Figury podobne.

Szkoła gimnazjalna.

Wykonał: Piotr Kwiatkowski.

Omawiam ten temat na podstawie następujących programach (podręcznikach) nauczania:

• „Matematyka z plusem”.

• „Błękitna matematyka”.

• „Matematyka krok po kroku”.

• „Matematyka 2001”.

W „Matematyce z plusem” figurom podobnym jest poświęcony cały dział w klasie III gimnazjum. Jest w planie wynikowym przeznaczone 19 godzin lekcyjnych. W tym dziale gimnazjaliści przerabiają następujące tematy:

• „Twierdzenie Talesa” - 3 godziny.

• „Podział odcinka” - 1 godzina.

• „Podobieństwo figur” - 2 godziny.

• „Prostokąty podobne. Trójkąty prostokątne podobne” - 4 godziny.

• „Cechy podobieństwa trójkątów”- 3 godziny.

• „Jednokładność” - 3 godziny.

• „Powtórzenie wiadomości i praca klasowa wraz jej omówieniem” - 3 godziny.

Ten dział jest poprzedzony działem pt. ”Przekształcenia geometryczne” i tematem „Obroty”.

W „Błękitnej matematyce” również figury podobne są wprowadzone w klasie III gimnazjum lecz w temacie lekcji pt. „Podobieństwo i jego zastosowanie”. Owy temat znajduje się po temacie „Jednokładność i jej zastosowania”.

W „Matematyce krok po kroku” temat figury podobne pojawia się w temacie „Podobieństwo” w klasie III gimnazjum. Ten temat jest omawiany wcześniej niż w dwóch poprzednich podręcznikach. Figury podobne wprowadza się w drugim już rozdziale książki pt. „ Przekształcenia geometryczne” , a po temacie o jednokładności.

W „ Matematyce 2001” o figurach podobnych jest mowa już w klasie II gimnazjum. Występuje ten temat w temacie pt. „ Większe, mniejsze, podobne”. Temat ten jest wprowadzony po temacie dotyczącym proporcji.

Aby uczeń mógł zrozumieć temat lekcji musi wcześniej wiedzieć:

• Co to jest figura, podać kilka przykładów figur.

• Wiedzieć co to jest skala i jakie ona ma zastosowanie i jaka rolę ona odgrywa.

• Znać podstawowe figury podobne ( kwadrat, prostokąt, koło, trapez, romb itp.)

• Znać wzory na objętość, pole całkowite wybranych figur płaskich.

• Umieć zamieniać jednostki miar

• Układać w sposób poprawny proporcje.

Sposoby wprowadzania tematu.

W „ Matematyce z plusem” ten temat wprowadzony jest za pomocą przykładu:

PRZYKŁAD: Popatrz na pary figur przedstawionych poniżej . Jedna z figur powstała przez powiększenie lub pomniejszenie drugie figury w pewnej skali:

I dalej autorzy piszą, że figury które mają taki sam kształt, a różnią się najwyżej wielokrotnością, mówimy że są podobne.

Później wprowadzają pojęcie skali podobieństwa, również na przykładzie ( tym razem wielokąta).

PRZYKŁAD: Na rysunku poniżej wielokąt F' jest podobny do wielokąta F. Kąty wielokąta F' mają takie same miary jak odpowiednie kąty wielokąta F.

Długości boków wielokąta F' są proporcjonalne do długości odpowiednich boków wielokąta F, tzn.

Liczbę k równą stosunkowi długości któregokolwiek boku wielokąta F' do długości odpowiedniego boku wielokąta F nazywamy skala podobieństwa F' do wielokąta F.

i
itd.

Później są zadania, przeplatane z nowymi nieznanymi jeszcze dotąd dla uczniów wiadomościami , wskazówkami bez których byłoby trudniej rozwiązać te zadania.

Zadanie. Na rysunkach przedstawiono dwie pary wielokątów podobnych. Który bok w mniejszym wielokącie odpowiada bokowi a ? . który odpowiada bokowi b ? itd. Jaka jest skala podobieństwa mniejszego wielokąta do większego?.

WSKAZÓWKA: Najkrótszy bok w jednym wielokącie odpowiada najkrótszemu bokowi w drugim wielokącie , a najdłuższy - najdłuższemu.

Zadanie. Trójkąt ABC jest podobny do trójkąta DEF. Boki trójkąta ABC maja długości 3, 6, 7 a boki trójkąta ABC mają długości 21, 18, 9. W jakiej skali trójkąt ABC jest podobny do trójkąta DEF ?.

WSKAZÓWKA: Aby sprawdzić, czy dwa wielokąty SA podobne należy zbadać, czy oba wielokąty maja takie same kąty oraz czy stosunek długości boków w jednym wielokącie do długości odpowiednich boków w drugim wielokącie jest zawsze taki sam.

Zadanie. Które z prostokątów 1, 2, 3, są podobne do prostokąta ABCD ?.

I dalej autorzy przypominają, że:

„ Gdy badamy podobieństwo prostokątów, nie trzeba sprawdzać równości odpowiednich katów ( bo wiadomo, że wszystkie kąty maja po 90 stopni.). Zatem, aby upewnić się, czy dwa prostokąty są podobne, wystarczy sprawdzić, czy długości boków w jednym prostokącie są proporcjonalne do długości boków w drugim prostokącie”.

I jest podana następująca regułka:

DWA PROSTOKATY SĄ PODOBNE, JEŻELI STOSUNEK DŁUGOŚCI DWÓCH PROSTOPADŁYCH BOKÓW JEDNEGO PROSTOKATA JEST RÓWNY STOSUNKOWI DŁUGOŚCI ODPOWIEDNICH BOKÓW DRUGIEGO PROSTOKATA.

Jeżeli
, to prostokąty są podobne.

A później są zadania do lekcji.

W „ Matematyce błękitnej” autorzy moim zdaniem za dużo miejsca poświecili wprowadzaniu nowych zagadnień, a mało miejsca było na rozwiązywanie zadań. Gdy tylko przedstawili „suchą regułkę” od razu później podawali przykład, który był przez nich rozpisany i rozwiązany. W tym temacie autorzy podali tylko dwa zadania w których trzeba coś sprawdzić i tylko trzy zadania w których albo trzeba coś rozstrzygnąć, uzasadnić, wyznaczyć lub wykonać odpowiedni rysunek.

Autorzy na początku tematu podają definicję figur podobnych, która brzmi:

DWIE FIGURY SĄ PODOBNE W SKALI |K| > 0, GDY OBRAZ JEDNEJ Z NICH W PEWNEJ JEDNOKŁADOŚCI O SKALI K JEST PRZYSTAJACY DO DRUGIEJ FIGURY.

(Dla mnie zbyt trudna definicja ).

Później jest podany przykład:

PRZYKŁAD: Rozważamy dwa trójkąty ABC i DEF, gdzie DEF są środkami boków trójkąta ABC.

I dalej autorzy rozpisują się na temat tego trójkąta (o wszystkim, co wiedzą o nim „chwalą się swoja wiedzą”).

TRÓJKATY ABC I DEF:

• Nie są przystające, ponieważ boki pierwszego z nich są dłuższe niż boki drugiego .

• Nie są jednokładne względem punktu A, bo żaden z punktów D, E, F nie jest obrazem punktu A w jednokładności o środku A.

• Są podobne, bo trójkąty ADF i DEF są przystające oraz trójkąty ADF i ABC są jednokładne (środek - punkt A, skala k=2 lub k=
  .

Później podają autorzy właściwości figur podobnych jakie często wykorzystuje się w zadaniach.

W figurach podobnych:

• Stosunek dwóch dowolnie wybranych odcinków jednej figury jest równy stosunkowi odpowiadających im odcinków drugiej figury.

• Odpowiadające sobie kąty mają równe miary.

• Stosunek pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

Autorzy zwracają uwagę również że wystarczy aby dwa trójkąty prostokątne miały jeden taki sam kat ostry, żeby były podobne oraz jeżeli miary katów jednego trójkąta są równe miarom katów drugiego trójkąta to takie trójkąty są do siebie podobne.

oraz: Jeżeli boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne.

Nie tylko o podobieństwie trójkątów autorzy skupili swoja uwagę, ale także wspomnieli o ważnej cesze badającej lub wskazującej, że czworokąty ( min, dwa) nie zawsze są do siebie podobne.

UWAGA: Równość miar katów nie wystarczy do tego, by dwa czworokąty były podobne. Aby się o tym przekonać, rozważ kwadrat i prostokąt, który nie jest kwadratem.

Równość stosunków boków nie wystarczy do tego, by dwa czworokąty były podobne. Romb i kwadrat mogą być o równych bokach, lecz o różnych są już katach. Dlatego nie są figurami podobnymi.

A później są podane zadania do tego tematu.

W „Matematyce krok po kroku” figury podobne wprowadza się za pomocą symetrii względem prostej. Autorzy przedstawiają przykład, w którym przekształcają figurę F przez jednokładność o środku w punkcie S, a następnie tak otrzymaną figurę przekształcają przez symetrie względem prostej l.

Figura F” jest obrazem figury F' w symetrii względem prostej l. Ponieważ symetria osiowa jest przekształceniem izometrycznym, to F' = F”. Figury F i F' nie są przystające. O takich figurach mówimy, że są figurami podobnymi, co zapisujemy:

F~F'. F~ F”.

Autorzy także podają definicję:

DWIE FIGURY F I F” NAZYWAMY FIGURAMI PODOBNYMI, JEŻELI ISTNIEJE TAKA IZOMETRIA KTÓRA FIGURĘ F PRZEKSZTAŁCA W FIGURĘ JEDNOKŁADNĄ DO FIGURY F”. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA SKALI JEDNOKŁADNOŚCI TYCH FIGUR NAZYWAMY SKALĄ PODOBIEŃSTWA.

Jak widać autorzy podręcznika, przy wprowadzaniu tego tematu wykorzystują i bazują na informacjach uczniów dotyczących symetrii i przekształceniach izometrycznych.

Po wprowadzeniu definicji, jest stwierdzenie że: FIGURY JEDNOKŁADNE SA FIGURAMI PODOBNYMI.

Później autorzy zwracają uwagę że stosunek długości odpowiednich odcinków w figurach podobnych jest stały, natomiast miary odpowiednich katów są równe.

Także jest zwrócona uwaga, że dwa okręgi dowolne są podobne, a skalą ich podobieństwa jest iloraz ich promieni.

Jeśli okrąg o ( S', r') jest obrazem okręgu o ( S, r) w podobieństwie, to skala tego podobieństwa jest równa
. Wtedy:

Stosunek długości obrazu okręgu i długości danego okręgu jest równy skali podobieństwa lub ogólnie:

STOSUNEK OBWODU OBRAZU FIGURY F W PODOBIEŃSTWIE I OBWODU FIGURY F JEST RÓWNY SKALI PODOBIEŃSTWA.

Następnie autorzy przedstawiają kolejny przykład, na którym tłumaczą jaki jest stosunek pola obrazu figury F w podobieństwie i pola figury F. W tym celu rozpatrują dwa kwadraty ( jeden większy a drugi mniejszy).

I dalej opisują:

Zauważmy, że każde dwa kwadraty są podobne. Skalą podobieństwa jest iloraz długości ich boków.

Jeśli kwadrat k', którego bok ma długość b, jest obrazem kwadratu k, którego bok ma długość a, to skala podobieństwa k jest równa
. Wtedy:

I podają definicję:

STOSUNEK POLA OBRAZU F W PODOBIEŃSTWIE I POLA FIGURY F JEST RÓWNY KWADRATOWI SKALI PODOBIEŃSTWA.

A później są już zadania do lekcji.

W „Matematyce 2001”, moim zdaniem autorzy tego podręcznika nie zbyt dbale wprowadzili temat dotyczący figur podobnych.

Na początku zaprezentowali kilka przykładów z życia codziennego ( gdzie występują różne zjawiska, rzeczy, budynki itp.) które za zwyczaj przedstawia się w postaci pomniejszonej ( powiększonej) od rzeczywistych rozmiarów. W ten sposób autorzy wprowadzają pojecie skali, lecz tylko ją tak nazywają a nie podają jeszcze jej definicji. Co dopiero po 7 zadaniach do rozwiązania dotyczących właśnie skali podają definicje skali .

DEFINICJA: SKALA określa ile razy wymiary ( długości odcinków) jednego obiektu są większe lub mniejsze od odpowiednich wymiarów drugiego.

I od razu również podają przykład:

Jeśli rysunek pewnego obiektu wykonany jest w skali 1 : 20 , to znaczy, że na rysunku wymiary są dwudziestokrotnie mniejsze niż w rzeczywistości. Skala podobieństwa obiektu na rysunku do rzeczywistego obiektu wynosi
.

Jeśli rysunek pewnego obiektu wykonany jest w skali 20 : 1, to znaczy, że na rysunku wymiary są dwudziestokrotnie większe niż w rzeczywistości. Skala podobieństwa obiektu na rysunku do rzeczywistego obiektu wynosi wtedy 20.

Oraz zaraz potem podana jest definicja figur podobnych.

W MATEMATYCE MÓWIMY, ŻE DWIE FIGURY NARYSOWANE W SKALI SĄ PODOBNE. W FIGURACH PODOBNYCH ODPOWIEDNIE ODCINKI SĄ PROPOCJONALNE, A KĄTY MAJĄ TAKĄ SAMĄ ROZWARTOŚĆ.

Jak widać brakuje w definicji wzorów, przykładów, nie ma również żadnych rysunków które ułatwiłyby uczniom lepsze zrozumienie czym są figury podobne i jak przynajmniej wyglądają. Jest tylko podana formułka.

Później autorzy wracają do zadań, lecz teraz prócz obliczeń skali podobieństwa, trzeba też zbadać czy podane figury są podobne.

PROBLEMY JAKIE MOŻNA NAPOTKAC PRZY REALIZACJI TEGO TEMATU.

Uczniowie, podczas realizacji tego tematu mogą mieć problemy z określaniem odpowiedniej skali np.:

Gdy jeden kwadrat jest 2 razy większy od drugiego kwadratu.

Skala wynosi 1:2 , a uczniowie mogą zapisać jako 2:1.

Uczniowie także mogą mieć problemy, przy określaniu podobieństw figur płaskich takich jak trójkąty, gdzie należy zobaczyć czy kąty zawarte w trójkątach na przykład mają taką samą miarę lub przy określaniu podobieństwa prostokątów należy najpierw odpowiednio ułożyć równanie długości boków, aby móc sprawdzić czy podane prostokąty są podobne.

lub
ale nie
.

oraz przy zamianie jednostek miar na przykład:

Zadanie. Poniżej podano wymiary kilku prostokątów. W każdym wypadku oblicz stosunek długości krótszego boku do dłuższego boku. Odszukaj pary prostokątów podobnych.

1. 15 cm x 0,6 m

2. 4 cm x 8 mm

ZASTOSOWANIE TEMATU W MATEMATYCE.

Figury podobne, a zwłaszcza skala , skala podobieństwa jest często wykorzystywana do obliczeń pól lub objętości brył takich jak graniastosłup, ostrosłup, stożek, walec itd.

na przykład:

Zadanie. Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o polu 96 cm
. Stosunek długości boków tego prostokąta wynosi 2:3 . Krawędzie boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni. Oblicz pole powierzchni tej bryły.

Zadanie. Pole ostrosłupa wynosi 640cm
. Oblicz pole ostrosłupa, którego stosunek jego pola do pola ostrosłupa danego wynosi 4 : 1.

ZADANIA NA EGZAMINACH ZEWNĘTRZNYCH.

ROK 2006.

Zadanie. Rysunek przedstawia szkic przekroju dachu dwuspadowego. Wysokość dachu GC = 5,4 cm. A szerokość podstawy AB = 14,4 cm . Oblicz długość krokwi AC i długość belki DE, wiedząc , że odległości belki od podstawy dachu jest równa 2,4 cm ( czyli FG = 2,4 cm). Zapisz obliczenia.

ROK 2003.

Zadanie. Jajo strusia jest 3 razy dłuższe od jaja kury. Jeśli założyć, że żółtka tych jaj mają kształt kul podobnych w skali 3: 1, to żółtko w strusim jaju ma objętość większą niż żółtko w jaju kurzym o :

A.27 razy

B. 9 razy

C. 6 razy

D. 3 razy.

ROK 2004.

STANDARD IV. 3. TWORZENIE MODELI SYTUŁACJI PROBLEMOWEJ.(WYRÓŻNIA ISTOTNE WIELKOŚCI I CECHY SYTUŁACJI PROBLEMOWEJ).

Zadanie. Podczas spaceru brat Zosi jedzie czterokołowym rowerkiem. Obwód dużego koła wynosi 80 cm, a małego 40 cm. O ile obrotów więcej wykona małe koło rowerka niż duże na półkilometrowym odcinku drogi.

1. 2500

2. 1250

3. 625

4. 400

KORELACJA Z INNYMI PRZEDMIOTAMI.

GEOGRAFIA: Skala i podobieństwo map, globusów ziemi.

CHEMIA: Podobieństwo próbek , jedna większa druga mniejsza lecz ten sam kształt.

TECHNIKA: Podobieństwo znaków drogowych

MECHANIKA: Kształty np. różnych rozmiarów średnic kół zębatych.

CELE OPERACYJNE:

• zna pojęcie figur podobnych (k)

• zna pojecie skali podobieństwa (k)

• zna wzór na stosunek pól figur podobnych (p)

• rozumie pojecie figur podobnych i potrafi je rozpoznać (k)

• rozumie pojęcie skali podobieństwa (k)

• umie określić skalę podobieństwa (k-p)

• umie podać wymiary figury podobnej w danej skali (k-p)

• umie rozwiązywać zadanie tekstowe związane z figurami podobnymi (p)

• umie określić stosunek pól figur podobnych (p)

ZADANIA PODSTAWOWE.

Zadanie. Prostokąt ABCD ma wymiary 1cm x 2,5cm.

1. jakie wymiary ma prostokąt podobny do prostokąta ABCD w skali 3 ?

2. jaki obwód ma prostokąt podobny do prostokąta ABCD w skali
   ?

Zadanie. W jakiej skali kwadrat o boku długości 3,5cm jest podobny do kwadratu o boku długości 4,5cm.

Zadanie. Trójkąt DEF jest podobny do trójkąta ABC w skali
. Oblicz długości boków x, y i z.

ZADANIA CIEKAWE.

Zadanie. Klatka filmu fotograficznego ma wymiary 24mm x 36mm. Który rodzaj odbitek fotograficznych ma kształt prostokąta podobnego do klatki filmu ?

WYMIARY ODBITEK:

9 cm x 13 cm

10 cm x 15 cm

13 cm x 18 cm

15 cm x 21 cm

Zadanie. W USA boisko do koszykówki ma wymiary 16
jarda x 31
jarda. W Europie koszykarze grają na boisku o wymiarach 15m x 26m. Czy boiska te są prostokątami podobnymi?.

ZADANIA ROZWIJAJĄCE.

Zadanie. Pewien prostokąt ma tę własność, że można go rozciąć na trzy jednakowe prostokąty podobne do niego. W jakiej skali prostokąt ten jest podobny do każdego z mniejszych prostokątów?. Jakie jest stosunek długości dłuższego boku do krótszego w każdym z tych prostokątów?

Zadanie. Skonstruuj prostokąt, który jest podobny do prostokąta narysowanego obok i którego obwód wynosi 20 cm.

Wskazówka: Skorzystaj z konstrukcji podziału odcinka w danym stosunku.

ŚCIEŻKI EDUKACYJNE.

• Ekologiczna: przy segregacji śmieci ( butelek - podobnych do siebie i innych artykułów)

• Prozdrowotna : blizniacy ( podobieństwo w wygladzie)

• Wychowanie patriotyczne i obywatelskie

Zadanie Standard I.3 POSŁUGIWANIE SIĘ WŁASNOŚCIAMI FIGUR (posługiwanie się własnościami miar)

Boisko do gry w piłkę nożną na stadionie narodowym ma rozmiary 105m x 68m. Natomiast boisko szkolne ma rozmiary 55m x 28m. Czy te boiska SA do siebie podobne?. Jeśli tak oblicz skale podobieństwa.

• Europejska.

Standard II.1. WYSZUKIWANIE I STOSOWANIE INFORMACJI.(ODCZYTYWUJE INFORMACJE PRZEDSTAWIONE W FORMIE SCHEMATU, TABELI)

Zadanie. Poniżej w tabelce umieszczono wymiary banknotów powszechnie używanych w krajach europejskich. Oblicz skalę podobieństwa następujących banknotów:

1. 5 euro z 10 euro

2. 10 euro z 20 euro

3. 100 euro z 50 euro

4. 200 euro z 500 euro

BANKNOTY	WYMIARY
5 EURO 10 EURO 20 EURO 50 EURO 100 EURO 200 EURO 500 EURO	120 x 62 mm 127 x 67 mm 133 x 72mm 140 x 77mm 147 x 82mm 153 x 82mm 160 x 82mm

JAKIE CIEKAWE METODY MOŻNA WYKORZYSTAĆ PODCZAS REALIZACJI ZAGDANIENIA.

Można wykorzystać metodę projektu: praca w grupach.

Nauczyciel na poprzedniej lekcji prosi uczniów o przyniesienie wycinanek, linijki, ołówka i nożyczek. Sam nauczyciel przygotowuje kilka figur płaskich ) koło, kwadrat, trójkąt, prostokąt, trapez, romb).

Na lekcji nauczyciel rozdaje dla każdej z grup po jednej figurze i prosi o wycięcie z wycinanek figur podobnych do otrzymanej figury od nauczyciela, tyle że w różnych skalach np.:

1. 1:2

2. 2:1

3. 1:3

4. 3:1.

---