TEMAT:
Uzupełnienie rachunku
różniczkowego funkcji jednej zmiennej

 

LEMAT 1.1    (Fermata, o zerowaniu się pochodnej )

 
            Z:        
 

                       

 

            T:       f'(c) = 0

 

            D:       Niech dla przykładu:    

 

                        Wiemy wówczas, że:   

                        Stąd dla x<c:            
.

                        Natomiast dla x>c:   
,
 

a wobec faktu, że granica przy  x→c istnieje, wnioskujemy, że f'(c) = 0.

           

             (Dowód dla min jest analogiczny.)

 

 

 

TWIERDZENIE 1.1   (Rolle'a)

 

             Jeśli funkcja f(x) jest określona i ciągła w przedziale domkniętym [a,b],
             istnieje pochodna skończona przynajmniej w przedziale otwartym ]a,b[ i na
             końcach przedziału funkcja przyjmuje równe wartości, wówczas między a i b 
             można znaleźć taki punkt c, że f'(c) = 0.

 

             Z:       

                                    f(a) = f(b)

 

            T:        

 

            D:        1º  Funkcja jest stała. Wówczas:

 

                                   

 

 

                         2º  Funkcja jest różnowartościowa (f(x) ≠ const).

                              Dla dowodu przyjmijmy, że:

 

                             
,

 

       a ponieważ funkcja jest ciągła i przyjmuje takie same wartości na
       krańcach przedziałów, wobec tego
.

       Stąd na podstawie Lematu 1.1 wnioskujemy, iż

 

                             
.

 

 

 

TWIERDZENIE 1.2      (Cauchy'ego)

 

Jeśli funkcje f(x) i g(x) są określone i ciągłe w przedziale domkniętym [a,b], istnieją
pochodne skończone przynajmniej w przedziale otwartym ]a,b[, i g'(x) ≠ 0
w przedziale ]a,b[, wówczas między a i b można znaleźć taki punkt c, że:    


 

 

            Z:        

                       

            T:        

 

 

D:        Wiedząc, że
 wnioskujemy, iż g(b) ≠ g(a).
             Możemy zatem wprowadzić nową funkcję:

 

                         
.
 

 Możemy wyliczyć
, oraz
. A ponieważ z własności
 kombinacji funkcji ciągłych wnioskujemy, że
,
 przeto możemy zastosować twierdzenie 1.1:

 

                         
.

 

 Wyliczając pochodną
, przyrównując ją do zera i przekształcając, otrzymujemy tezę.

 

 
 

TWIERDZENIE 1.3  (Lagrange'a, szczególny przypadek twierdzenia Cauchy'ego)

 

            Z:        

         

T:        

 

 

            D:        Jest to szczególny przypadek twierdzenia Cauchy'ego, dla g(x)=x.

 

 

 

            Inne postacie twierdzenia Lagrange'a.

 

           Jeśli przyjmiemy a=x_o i b=x, wówczas możemy zauważyć, że wyrażenie

 
  da się przekształcić (przez wymnożenie licznika i mianownika
  ułamka przez (-1)) w:         

 

           gdzie a=x i b=x_o. Czyli twierdzenie nie zależy od “kolejności” a i b.

 

 

           Twierdzenie możemy więc zapisać w następujący sposób:

 

  Z:        
, gdzie
 oraz  
.

 

            T:        

 

 

 

            Wyliczanie wartości przybliżonej funkcji.

 

            Jeśli przyjmiemy x = x_o + h, wtedy: 
, gdzie

 

            wówczas teza twierdzenia Lagrange'a przyjmie postać:

 

           
,

 

            skąd wyliczyć możemy   
.

 

            Możemy więc wysnuć wniosek 1.1

 

 

WNIOSEK 1.1

            Z:        
, gdzie
 oraz
.

 

            T:        

 

 

 

PRZYKŁAD 1.1

 

           Obliczymy ln(1,2).

           Przyjmujemy f(x) = ln(x),  x_o = 1, h = 0,2 i obliczamy:

 

                      f( x_o) = 0

                       

 

           A więc:     
.

 

 

 

TWIERDZENIE 1.4    (Wzór Taylora)

 

            Z:        

 

            T:        

 

                        
,

                         gdzie
 nazywamy resztą Lagrange'a.

         

 

            D:        Przyjmiemy x>x_o. Wprowadzimy nowe funkcje:

                                  
, gdzie
,
 

                                  
.

 

               Na podstawie swoich własności obie te funkcje spełniają założenia
               twierdzenia Cauchy'ego. Obliczmy ich pochodne:

                         
,

                                  
.

                         Zauważmy teraz, że: h(x) = f(x) 

                                  

                                  

                                  

               Wykorzystamy teraz twierdzenie Cauchy'ego:

 

                                  
,

 

                         a z drugiej strony

 

                        
.

                         A więc:

 

                         
,

                         co jest przekształceniem tezy twierdzenia.

 

 

            Inne postacie twierdzenia Taylora. Rozwinięcia funkcji.

            Powyższe twierdzenie możemy zapisać również w następujący sposób:

 

            Z:        

 

            T:        

                       
,
 

Wzór ten pozwala obliczać przybliżone wartości funkcji. Ilustruje to następujący:

PRZYKŁAD 1.1  cd

  Obliczymy ponownie ln(1,2) z dokładnością do 0,001. Ustalmy liczbę kroków n=2.
  Rozpisujemy  wzór Taylora:

                       

            Przyjmujemy f(x) = ln(x),  x_o = 1,  h = 0,2 i obliczamy pochodne:

                        f( x_o) = 0

                       

                       

                       

                       

          A więc:
.

 

Teraz szacujemy resztę, by sprawdzić, czy otrzymana wartość logarytmu mieści się w zadanej dokładności. Przyjmujemy
, gdyż funkcja ma wówczas największą wartość.

 

                       
.

 

Zadana reszta jest więc większa od żądanej dokładności. Musimy zatem wziąć większe n.

             

Weźmy n=3. Wówczas:

 

 

  

Zatem 
  z żądaną

 

dokładnością mniejszą niż 0,001.

 

 

 

          Wzór Taylora w otoczeniu zera.

          Przyjmiemy h = x ( x_o=0 ). Otrzymujemy:

TWIERDZENIE 1.5    (MacLaurina)

 

            Z:        

            T:        
 
,    gdzie 
.

 

 

 

NIESKOŃCZENIE MAŁE

DEFINICJA 1.1 (nieskończenie małe)

           Jeżeli
 oraz
, wówczas f(x) nazywamy nieskończenie
małą w
.

 

 
 

PRZYKŁAD 1.2 

            Funkcje:

 

            f(x) = x
            g(x) = x²

            h(x) = sin x

            są nieskończenie małe w otoczeniu w otoczeniu  x_o = 0.

 

DEFINICJA 1.2

 

            Niech  f(x), g(x)  -  nieskończenie małe w ot( x_o),

 

1.         f(x) = o(g(x)) i mówimy, że f(x) jest nieskończenie małą rzędu wyższego niż
.
 

 

2.         f(x) i g(x) są nieskończenie małe w otoczeniu  x_o tego samego rzędu



 

3.         f(x) i g(x) są nieskończenie małe w otoczeniu x_o równoważne

           
.

 

 

UWAGA 1.1

Reszta we wzorze MacLaurina jest w otoczeniu zera nieskończenie małą rzędu
wyższego niż xⁿ, co zapisujemy:

            R_n(x) = o(xⁿ).

            Uzasadnienie:

                       

 

                       

 

 

WNIOSEK 1.2

            Tezę twierdzenia MacLaurina można zapisać w następujący sposób:

           
, gdzie o(xⁿ) jest tzw. resztą Peano.
 

 

 

 

PRZYKŁAD 1.3

 

          1º          f(x) = e^x  x_o = 0

 

                       

 

2º           g(x) = sin x     x_o = 0

             

             

             

 

                       

 

                        

                       

 

            Analogicznie postępując jak wyżej możemy wyprowadzić wzór na cos x.

 

                       

 

---