PODSTAWOWE POJĘCIA.

*PUNKT MATERIALNY

Ciało tak małe w porównaniu do przestrzeni w której odbywa się ruch tego ciała, że zaniedbuje się obroty tego ciała i traktuje się jako punkt geometryczny, w którym skupiona jest pewna ilość materii.

*CIAŁO DOSKONALE SZTYWNE

Zbiór punktów materialnych nie zmieniających wzajemnych odległości niezależnie od zewnętrznych oddziaływań.

*RUCH CIAŁA

Zmiana położenia jednego ciała względem innego uważanego za ciało odniesienia. Ruch więc jest pojęciem względnym, tzn. nie istnieje ciało, które byłoby w absolutnym spoczynku.

*PRZESTRZEŃ RUCHU

Jest tutaj płaska inaczej euklidesowa tzn. najkrótszą drogą między dwoma punktami jest odcinek linii prostej łączącej te dwa punkty.

*CZAS

Jest tutaj absolutny tzn. nie zależy od układu odniesienia, jest taki sam w każdym punkcie przestrzeni w danej chwili.

*SIŁA

Jest to wzajemne oddziaływanie dwóch ciał na siebie. Jest to wielkość wektorowa.

[N]→ciału o masie 1kg nadaje przyspieszenie m/s²

Wielkości fizykalne:

- skalarowe: do ich określenia wystarczy podać tylko ich wartość

- wektorowe: należy podać kierunek, zwrot, wartość liczbową, niekiedy punkt zaczepienia.

POŁOŻENIE CIAŁA W PRZESTRZENI.

WIĘZY, LICZBA STOPNI SWOBODY CIAŁA

*PUNKT SWOBODNY

Punkt bez jakichkolwiek ograniczeń ruchu. Może wykonywać trzy niezależne ruchy translacyjne względem trzech osi układu. Inaczej mówiąc 3 współrzędne x, y, z można przyjąć w sposób zupełnie dowolny. Mówi się, że punkt ma 3 stopnie swobody. Nakładając ograniczenie w postaci sztywnego pręta OP otrzymuje się równanie więzów:

OP² = x² + y² + z²

z którego to równania można wyznaczyć jedną współrzędną. Teraz można przyjąć dowolnie tylko 2 współrzędne punktu. Mówi się więc, że punkt ma 2 stopnie swobody, tzn. może wykonywać tylko 2 niezależne ruchy proste. Nakładając kolejne ograniczenie o równaniu:

MP²=(xm-x)²+(ym-y)²+(zm-z)² odbieramy kolejny stopień swobody. Punkt ma teraz tylko jeden stopień swobody, tzn. dowolnie może przyjąć tylko jedną współrzędną. Nakładając trzecie ograniczenie w postaci pręta NP otrzymuje się punkt nieruchomy o zeru stopniach swobody.

*CIAŁO DOSKONALE SZTYWNE

Jeżeli ciało jest swobodne, to spośród 9 współrzędnych: xa,ya,za ; xb,yb,zb ; xc,yc,zc trzy współrzędne można wyznaczyć z trzech równań odległości:

AB² = (xb - xa)² + (yb - ya)² + (zb - za)²

BC² = (xc - xb)² + (yc - yb)² + (zc - zb)²

CA² = (xa - xc)² + (ya - yc)² + (za - zc)

Dowolnie można przyjąć teraz 6 współrzędnych, tzn. ciało swobodne ma 6 stopni swobody interpretowanych jako możliwość wykonania trzech niezależnych translacji i trzech niezależnych obrotów względem trzech osi. Nakładając na ciało kolejne ograniczenia ruchu odbieramy kolejne stopnie swobody, aż do ciała będącego w spoczynku.

*WIĘZY

To ograniczenia nałożone na róg ciała. Dzieli się je na dwa charakterystyczne typy:

- WIĘZY IDEALNE

^R = ^Rn

^R ( ^ - wektor) - Reakcja całkowita, czyli siła oddziaływania więzu.

^Rn - Reakcja normalna (bez tarcia, idealna)

- WIĘZY RZECZYWISTE

^R = ^Rn + ^T

^T - Tarcie

ZASADY STATYKI

1. ZASADA RÓWNOLEGŁOBOKU.

Dwie siły zaczepione w jednym punkcie można zastąpić jedną tylko siłą zwaną ich wypadkową będącą przekątną równoległoboku zbudowanego na tych dwóch siłach.

2. Z. RÓWNOWAŻENIA SIĘ DWÓCH SIŁ.

Dwie siły pozostają w równowadze jeżeli mają ten sam kierunek, przeciwne zwroty i te same wartości liczbowe.

3. Z. UKŁADU ZEROWEGO SIŁ.

Równowaga sił działających na ciało nie ulegnie zachwianiu jeżeli do tego układu zostanie dodany, lub od niego odjęty układ równoważących się sił ( w szczególności układ dwóch sił równoważących się czyli tzw. dwójka zerowa).

4. Z. AKCJI I REAKCJI.

Jeżeli ciało -a- działa na ciało -b- siłą Fab, to ciało -b- oddziałuje na ciało -a- siłą o takim samym kierunku, przeciwnym zwrocie i tej samej wartości liczbowej:

^Fab = -^Fba

5. Z. ZESZTYWNIENIA

Równowaga sił działających na ciało odkształcalne nie ulega zachwianiu, jeżeli to ciało potraktuje się jako ciało doskonale sztywne.

6. Z. OSWOBODZENIA OD WIĘZÓW

Ciało nieswobodne można uwolnić od więzów i dalej rozpatrywać jako ciało swobodne znajdujące się pod działaniem sił zewnętrznych czynnych i sił reakcji więzów.

TWIERDZENIE VARIGNONA.

Moment -n- sił zaczepionych w jednym punkcie względem dowolnego punktu jest równy sumie momentów tych sił względem tego punktu.

^F = Fx^i + Fy^j

^Mo = ^kFyX - ^kFxY

^Mo = ^k (FyX - FxY) 

PARA SIŁ

Parą sił nazywamy dwie siły równoległe o zwrotach przeciwnych i o tej samej wartości liczbowej. Odległość linii działania sił nazywa się - RAMIENIEM PARY SIŁ. Wypadkowa pary sił jest wektorem zerowym, ale działanie pary sił nie jest zerowe. Przedstawiamy je momentem pary sił.

MOMENT PARY SIŁ

→kierunek prostopadły do płaszczyzny pary sił

→zwrot wynika z reguły śruby prawoskrętnej

→wartość momentu pary sił

^M = I^MI = F1h = F2h

^M - jest wektorem swobodnym, tzn. że może być dowolnie przyłożony.

TWIERDZENIE 1.

Równoważność dwóch par sił oznacza równość geometryczną momentów tychże par sił.

TWIERDZENIE 2.

Parę sił można przenieść w dowolne miejsce na płaszczyźnie jej działania, lub na płaszczyznę do niej równoległą (^M - jest wektorem dowolnym - dowolnie zaczepionym na płaszczyźnie).

TWIERDZENIE 3.

Para sił nie ulegnie zmianie jeżeli proporcjonalnie powiększymy wartości sił i zmniejszymy ramię pary sił, lub na odwrót. Przy czym Fh = const.

TWIERDZENIE 4.

Pary sił nie można zastąpić jedną tylko siłą, lecz inną parą sił o takim samym momencie. (Para sił powoduje ruch obrotowy).

TWIERDZENIE 5.

Moment pary sił nie zależy od wyboru bieguna na płaszczyźnie pary sił.

TWIERDZENIE 6.

Układ -n- par sił można zastąpić jedną tylko parą o momencie równym sumie geometrycznej momentów tychże par.

^M. = ∑ ^Mi

TWIERDZENIE 7.

Układ -n- par sił pozostaje w równowadze jeżeli suma momentów tychże par jest równa zero.

TWIERDZENIE

Dowolną siłę mogę zredukować do: → dowolnego punktu → do siły do niej równoległej o takim samym zwrocie i tej samej wartości liczbowej → do pary sił o momencie równym momentowi

tejże siły względem tego punktu redukcji.

TWIERDZENIE

Jeżeli ^Wg ≠ 0 to -h- jest określone. Jeżeli wektor główny ^Wg ≠ 0 to układ sił można zredukować tylko do wypadkowej siły ^W.

TWIERDZENIE

Jeżeli ^W = 0 to układ sił redukuje się tylko do pary sił ( przy ^Mg ≠ 0).

WARUNKI OGÓLNE, WYKREŚLNE I ANALITYCZNE RÓWNOWAGI STATYCZNEJ PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ.

*WARUNKI OGÓLNE (WEKTOROWE):

^Wg = 0 ^Mg = 0

*WARUNKI WYKREŚLNE:

- wielobok sił zamknięty

- wielobok sznurowy zamknięty

*WARUNKI ANALITYCZNE:

Wgx = ∑Fix = 0

Wgy = ∑Fiy = 0 lub

Mg = ∑ Mio = 0

, punkty A,B,C -nie współliniowe

Lub

,

,x nie prostopadły do pr. AB

SZCZEGÓŁNE PRZYPADKI

*UKŁAD ZBIEŻNY (W PUCKCIE 0)

- Warunek ogólny ^ Wg = 0

- Warunek wykreślny - wielobok sił zamknięty

- Warunki analityczne:

,

Lub

,

- punkty A,B,O są nie współliniowe

Lub

,

- x nie prostopadły do prostej OA.

UKŁAD TRZECH SIŁ RÓWNOLEGŁYCH

Warunkiem koniecznym równoważenia się trzech sił jest ich zbieżność. Nie jest to oczywiście warunek wystarczający. Jest nim natomiast zamykanie się wieloboku tych sił.

*UKŁAD RÓWNOLEGŁY

- Warunek ogólny: ^Wg = 0 , ^Mg = 0

- Warunki wykreślne:

- wielobok sił zamknięty

- wielobok sznurowy zamknięty

- Warunki analityczne:

,
-

- y II sił układu

Lub

,
-

- prosta AB nie równoległa do sił układu.

KRATOWNICA

Układ prostych prętów doskonale sztywnych, połączonych przegubowo o niezmiennej konfiguracji. Przeguby łączące pręty nazywa się węzłami. Obciążenia zewnętrzne jak i ciężary własne przykłada się w węzłach. Siły wewnętrzne w prętach działają oczywiście wzdłuż osi prętów, przy czym jeśli pręt jest rozciągany to siłę wewnętrzną uważa się jako dodatnią. Natomiast jeśli jest ściskany - jako ujemną. W kratownicy można wyznaczyć bez jej rozwiązywania tzw. pręty zerowe. Występują one w dwóch przypadkach:

1. ● - gdy do węzła dochodzą trzy

pręty, z których dwa leżą na

jednej linii.

2. ● - gdy węzeł jest nieobciążony

to oba pręty są zerowe.

WARUNEK STATYCZ. ROZWIĄZYWALNOŚCI

KRATOWNICY.

w - liczba węzłów kratownicy

p - liczba prętów kratownicy

2w -liczba równań równowagi statycznej dla

wszystkich węzłów

p+3 -liczba niewiadomych sił.

Stąd równanie:

2w = p+3

Jest to warunek konieczny, ale nie wystarczający statycznej wyznaczalności kratownicy.

Warunkiem wystarczającym stat. wyzn. krat. Jest jej statyczna wyznaczalność w każdym jej podukładzie. Inaczej mówiąc każdy nowy węzeł kratownicy jest połączony z nią za pomocą tylko dwóch prętów.

KONSEKWENCJE STOSOWANIA UKŁ.

STATYCZNIE NIEWYZNACZALNYCH.

1. Powstają naprężenia montażowe.

2. Powstają obciążenia termiczne.

---