PROJEKTOWANIE OPTYMALNE

Już od bardzo dawna wszelkiej działalności człowieka, zwłaszcza związanej z projektowaniem i konstruowaniem różnych obiektów i urządzeń, towarzyszył problem poszukiwania najlepszego możliwego rozwiązania.

Ludzkość dążyła i dąży do realizowania wariantów najlepszych z możliwych, takich, które przyniosą największe korzyści przy najmniejszym nakładzie sił i środków.

Optymalizacja

jest to dążenie do znalezienia wariantu ocenianego według ustalonego kryterium wyboru, jako najlepszy spośród wariantów uznanych za dopuszczalne.

Zgodnie z tą definicją, optymalizacja polega na znalezieniu ekstremum funkcji, w której zmiennymi są elementy podlegające optymalizacji. Zadanie to jest stosunkowo proste przy małej ilości zmiennych oraz warunków, które ograniczają nasze zmienne. Wówczas proces optymalizacji może się ograniczyć do porównywania parami różnych zmiennych według ustalonego kryterium i wybrania najlepszego rozwiązania.

Problem zaczyna się, gdy tych zmiennych i kryteriów jest wiele. Wielokryteriowa optymalizacja nosi nazwę polioptymalizacji.

Szczególnie silny rozwój metod optymalizacji nastąpił w okresie II Wojny Światowej, wraz z rozwojem analizy systemowej i badań operacyjnych. Wzrost złożoności obiektów i systemów, który nastąpił od tamtej pory, spowodował konieczność rozwoju metod znajdujących skuteczne i efektywne sposoby ich projektowania i realizacji.

Obecnie metody optymalizacji znajdują zastosowanie również w analizie konstrukcji i innych dziedzinach, nie zawsze związanych bezpośrednio z problemami optymalizacji.

Typowym przypadkiem optymalizacji w projektowaniu jest sytuacja, gdy ma się gotową koncepcję projektowanego obiektu, a zadaniem optymalizacji jest wyznaczenie optymalnych wartości głównych cech konstrukcyjnych projektowanego urządzenia.

Rozwiązaniem zadania optymalizacji lub polioptymalizacji nazywa się każdy uporządkowany zbiór wartości wszystkich zmiennych decyzyjnych: [x1,…,xp]. Jest to wektor w przestrzeni zmiennych decyzyjnych o współrzędnych będących wartościami tych cech.

Proces formułowania i rozwiązywania problemu optymalizacji (które w większości sprowadzają się do znalezienia minimum funkcji) przebiega w następujący sposób:

Proces - zjawisko fizyczne, proces technologiczny, system ekonomiczny, planowanie produkcji, itp.

Model - opis matematyczny procesu, sformułowany pod kątem optymalizacji,

x - zmienna decyzyjna,

F(x) - ocena jakości (funkcja celu, kryterium jakości),

X₀ - zbiór rozwiązań dopuszczalnych,

- rozwiązanie (optymalna wartość zmiennej decyzyjnej)

Najczęściej, tak sformułowane zadanie optymalizacyjne rozwiązuje się przez znalezienie minimum funkcji celu:

Prawidłowe sformułowanie problemu optymalizacji musi zawierać:

• określenie warunków optymalizacji - będą one miarą spełnienia założonych celów,

• określenie parametrów optymalizacji - są to elementy opisu systemu nie zależne od projektanta,

• określenie zmiennych projektowych - są to elementy opisu systemu zależne od projektanta,

• określenie ograniczeń - wartości, które będąograniczały zakres wartości analizowanych zmiennych projektowych.

Kryteria optymalizacji

Nadrzędnym kryterium optymalizacji nazywa się taką wielkość w stosunku do której żąda się, by była ona ekstremalna, np. wyraża się życzenie, aby efektywność jakiegoś urządzenia była maksymalna.

Wybór kryterium nadrzędnego zależy od rozwiązywanego problemu. Najczęstszym kryterium optymalizacji jest koszt realizacji produkcji obiektu optymalizowanego. Jednak, ponieważ zależy on od bardzo wielu czynników, których wpływ często bardzo trudno określić, w projektowaniu kryterium kosztu jest zastępowane przez kryterium wymiarów i objętości. Odpowiada ono w przybliżony sposób kryterium cenowemu, gdyż wymiary obiektu decydują o ilości potrzebnych surowców, a więc w pośredni sposób określają one koszty. Kryterium to jest poprawne dla elementów wykonanych z jednego materiału. Przy konstrukcjach wykonanych z niejednorodnych materiałów pozwala tylko na orientacyjne określenie kosztów minimalnych.

Najczęściej problemy optymalizacji nie dają się ograniczyć do jednego kryterium. Prowadzi to do problemów optymalizacji wielokryteriowej - polioptymalizacji. Gdy kryterium nadrzędne nie jest jednoznacznie sformułowane, wyprowadza się z niego zbiór kryteriów.

Problem polioptymalizacji rozwiązuje się najczęściej sprowadzając go do problemu z jednym kryterium, które nazywane jest zazwyczaj funkcją celu i określane jako kombinacja liniowa wszystkich kryteriów z odpowiednimi wagami:

Zmienne projektowe i parametry optymalizacji

Zmienne projektowe i parametry optymalizacji to wartości liczbowe lub funkcje, które określają obiekt. Te spośród tych zmiennych, które podlegają pewnym ograniczeniom, czy to technologicznym, czy też normowych i ich wielkości muszą być z góry ustalone, nazywa się parametrami optymalizacji. Projektant nie ma żadnego wpływu na ich wartości. Pozostałe wartości są natomiast jak najbardziej od niego zależne i noszą nazwę zmiennych projektowych. Tworzą one pewien wektor o składowych {x₁,…,x_n} i określają punkt w przestrzeni n-wymiarowej.

Zbiór zmiennych projektowych nosi też nazwę zmiennych decyzyjnych, które są podzbiorem cech konstrukcyjnych, tzn. wielkości potrzebnych do fizycznego wykonania obiektu. Zmienne decyzyjne dobiera się tak, aby jednoznacznie określały projektowany obiekt.

Ograniczenia w optymalizacji

Rozpatrywane zmienne projektowe często nie mogą być dowolne. Narzucone są na nie pewne ograniczenia. Szereg ograniczeń wynikających z wymagań normowych, technologicznych, eksploatacyjnych i innych stawianych projektowanej konstrukcji, z matematycznego punktu widzenia można podzielić na:

• nierównościowe:
  

• równościowe:
  

gdzie:
oznacza funkcję wektora zmiennych projektowych. Oznacza to, że argumentami tych ograniczeń są tylko zmienne decyzyjne.

Metody optymalizacji optymalizacji można podzielić na kilka sposobów, zależnych od postawionego problemu.

Metody optymalizacji

Wybór metody rozwiązywania problemu optymalizacji, których jest bardzo dużo, zależy od sposobu zmiany zmiennych projektowych oraz od postaci funkcji celu i funkcji opisujących ograniczenia.

1 | Strona

---