SPRAWOZDANIE Z ĆWICZENIA NR 15

„DRGANIA MASY ZAWIESZONEJ NA SPRĘŻYNIE”

POMIARY

Dokładność pomiaru amplitudy: 0,001m

Dokładność pomiaru czasu: 0.2s

Długość sprężyny bez ciężarków: 22,7cm

Długość sprężyny z ciężarkiem 50g:39,5cm

Sprawdzenie izochronizmu drgań:

Amplituda drgań [cm]	Czas 20tu drgań [s]
1	22,60
2	22,57
3	22,46
4	22,61
5	22,56 22,81 22,81 22,65 22,30 22,31
6	22,54
7	22,68
8	22,49
9	22,63
10	22,52

Wyznaczanie współczynnika sprężystości:

Masa ciężarka [g]	pierwszy pomiar [cm]	drugi pomiar [cm]
10	26,2	26,2
20	29,5	29,5
30	32,8	32,8
40	36,2	36,2
50	39,5	39,5
60	42,9	43,0
70	46,3	46,3
80	49,6	49,6
90	53,0	53,0
100	56,3	56,3

1

Zależność okresu drgań od masy obciążającej sprężynę

Amplituda drgań [cm]	Czas dwudziestu drgań [s] dla kolejnych mas ciężarków
	90g	80g	70g	60g	50g	40g
1	26,62	25,60	24,59	23,59	22,53	21,13
2	26,54	25,69	24,63	23,38	22,44	21,25
3	26,53	25,47	24,60	23,50	22,46	21,25
4	26,84	25,81	24,69	23,50	22,34	21,28
5	26,72	25,62	24,69	23,31	22,47	21,37
6	26,69	25,69	24,75	23,65	22,53	21,28
7		25,34	24,66	23,59	22,40	21,25
8		25,62	24,69	23,72	22,53	21,25
9		56,25	24,62	23,34	22,37	21,28
10		25,75	24,78	23,69	22,47	21,28

Odważnik o masie m_x:

Długość sprężyny : 39,7cm

Czas 20tu drgań dla amplitudy 1cm : 22,59s

4cm : 22.41s

Wniosek : m_x=50g

OPIS DOŚWIADCZENIA:

Na szalce sprężyny położyłam odważnik 50g i zmierzyłam odchylenie sprężyny. Następnie rozciągałam sprężynę kolejno o 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9 i 10 cm i mierzyłam czas 20 drgań. Tak samo postąpiłam dla mas 40g, 60g, 70g, 80g, 90g i 100g. Dla 90g i 100g zabrakło skali na centymetrze. Dodatkowo zanotowałam wydłużenie sprężyny w położeniu równowagi dla mas od 10 do 100 g. Na zakończenie wykonałam pomiary dla ciężarka o nieznanej masie.

2

OPIS TEORETYCZNY:

SIŁA SPRĘŻYSTOŚCI:

Jest to siła zmienna, zależy bowiem od położenia luźnego końca sprężyny, dążąca do przywrócenia stanu nieodkształconego sprężyny.

Odkształcenie ciała stałego jest proporcjonalne do przyłożonej siły. Dla sprężyny wydłużonej o x odkształcenie jest dodatnie, dla ściskanej o x - ujemne. Prawo to jest spełnione dla małych odkształceń i nosi nazwę PRAWA HOOKE'A. Dla sprężyny można je zapisać: F=kx, gdzie k jest charakterystycznym dla danej sprężyny współczynnikiem sprężystości.

Zgodnie z zasadą dynamiki Newtona sprężyna działa na ciężarek z siłą równą co do wartości naciskowi ciężarka lecz o przeciwnym zwrocie: F_s=-kx. Pionowa zawieszona sprężyna będzie więc w równowadze, gdy mg-kx₀=0, więc wydłużenie w stanie równowagi wynosi
.

DRGANIA CIĘŻARKA NA PIONOWO ZAWIESZONEJ NIEWAŻKIEJ SPRĘŻYNIE:

Gdy ciężarek znajduje się w równowadze, więc mg-kx=0, to porusza się on z przyspieszeniem
. Więc równanie ruchu ma postać

Ma=mg-kx =>

=>

a
, więc

Określając wychylenie ciężarka z położenia równowagi (x-x₀) jako z otrzymujemy:

Jednocześnie z ruchu drgającego mamy z=Acos(ωt+φ), gdzie A jest maksymalnym wychyleniem, a ω jest równa
i jest to częstość kołowa, natomiast φ to faza początkowa drgania.

Okres wynosi :

A i φ zależą od warunków początkowych, natomiast T nie jest zależny od amplitudy. Nazywa się to IZOCHRONIZMEM DRGAŃ i wynika z liniowej zależności między siłą F_s a wydłużeniem x sprężyny.

DRGANIA CIĘŻARKA NA SPRĘŻYNIE O REALNEJ MASIE.

Ruch jest podobny do z=Acos(ωt+φ), ale okres jest dłuższy i wynosi:
jest on taki, jak gdyby ciężarek miał masę
. Po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy:

3

Wyprowadzenie wzoru
:

zasada zachowania energii całkowitej: E_całk=E_pot+E_kinet=const

*energia potencjalna # energia sprężysta odkształconej sprężyny

# energia potencjalna grawitacyjna

-en. sprężysta
(dla nieodkształconej sprężyny wynosi 0)

-en. grawitacyjna przy odkształcaniu sprężyny maleje (bo ciężarek znajduje się coraz bliżej ziemi). Dla sprężyny nieważkiej:

E_pG=-Px

gdzie P to ciężar masy na sprężynie (P= mg=kx₀)dla sprężyny ważkiej

E_pG=-P_efx=-kx_rx,

gdzie P_ef to ciężar efektywny P_ef=kx_r

x_r to wydłużenie sprężyny pod wpływem masy własnej i ciężarka w położeniu równowagi

-en. potencjalna całkowita wynosi więc

E_pc=-kx_rx

*energia kinetyczna# energia kinetyczna ciężarka

# energia kinetyczna sprężyny

-en. kinetyczna ciężarka:

-en. kinetyczna sprężyny:
, gdzie

v- prędkość ciężarka,

m_s- masa sprężyny y- długość elementu sprężyny o masie dm_s

L- długość sprężyny

,

y- odległość elementu od punktu zawieszenia

v- prędkość elementu masy sprężyny

,

-masa elementu sprężyny

dy- długość elementu sprężyny

en. kinetyczna całej sprężyny

z zasady zachowania energii otrzymujemy:

różniczkujemy względem czasu:
, dla z=x-x_r:

4

i z=Acos(ωt+φ)
=>

OPRACOWANIE WYNIKÓW:

3.1

Należy wykazać, ze okres drgań nie zależy od amplitudy. W tym celu obliczam średni okres drgań ciężarka o masie 50g dla amplitudy 5 cm.

(22,81+22,81+22,65+22,30+22,31):5=22.576s.

Maksymalne odchylenie od średniej- 22,30s(różnica wynosi 22,576-22,30=0,273s).

Dla innych amplitud powinny więc mieścić się w przedziale 22,30-22.85, i tak rzeczywiście jest- przedział ten to 22,46-22.68.

3.2

Ciężar F_G ciężarków na szalce :

Masa [g]	Ciężar [N]
10	0,0981
20	0,1962
30	0,2943
40	0,3924
50	0,4905
60	0,5886
70	0,6867
80	0,7848
90	0,8829
100	0,981

Wydłużenie sprężyny[cm]
3,5
6,8
10,1
13,5
16,8
20,25
23,6
26,9
30,3
33,6

F_i=kx_i => k=F_i/x_i

K₁=2,803

K₂=2,885

K₃=2,914

K₄=2,906

K₅=2,93

K₆=2,907

K₇=2,909

K₈=2,917

K₉=2,914

K₁₀=2,919

k_śr=(k₁+k₂+…k₁₀):10=2,90

5

3.3

Średni okres dla wszystkich ciężarków: masa obciążenia: m_i+17,9g:

m=90g => T=26,66s/20 = 1.33s => T²= 1,77 s² 107,9g

m=80g => T=25,61s/20 = 1,28s => T²= 1,64 s² 97,9g

m=70g => T=24,67s/20 = 1,23s => T²= 1,51 s² 87,9g

m=60g => T=23,53s/20 = 1,17s => T²= 1,37 s² 77,9g

m=50g => T=22,55s/20 = 1.13s => T²= 1,28 s² 67,9g

m=40g => T=21,27s/20 = 1,06s => T²= 1,13 s² 57,9g

m=xg => T=22,5s/20 = 1,125s => T²= 1,26 s²

wartość nieznanej masy wynosi 50g.

wartość T² przy zerowej masie obciążenia (m=0) : B=136 s² (wyliczona)

B=130 s² (odczyt z wykresu)

Wartość współczynnika kierunkowego prostej: A=13,6 m/N (wyliczona)

A=5,3 m/N (odczyt z wykresu)

Sprawdzenie czy udział masy sprężyny jest równy
:

=>

Dla masy ciężarka 90 g :
= 1,469+0.331=1,80

Na podstawie powyższego wyniku można stwierdzić, że udział masy sprężyny w łącznej masie wynosi 1/3.

WNIOSKI:

Na podstawie doświadczenia można wywnioskować, że okres drgań nie jest zależny od amplitudy, a jedynie od masy ciężarka i własności danej sprężyny. Potwierdza to słuszność teorii o izochronizmie drgań. Dodatkowo dowiedzione zostało, ze udział masy sprężyny w ogólnej masie obciążającej wynosi 1/3, co należy brać pod uwagę badając każdy ruch harmoniczny- błędne jest zakładanie nieważkości sprężyny.

Nieznaczne odchylenia wartości czasu 20 wahnięć spowodowane są czasem reakcji przeprowadzającego doświadczenie i są nie do uniknięcia przy pomiarze manualnym.

6

---