W ciałach stałych energie elektronów ograniczone są do pewnych poziomów, które z kolei należą do pewnych pasm. Między poszczególnymi pasmami występują tzw. przerwy energetyczne. Przebywanie elektronu w takiej przerwie jest niemożliwe. Pasma wypełnione elektronami walencyjnymi noszą nazwę pasm walencyjnych (lub podstawowych), a pasma wypełnione częściowo lub puste (odpowiadające większym energiom)-przewodnictwa. Elektrony znajdujące się w pasmach całkowicie zapełnionych nie wnoszą żadnego wkładu w przewodnictwo elektryczne, ze względu na brak wolnych, dozwolonych stanów energetycznych. W pasmach przewodnictwa (częściowo zapełnione lub puste) istnieją dozwolone puste stany energetyczne i elektrony pod wpływem np. zewnętrznego pola elektrycznego mogą przenosić się na nie, zatem biorą udział w przewodnictwie elektrycznym. Przewodniki są materiałami o niecałkowicie obsadzonym pasmie podstawowym lub o zlewających się ze sobą pasmach: podstawowym i przewodzenia. Jeżeli najwyższe zapełnione pasmo walencyjne jest oddzielone przerwą od najniższego pasma przewodnictwa to mamy do czynienia z półprzewodnikiem (przerwa energetyczna Eg<2 eV - elektrony mogą łatwo „przeskoczyć" przerwę energetyczną np. czerpiąc energię z fluktuacji termicznych) lub izolatorem (przerwa energetyczna Eg>2eV). Przerwę energetyczną Eg można wyznaczyć na kilka sposobów:

1.z zależności przewodnictwa elektrycznego od temperatury

2.z zależności przewodnictwa elektrycznego od energii padającego promieniowania

elektromagnetycznego

3.z pomiarów współczynnika absorbcji promieniowania elektromagnetycznego w

zależności od energii tego promieniowania.

Elektron może zwiększyć swoją energię jedynie kosztem absorpcji promieniowania elektromagnetycznego. Jeżeli na półprzewodnik padają fotony o energii wystarczającej na przeniesienie elektronu z pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa to są one silnie absorbowane. Zatem w widmie absorpcyjnym półprzewodnika można wyróżnić gwałtowny wzrost współczynnika absorpcji w pobliżu energii hn równej szerokości przerwy energetycznej Eg. Efekty tego oddziaływania można prześledzić stosując tzw. materiałowe równania Maxwell'a. Rozwiązaniem tych równań jest równanie fali rozchodzącej się w ośrodku absorbującym:

gdzie n jest rzeczywistym współczynnikiem załamania, a wielkość ℵ jest to współczynnik ekstyncji, który opisuje absorpcję światła. Drugi czynnik ekspotencjalny opisuje tłumienie fali wraz z odległością. Natężenie fali jest wprost proporcjonalne do średniej czasowej z kwadratu pola elektrycznego (I ~ E²). Zatem stosunek natężenia promieniowania padającego do promieniowania, które przebyło pewną drogę wyraża się:

gdzie  to współczynnik absorpcji.

Definicją jego jest:

dI=-  I dx

gdzie dI to zmiana natężenia fali na odległości dx.

Przejścia elektronowe dla których elektron prawie nie zmienia swojego pseudo-pędu nazywamy przejściami prostymi. Występują one wtedy gdy: pj - pi = pp

gdzie pj - pseudo-pęd elektronu w stanie początkowym, pi - w stanie końcowym, a pp - pęd fotonu.

Ponieważ p=k oraz kp << ki,kj, to kj=ki, gdzie kj, ki są to odpowiednio wektor falowy elektronu w stanie początkowym i końcowym.

Wyrażenie na energetyczną zależność współczynnika absorbcji dla przejść optycznych w obszarze krawędzi absorbcji dane jest:

[25]

gdzie:

m= 1/2 dla przejść prostych dozwolonych

m= 3/2 dla przejść prostych wzbronionych

m= 2 dla przejść skośnych dozwolonych

m= 3 dla przejść skośnych wzbronionych

c_m - stała zależna od rodzaju przejścia

Chcąc określić wartość przerwy energetycznej Eg z pomiarów optycznych należy wyznaczyć wartość współczynnika absorpcji , który z kolei można wyznaczyć z pomiarów współczynnika transmisji T, który jest stosunkiem natężenia fali elektromagnetycznej przechodzącej przez próbkę do natężenia fali padającej na próbkę. Transmisję światła można przedstawić jako:

[26]

gdzie jest współczynnikiem odbicia światła na granicy powietrze-warstwa, a  jest współczynnikiem odbicia światła na granicy warstwa-podłoże, n_s jest współczynnikiem załamania podłoża, d grubość warstwy. Złożoność wyrażenia na transmisje wynika z faktu, iż światło przechodzące przez cienką warstwę ulega nie tylko absorpcji ale także wielokrotnym odbiciom na powierzchniach rozdzielających różne ośrodki optyczne. Ponad to w widmie transmisji występują maksima i minima interferencyjne. Zjawisko interferencji zachodzi ponieważ grubość warstwy półprzewodnika jest porównywalna z długością fali promieniowania elektromagnetycznego padającego na badaną próbkę.

Współczynnik załamania n można wyznaczyć korzystając z minimów i maksimów interferencyjnych transmisji z wzoru [26] podstawiając za cos() odpowiednio jego wartość maksymalną i minimalną. Z powstałych równań otrzymujemy:

[27]

gdzie:

Mając wyznaczone R₁₂ i R₂₃ (niezależne od energii) oraz zmierzoną wartość transmisji T=T(hν), można wyliczyć dla każdej energii (długości fali) wartość współczynnika absorpcji korzystając ze wzoru:

[29]

Wzór ten jest słuszny w obszarze dużej absorpcji.

Wartość przerwy energetycznej należy policzyć korzystając z [25].

Opracowanie wyników dla próbki 1B CdIn₂O₄:

1. Sporządzenie wykresów zależności współczynnika transmisji T od długości fali .

2. Przeliczenie długości fali  na energię fotonu wyrażoną w eV.

E=h, =c/

3.Wykreślenie obwiedni dla T_min i T_max i wyznaczenie współczynnika załamania n:

dla wielkości ze spektrofotometru jednowiązkowego (sp1):

T_min = 0.78 = 78%

T_max = 0.92 = 92%

n = 1.96

dla wielkości ze spektrofotometru dwuwiązkowego (sp2):

T_min = 0.7233 = 72.33%

T_max = 0.8904 = 89.04%

n = 2.07

Obliczenia robimy ze wzoru 27.

4. Obliczenie współczynnika odbicia na granicy powietrze-warstwa (R₁₂) i warstwa-podłoże (R₂₃). Współczynik załamania podłoża (szkło) n_s = 1.5.

dla sp1: R₁₂ = 0.105

R₂₃ = 0.017

dla sp2: R₁₂ = 0.121

R₂₃ = 0.034

5. Obliczenie w obszarze absorpcji podstawowej współczynnika absorpcji  w funkcji energii fotonu i narysowanie wykresu  = f(h).  liczymy ze wzoru 29.

6. Wykonanie wykresów ^1/m = f(h) dla czterech różnych wartości m (1/2, 3/2, 2, 3) oraz poprowadzenie metodą najmniejszych kwadratów prostej przez punkty pomiarowe leżące w obszarze silnej absorpcji.

7. Z przedłużenia prostoliniowej części wykresu do przecięcia z osią energii wyznaczamy wartość przerwy wzbroninej E_g dla poszczególnych rodzajów przejść.

8. Obliczamy za pomocą różniczki zupełnej błąd wyznaczonej przerwy energetycznej.

E_g=0,065 eV

Tabele wyników:

dla spektrofotometru dwuwiązkowego

 [nm]	T	E=h eV]  	 [m^-1]	(h)^2	(h)^2/3	(h)^1/2	(h)^1/3
300	0.0002	4.119593	3.21E+7	1.032E+15	101063.3	5668.201	317.905
310	0.0019	3.986703	2.35E+7	5.508E+14	81973.13	4844.552	286.31
320	0.0057	3.862118	1.92E+7	3.703E+14	71812.62	4386.828	267.979
330	0.0112	3.745085	1.66E+7	2.771E+14	65194.84	4079.998	255.333
340	0.0183	3.634935	1.48E+7	2.178E+14	60165.99	3841.61	245.288
350	0.0278	3.53108	1.31E+7	1.729E+14	55711.54	3626.26	236.033
360	0.0408	3.432994	1.17E+7	1.363E+14	51461.76	3416.752	226.852
370	0.0598	3.340211	1.02E+7	1.041E+14	47044.16	3194.326	216.897
380	0.0865	3.25231	8.78E+6	7.716E+13	42572.27	2963.774	206.331
390	0.1247	3.168918	7.38E+6	5.442E+13	37895.96	2716.093	194.669
400	0.1748	3.089695	6.08E+6	3.694E+13	33305.54	2465.399	182.498
410	0.2353	3.014336	4.94E+6	2.435E+13	28986.39	2221.496	170.254
420	0.3015	2.942566	3.98E+6	1.585E+13	25120.88	1995.382	158.496
430	0.3623	2.874135	3.28E+6	1.073E+13	22053.34	1809.696	148.504
440	0.4127	2.808813	2.77E+6	7.695E+12	19742.82	1665.547	140.509
450	0.4516	2.746395	2.43E+6	5.893E+12	18062.79	1558.076	134.398
460	0.4832	2.686691	2.17E+6	4.698E+12	16748.22	1472.233	129.415
470	0.512	2.629528	1.94E+6	3.782E+12	15580.57	1394.561	124.822
480	0.5434	2.574746	1.72E+6	2.944E+12	14332.56	1309.914	119.719
490	0.5807	2.5222	1.46E+6	2.133E+12	12872.84	1208.525	113.459
500	0.6221	2.471756	1.2E+6	1.43E+12	11265.2	1093.463	106.138
510	0.6674	2.42329	9.25E+5	8.562E+11	9495.727	961.9359	97.446
520	0.7154	2.376688	6.58E+5	4.332E+11	7566.653	811.2933	86.9865
530	0.7635	2.331845	4.08E+5	1.664E+11	5500.285	638.6882	74.1639
540	0.8056	2.288663	2.01E+5	4.06E+10	3436.84	448.8689	58.6246
550	0.8416	2.247051	3.33E+4	1.111E+9	1035.86	182.5896	32.1848

Wiedząc z 25, że C_m jest współczynnikiem kierunkowym (wyznaczonych metodą najmniejszych kwadratów) prostych otrzymujemy:

C_m = 3.2382 ⋅ 10¹⁴ dla przejść prostych dozwolonych i E_g=3,05 eV,

C_m = 46704.7 dla przejść prostych wzbronionych i E_g=2.3 eV,

C_m = 2584.56 dla przejść skośnych dozwolonych i E_g=2.1 eV,

C_m = 131.285 dla przejść skośnych wzbronionych i E_g=1.7 eV.

dla spektrofotometru jednowiązkowego

cechowanie spektrofotometru

 [nm]	T [%]
350	6.5
370	20
390	43
410	64
430	81
450	93
470	93
490	91
510	79
530	65
550	70
570	65
590	50

wyniki pomiarów

 [nm]	T	E=h eV]	 m^-1]	(h)^2	(h)^2/3	(h)^1/2	(h)^1/3
350	0.01	3.5418	1.7218E+7	2.965E+14	66678.77	4149.451	258.2223
400	0.23	3.0991	5.1584E+6	2.661E+13	29854.33	2271.201	172.7841
420	0.375	2.9515	3.2782E+6	1.075E+13	22067.57	1810.573	148.5516
440	0.47	2.8173	2.4097E+6	5.807E+12	17973.81	1552.316	134.0665
460	0.59	2.6948	1.5351E+6	2.357E+12	13307.39	1238.995	115.3577
480	0.66	2.5825	1.1039E+6	1.219E+12	10681.12	1050.661	103.3495
500	0.72	2.4792	7.6923E+5	5.917E+11	8395.322	877.0574	91.62599
520	0.78	2.3839	4.6137E+5	2.129E+11	5970.834	679.2448	77.27118
540	0.87	2.2956	41376	1.712E+9	1196.278	203.4108	34.58725

Z powyższych pomiarów wynika, że:

C_m = 7.63367⋅ 10¹³ dla przejść prostych dozwolonych i E_g= 3,12 eV,

C_m = 48048.2 dla przejść prostych wzbronionych i E_g=2.35 eV,

C_m = 2890.26 dla przejść skośnych dozwolonych i E_g=2.22 eV,

C_m = 160,897 dla przejść skośnych wzbronionych i E_g=1.98 ev.

Z powyższych czterech możliwych przejść wybieramy przejścia proste dozwolone gdyż dla nich mamy największą liczbę punktów wykresu pokrywających się z punktami prostej regresji,a dla innych rodzajów przejść otrzymane wartości E_g leżą w obszarze słabej absorpcji. Czyli dla sp1 E_g=3,05 ±0,065eV, a dla sp1 E_g=3,12eV. Błędy zależą od dokładności pomiaru (a właściwie ustawienia) długości fali  i współczynnika transmisji T. Istotna jest także krzywa cechowania spektrofotometru charakteryzująca czułość detektora dla poszczególnych długości fali. Dodatkowe błędy wynikały z tego, że dla spektrofotometru jednowiązkowego czułość detektora była najmniejsza właśnie dla długości fali odpowiadającej krawędzi absorpcji podstawowej.

Nr ćwiczenia:

37

Nr zespołu:

Data ćwiczenia:

Wydział EAiE. Rok I. Grupa

Wyznaczanie przerwy energetycznej.

---