadkiem przekształcenia Laplace'a. Transmitacja widmowa (odpowiadająca transmitacji operatorowej) ma postac:

G(z) = b_m(jw)^m+.+b₁(jw)+b₀ /a_n(jw)ⁿ+.+a₁(jw)+a₀

Równanie to możemy przedstawić w postaci:

a) jako iloraz 2 wielkości zespolonych:

b) jako suma składnika rzeczywistego rzeczywistego urojonego (post algebraiczna)

c) w postaci wykładniczej

d) w postaci trygonometrycznej.

Dyskretną transmitancją widmową nazywa się zależność:

G(jwp)=Y(jwp) / U(jwp)

Ze względu na to ze jest to wielkość zespolona otrzymujemy:

G(jwp)=P(wp) / jQ(wp) gdzie:

P(wp)=Re[G(jwp)], Q=Im[G(jwp)]

Między dyskretną transmitancją widmową a dyskretną transmitancją zachodzi zależność:

G(jwp)=G(z) |_z=e^jwp

Dyskretna transmitancja widmowa jest funkcją okresową pulsacji w_p o okresie 2 pi

G(jwp+2npi)=G((jwp) n=0,1,2,…

Macierz dyskretnych transmitancji widmowych układu wielowymiarowego jest definiowana identycznie jak macierz układu ciągłego.

3.6

Charakterystyka statyczna układu jest to zależność sygnału wyjściowego od wejściowego (istotna właściwość obiektu w stanie ustalonym).

a) Eksperymentalnie punkt leżący na charakterystyce statycznej wyznacza się wprowadzając na wejście obiektu stały sygnał i mierząc w stanie ustalonym jego wyjście. Dokonując pomiaru dla różnych (ale stałych) wartości sygnału wejściowego, otrzyma się zbiór punktów, który po odpowiedniej aproksymacji stanowi chartka. statyczną.

b) Z równania różniczkowego wyznacza się tą charakterystykę w ten sposób, że porównujemy wszystkie pochodne do zera.

c) Charakterystykę statyczną z transmitancji operatorowej wyznacza się przyjmując s=0.

y= (b₀/a₀)*u

a jej współczynnik nazywany jest współczynnikiem wzmocnienia.

3.7.

Równania stanu układu są układem n równań różniczkowych pierwszego rzędu (w ogólnym przypadku nieliniowych niestacjonarnych). Równania te uzupełniają równania we, które są równaniami algebraicznymi (pokazują w jaki sposób wektor zmiennych stanu x(t) i sterowanie u(t) oddziałują na wy y(t):
Postać wektorowo-maciwrzowa:
x'(t)=A(x)+Bu(t)
y(t)=Cx(t)+Du(t) gdzie:
x - n-wymiarowy wektor stanu
u(t) - r-wymiarowy wektor ster.
y(t) - m-wymiarowy wektor wy
A - nxn-wymiarowa macierz stanu
B - nxr-wymiarowa macierz sterowań (wejść)
C - mxn-wymiarowa macierz wy
D - mxr-wymiarowa macierz transmitancyjna (bezpośredniego oddziaływania we na wy)

Gdy układ jest jednowymiarowy (r,m=1) w powyższych równaniach należy zastąpić wielkościami skalarnymi u(t) oraz y(t). Macierze B i C przedstawić odpowiednio nx1 oraz 1xn.

3.8

Równania stanów układów dyskretnych:

Mamy dane równanie stanu układu ciągłego o postaci:

x'(t)=A_c(x)+B_cu(t)
y(t)=C_cx(t)+D_cu(t)

Dla warunku początkowego x(t₀)=x(kT) w chwili t=(k+1)T równanie ma postać:

X(k+1)=e^AcTx(k)+_kT∫^(k+1)Te^Ac[(k+1)T-t] B_cu(t) dt

Zakładając, że dyskretyzacja układu ciągłego jest dokonywana poprzez wprowadzenie do układu impulsatora i ekstrapolatora zerowego rzędu, w wyniku czego sygnał u(t) jest wielowymiarową funkcją schodkową więc mamy:

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)

y(k)=Cx(k)+Du(k) gdzie:

A=exp(A_cT)≈I+A_cT+A_c²T²+...

B=A_c^-1[exp(A_cT)-I]B_c

C=C_c D=D_c

W przypadku gdy okres próbkowania T jest mały, to pomija się rozwinięcia w szereg potęgowy exp(A_cT) z czego wynik

A=I+ A_cT B= B_cT

Identyczne zależności możemy otrzymać zas™epując pochodną poprzez różnicę wyprzedzoną:

x'(t)|_t=k =1/T [x(k+1)-x(k)]

co daje nam po przekształceniach

x(k+1)= [I+ A_cT]x(k)+B_cTu(k)

3.9

a) Mając równania stanu możemy wyznaczyć transmitancję operatorową (układu ciągłego) przedstawioną wzorem (dla warunków początkowych równych 0 x(0)=0)

sX(s)=AX(s)+BU(s)

Y(s)=CX(s)+DU(s), gdzie:

X(s), U(s), Y(s) są transformatami Laplace'a wektorów x(t), u(t), y(t)

Wtedy otrzymujemy:

sX(s)-AX(s)=BU(s)

oraz [sI-A]X(s)=BU(s)

następnie wyznaczamy X(s) (założenie istnieje macierz odwrotna, det<>0 tzw macierz nieosobliwa)

X(s)=[sI-A]^-1BU(s)

Gdzie po podstawieniu otrzymujemy:

Y(s)=(C[sI-A]^-1B+D)U(s)

Z czego wynika macierz transm.

G(s)=Y(s) / U(s) = C[sI-A]^-1B+D

b) Analogicznie jak w układach ciągłych, można wyznaczyć związek miedzy równaniami stanu a transmitancją dyskretną. W tym celu należy do równań zastosować przekształcenie Z (przy zerowych warunkach początkowych):

zX(z)=AX(z)+BU(z)

Y(z)=CX(z)+DU(z), gdzie:

X(z), U(z), Y(z) są transformatami Z wektorów x(t), u(t), y(t)

Wtedy otrzymujemy:

zX(z)-AX(z)=BU(z)

oraz [zI-A]X(z)=BU(z)

następnie wyznaczamy X(z) (założenie istnieje macierz odwrotna, det<>0 tzw macierz nieosobliwa)

X(z)=[sI-A]^-1BU(z)

Gdzie po podstawieniu otrzymujemy:

Y(z)=(C[zI-A]^-1B+D)U(z)

Z czego wynika macierz transm.

G(z)=Y(z) / U(z) = C[zI-A]^-1B+D

4.1

Skok jednostkowy 1(t)

Przy stosowaniu tego typu sygnału założono, że czas jego narastania jest równy zeru, co jest tylko przybliżeniem sygnału rzeczywistego, jednak w wielu przypadkach jest to założenie dopuszczalne.

Impuls (funkcja) Diraca ρ(t).

Impuls Diraca jest definiowany jako impuls o nieskończenie wielkiej amplitudzie i nieskończenie małym czasie trwania oraz o polu równym jedności.

Funkcje potęgowe

Funkcje te można przedstawić w postaci

u(t)=U0t do n*1(t) n=1,2,…

Wymienione funkcje wykorzystuje się głownie do analizy układów śledzących.

Funkcja harmoniczna

Najczęściej stosuje się sygnał sinusoidalny o postaci u(t)=U0sinωt . Na tego typu sygnale bazują głównie częstotliwościowe metody analizy.

4.4

Ogólne zasady postępowania przy budowie schematu blokowego można sprowadzić do następującej procedury :

a) dodać transformaty laplace'a układu równań różniczkowych,

b) ustalić sygnał wejściowy i wyjściowy układu,

c) na podstawie układu równań operatorowych narysować schemat blokowy.

4.5

znane są następujące sposoby przekształcenia (uproszczenia) schematów blokowych

- metoda przekształcenia układu równań opisujących układ. Stosuje się najczęściej na etapie budowy schematu blokowego i nie będzie szerzej analizowana.

- metoda krok po kroku poprzez kolejne dokonywanie prostych przekształceń schematu.

Pozwala zarówno przekształcić, jak i uproszczać schemat blokowy. Stosuje się ją do przekształcenia dowolnie skomplikowanych schematów. Metoda ta ma istne zalety gdyż:

- nie wymaga określenia klasy schematu, a więc ma zastosowanie do wszystkich schematów układów liniowych,

- umożliwia dokonywanie kontroli poprawności każdego kroku, a więc zapewnia poprawny wynik przekształceń

4.6

Transmitancja układu otwartego

Go(s)=G(s)H(s)=Lo(s)/Mo(s)

Transmitancja układu zamkniętego

Gz(s)=Y(s)/U(s)=G(s)/1±G(s)H(s)=Lz(s)/Mz(s)

Transmitancja uchybowa

Gu(s)=E(s)/U(s)=1/1±G(s)H(s)

4.7

Metoda 1 (w oparciu o tablice transformat)

W tabelach transformat Z często jest podane zestawienie transmitancji G(s) i odpowiadających im dyskretnych transmitancji G(z). Jeżeli natomiast w tabelach są podane tylko transformaty dyskretne F(z) dla funkcji ciągłych f(t) lub funkcji dyskretnych f(kT), to chcąc wyznaczyć dla danej transmitancji G(s) transmitancję G(z) należy postępować następująco:

-Wyznaczyć charakterystykę impulsowa g(t)

g(t)=α do -1[G(s)]

-Wyznaczyć dyskretną charakterystykę impulsową

g(kT)=g(t)|t=kT (*)

-Dla wyznaczonej charakterystyki g(t) lub g(kT) odczytać transmitancję G(z)

Metoda 2 (bazująca na wyznaczaniu charakterystyki impulsowej)

Dyskretną charakterystykę impulsową g(kT), dla danej transmitancji G(s), wyznacza się zgodnie z zależnością *. Poszukiwana transmitancja dyskretna G(z)określona jest zależnością G(z) = Z[g(kT)]

4.9 przedstawic problem wyznaczania uchybu ustalonego

Uchyb w stanie ustalonym dla układu ciągłego :

e_u=

1. Wymuszenie w postaci sygnalu skokowego - u(t)=U₀1(t)

Gdy k = 0 e_u=

Gdy k > 0 e_u=0

2. Wymuszenie w postaci sygnalu liniowego - u(t) = U₁(t)1(t)

Gdy k = 0 e_u -> nieskończoności!

Gdy k = 1

Gdy k > 1 e_u = 0

3. wymuszenie w postaci sygnalu parabolicznego - u(t) = U₂t²1(t)

Gdy k = 0 e_u -> nieskończoności!

Gdy k = 1

Gdy k >2 e_u = 0

Uchyb ustalony układu dyskretnego

e_u=

4.10

Człon proporcjonalny (bezinercyjny)

Równanie i transmitancja

y(t)=Ku(t) G(s)=K

Człon inercyjny pierwszego rzędu

T*Dy(t)/(dt+y(t))=Ku(t) G(s)=K/Ts+1

Człony całkujące

dy(t)/dt=Ku(t) G(s)=K/s=1/sTi

Człony różniczkujące

y(t)=K*du(t)/dt G(s)=Ks

Człony drugiego rzędu

G(s)=K/(T*T*s*s+2ETs+1)

Człon opóźniający

G(s)=Ke do -sTo

5.1.

układ jest stabilny asymptotycznie - gdy spełniony zostanie następujący warunek konieczny i

dostateczny: wszystkie rzeczywiste pierwiastki równania charakterystycznego (bieguny

transmitancji lub wartości własne macierzy stanu) lub wszystkie części rzeczywiste pierwiastków

zespolonych muszą być ujemne, czyli pierwiastki te muszą leżeć w lewej półpłaszczyźnie zmiennej

zespolonej.

układ jest stabilny nieasymptotycznie - gdy oprócz pierwiastków leżących w lewej

półpłaszczyźnie występują:

- jeden pierwiastek rzeczywisty równy zeru

- pojedyncze pary pierwiastków urojonych,

- żaden z pierwiastków nie znajduje się w prawej półpłaszczyźnie, natomiast na osi urojonej

występują pierwiastki pojedyncze, w tym co najwyżej jeden rzeczywisty równy zeru.

Układ jest stabilny globalnie, gdy jest stabilny dla dowolnych warunków początkowych.

Układ jest stabilny lokalnie, gdy jest stabilny dla warunków początkowych leżących w pobliżu

stanu równowagi

Układ Jest niestabilny, jeśli co najmniej jeden pierwiastek znajduje się w prawej półpłaszczyźnie

zmiennej zespolonej s.

5.2.

Stan równowagi jest to stan, do którego wraca układ po ustaniu działania wymuszenia (do stanu,

w jakim znajdował się przed zmianą wymuszenia). Punkt - nazwa w przestrzeni stanów.

5.3.

Układ jest stabilny, gdy spełniony zostanie warunek konieczny i dostateczny: wszystkie pierwiastki

równania charakterystycznego (bieguny transmitancji lub wartości własne macierzy stanu) lub

wszystkie części rzeczywiste pierwiastków zespolonych muszą być ujemne, czyli pierwiastki te

muszą leżeć w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej.

5.4.

Kryteria algebraiczne pozwalają stwierdzić, czy liniowy układ jednowymiarowy jest stabilny

asymptotycznie, na podstawie wartości współczynników równania charakterystycznego., bez jego

rozwiązywania.

Warunkiem koniecznym, ale niewystarczającym stabilności asymptotycznej układu jest, aby jego

równanie charakterystyczne miało wszystkie współczynniki ao, a1,…, an jednego znaku i niezerowe.

Warunki dostateczne: (Kryterium Hurtwitza) to warunki, które powinny być spełnione, aby

Równanie charakterystyczne układu miało wyłącznie pierwiastki w lewej półpłaszczyźnie zmiennej

zespolonej s. Aby było to możliwe muszą być spełnione warunki: 1 warunek konieczny stabilności

(wszystkie współczynniki są większe od zera); 2 podwyznaczniki Δi, jako minory główne

wyznacznika Δn, są większe od zera (warunek dostateczny) Δi>0, i=2,3,…,n-1

5.5.

Częstotliwościowe kryteria stabilności:

● kryterium Nyquista - najczęściej stosowane, pozwala ono badać stabilność układu zamkniętego

na podstawie przebiegu charakterystyki częstotliwościowej układu otwartego, którą można

wyznaczyć zarówno analitycznie, jak i doświadczalnie, umożliwia ona także ocenę odległości układu

od graniczy stabilności.

● kryterium logarytmiczne - badania stabilności układu w oparciu o logarytmiczną charakterystykę

amplitudową i fazowa lub logarytmiczną charakterystykę amplitudowo- fazową.

5.6.

Warunek konieczny i wyst. Układu dyskretnego:

Układ dyskretny jest stabilny jeśli dyskretne wartości składowych przejściowych są ograniczone

dla dowolnej chwili czasu. Jeżeli ponadto te dyskretne wartości składowych przejściowych kT->8

maleją do zera, to układ taki jest stabilny asymptotycznie.

6.1.

1. Synteza jest rozważana wyłącznie w kategoriach dynamiki układu(dokładność dynamiczna,

zapas stabilności, charakter lub czas trwania procesu przejściowego itp.). Rozwiązując zadanie

syntezy należy dysponować następującymi danymi:

a) modelem matematycznym obiektu (lub wielkościami charakteryzującymi pośrednio jego

dynamikę)

b) celem sterowanie,

c) informacjami o ograniczeniach sygnałów występujących w układzie

d) wskaźnikiem jakości,

e) założeniami o typie algorytmu regulacji

6.2.

a) Regulator typu P (proporcjonalny)

Regulator ten charakteryzuje się tym, że jego sygnał wyjściowy u(t) jest proporcjonalny do

wejściowego(wejściowego). Transmitancja wynosi: G(s)=U(s)/E(s)=kp

przy czym kp jest współczynnikiem wzmocnienia(proporcjonalności).

b) Regulator typu I (całkujący) Transmitancja ma postać:

G(s)= kp/s=1/sTi, Ti=1/kp

przy czym kp jest współczynnikiem wzmocnienia, Ti to czas po upływie którego amplituda odpowiedzi skokowej jest równa amplitudzie wymuszającego sygnału skokowego.

c) Regulator typu PI (proporcjonalno-całkujący)

W regulatorze typu PI sygnał wejściowy jest proporcjonalny do sumy sygnału wejściowego i jego

całki. Transmitancja natomiast opisana jest wzorem:

G(s)=kp(1+1/Tis)

Gdzie Ti jest nazywane czasem zdwojenia regulatora

Charakterystyka:

a)skokowa

b) częstotliwościowa

d)Regulator typu PD (proporcjonalno-różniczkujący)

W regularnym regulatorze typu PD sygnał wyjściowy jest proporcjonalny do sygnału wejściowego i

pochodnej tego sygnału. Transmitancja wynosi:

G(s)=kp(1+Tds), gdzie stała Td jest nazywana czasem wyprzedzenia. Praktyczna realizacja

takiego regulatora PD jest często niemożliwa, ze względu na nieuniknioną inercję części

różniczkującej, dlatego stosuje się model matematyczny rzeczywistego regulatora typu PD w

postaci transmitancji:

G(s)=kp(1+ Tds/Ts+1)

Charakterystyka regulatora PD idealnego (linia przerywana) rzeczywistego(linia ciągła)

a) skokowa

b)częstotliwościowa

d) regulator typu PID (proporcjonalno-całkująco-różn.)

W idealnym regulatorze PID sygnał wyjściowy związany jest z sygnałem wejściowym.

Transmitancja idealnego i rzeczywistego regulatora PID mają odpowiednio postać:

G(s)=kp(1+1/Tis+Tds),

G(s)=kp(1+1/Tis+Tds/Ts+1),

Charakterystyka regulatora PID idealnego (linia przerywana) rzeczywistego(linia ciągła)

a) skokowa

b) czestotliwosciowa

6.3.

Regulatory dyskretne

Dyskretne wersje klasycznych regulatorówciągłych otrzymuje się poprzez aproksymację ich

równania wyrażenia, w których całkowanie zastąpiono sumowaniem, a różniczkowanie - różnicą

pierwszego rzedu. I tak równania różnicowe mają postać:

● Regulator typu P u(kT)=kpe(kT)

● Regulator typu I

u(kT)=T/Ti i=0Σke(iT)

● Regulator typu PI

u(kT)=kp(e(kT)+ T/Ti i=0Σke(iT)

● Regulator typu PD

u(kT)=

kp(e(kT)+Td/T[e(kT)-e(k-1)T)]

● Regulator typu PID

u(kT)=kp(e(kT)+T/Ti i=0Σke(iT) +Td/T[e(kT)-e(k-1)T)]

6.4

- zwiększenie wartości współczynnika wzmocnienia

Wzrost współczynnika układu otwartego wpływa na zmniejszenie wartości uchybu statycznego. Jednak wzrost współczynnika wzmocnienia układu otwartego jest ograniczony stabilnością układu zamkniętego. Przy pewnej określonej wartości tego współczynnika w układzie zanika tłumienie i układ zbliża się do granicy stabilności. Dalszy wzrost współczynnika może spowodować niestabilność układu. Ze względu na dokładność statyczną współczynnik wzmocnienia powinien być więc jak największy, a ze względu na stabilność- możliwie mały. Występuje zatem przeciwieństwo między wymaganiami dokładności statycznej i stabilności.

- podwyższenie rzędu astatyzmu

Uchyb ustalony doprowadza się do wartości równej zeru przez zastosowanie modyfikacji, po której układ regulacji stanie się astatyczny odpowiedniego rzędu. W tym celu należy do układu wprowadzić człony całkujące, których liczbę i miejsce usytuowania dobiera się w taki sposób, aby uchyb ustalony był równy zeru. Niestety ten sposób likwidacji uchybu ustalonego ma zasadniczą wadę- wprowadzenie członów całkujących może spowodować utratę stabilności.

6.5

Synteza układów regulacji bazująca na rozkładzie pierwiastków równania. Badanie rozkładu pierwiastków równania charakterystycznego układu regulacji umożliwia bardziej precyzyjne określenie własności procesów przejściowych niż badanie charakterystyk częstotliwościowych. Jednak metody syntezy oparte na analizie rozkładu biegunów transmitancji są mniej ogólne, choćby z tego powodu że dotyczą zwykle transmitancji o postaci funkcji wymiernych. Warunkami syntezy najczęściej są:1)algebraiczne kryteria stabilności 2)zadanie położenie biegunów i ewentualnie zer transmitancji.3)zadana postać transmitancji układu.

Algebraiczne kryteria stabilności stosuje się do syntezy układów regulacji, od których wymaga się tylko spełnienia warunku stabilności. Parametry regulatora można określić z warunku zadanego położenia biegunów lub zadanej postaci transmitancji. W tym przypadku określa się strukturę układu regulacji i typ regulatora, a następnie wyznacza transmitancję układu zamkniętego z regulatorem. Problem syntezy upraszcza się jeżeli układ regulacji z regulatorem jest opisany transmitancją drugiego rzędu. Wtedy parametry regulatora najwygodniej jest obliczyć z zadanej wartości współczynnika tłumienia i pulsacji drgań własnych nietłumionych.

6.6

Metoda Zieglera-Nicholasa stała się standardową procedurą doboru parametrów regulatora. W wielu przypadkach zapewnia dobra jakość regulacji. Pomimo dużej popularności tej metody otrzymywane w wyniku jej zastosowania wartości parametrów należy traktować jedynie jako pierwsze racjonalne przybliżenie. Procedura doboru wartości parametrów regulatora:

a)regulator zainstalowany w układzie regulacji należy nastawić na działanie P i zwiększyć stopniowo jego wzmocnienie k_p, doprowadzając układ do granicy stabilności,

b) w stanie wzbudzonym oscylacji zmierzyć ich okres T_os oraz odczytać wartość współczynnika wzmocnienia k_p=k_kr,

c)zależnie od typu regulatora należy przyjąć:

dla P k_p=0,5k_kr

dla PI k_p=0,45k_kr, T_i=0,85T_os

dla PID k_p=0,6k_kr, T_i=0,5T_os, T_d=0,125T_os

6.7

Metody przestrzeni stanów syntezy układów ciągłych

Sposób rozwiązywania problemu syntezy w oparciu o metody przestrzeni stanów, także i struktura układu sterowania są uzależnione od możliwości pomiaru zmiennych stanu. W przypadku dostępności pomiarowej pełnego wektora stanu obiektu, zadanie syntezy polega na wyznaczeniu elementów proporcjonalnego regulatora wielowymiarowego, umieszczonego w torze sprzężenia zwrotnego od wektora stanu obiektu do wejścia układu sterowania. Składowe wektora powinny być tak dobrane, aby macierz stanu układu z regulatorem posiadała wartości własne o pożądanych wartościach. Natomiast w przypadku możliwości pomiaru tylko części zmiennych stanu jest niezbędne zastosowanie w układzie sterowania tzw. obserwatora stanu, który na podstawie pomiaru wejścia i części zmiennych stanu obiektu odtwarza pozostała niemierzalną część wektora stanu.

6.8

Celem syntezy jest wyznaczenie transmitancji regulatora dyskretnego

Gr(z)=Lr(z)/Mr(z)

W przypadku, gdy dana jest transmitancja dyskretna obiektu wraz ekstrapolatorem

G(z)=L(z)/M(z) *

I żądana transmitancja układu zamkniętego

Gz(z)=Lz(z)/Mz(z) **

Rozwiązując zależność określającą dyskretną transmitancję zastępczą układu (przyjęto regulator w torze głównym)

Gz(z)=Gr(z)G(z)/1+Gr(z)G(z)

Wzglendem poszukiwanej transmitancji Gr(z), otrzymano

Gr(z)=Gz(z)/G(z)[1-Gz(z)] ***

Lub po uwzględnieniu zależności *, **

Gr(z)=M(z)L(z)/L(z)[Mz(z)-Lz(z)] ****

Na podstawie równań *** lub **** Można wyznaczyć równanie różnicowe, według którego regulator (mikroprocesora) oblicza wartości sygnału sterującego obiektem w kolejnych chwilach próbkowania. Gdyby wyznaczona transmitancja regulatora nie była realizowana fizycznie (stopień wielomianu licznika większy od stopnia wielomianu w mianowniku), wówczas należy zmienić warunek syntezy, czyli postać transmitancji Gz(z).

W dyskretnym układzie regulacji o równaniu charakterystycznym w postaci

Mz(z)=z(do potęgi)n=0

Czas trwania procesu przejściowego jest skończony i jest najkrótszy z możliwych.

Układ regulacji spełniający ten warunek jest nazywany układem czasooptymalnym.

6.9

Klasyczne metody projektowania polegają w większości przypadków na kompromisie między wymaganiami stabilności a wymaganiami dokładności statycznej. W układach jednowymiarowych do syntezy układów regulacji można zastosować metody czasowe i częstotliwościowe, znane dla układów liniowych. Metody częstotliwościowe stosuje się wtedy, gdy dysponuje się wyznaczoną eksperymentalnie charakterystyką częstotliwościową obiektu oraz gdy wymagania sformułowane są w postaci parametrów procesu przejściowego, pasma przenoszonych częstotliwości lub zapasu stabilności. Poza metodami syntezy znanymi dla układów ciągłych, w układach dyskretnych są stosowane specyficzne dla tych układów metody.

---