POLITECHNIKA RADOMSKA

im. Kazimierza Pułaskiego

Zbigniew Kosma

PODSTAWY

MECHANIKI PŁYNÓW

Radom 2002

Recenzenci:

prof. dr hab. inż. Michał Ciałkowski, Politechnika Poznańska

prof. dr hab. inż. Maria Ewa Klonowska-Prosnak, Instytut Oceanologii PAN

Prof. dr hab. inż. Zbigniew Kosma, kierownik Zakładu Komputerowych Metod Inżynierskich, dyrektor Instytutu Mechaniki Stosowanej. Absolwent Wydziału Mechanicznego Energetyki i Lotnictwa Politechniki Warszawskiej w 1974 r., stopień doktora nauk technicznych uzyskał na tym samym Wydziale w 1980 r., stopień doktora habilitowanego w 1987 r. na Wydziale Budowy Maszyn Politechniki Gdańskiej, a tytuł naukowy profesora w 2001 r. W latach 1983 - 96 pracował dodatkowo w Samodzielnej Pracowni Numerycznej Mechaniki Płynów Instytutu Maszyn Przepływowych PAN w Gdańsku. Zajmuje się zagadnieniami numerycznej mechaniki płynów, a główne elementy jego dorobku stanowią rezultaty badań osiągnięte w za-kresie opracowania algorytmów rozwiązywania pełnych równań Naviera i Stokesa (Direct Numerical Simulation) z wykorzystaniem funkcji sklejanych oraz algorytmów transformacji obszarów opartych na metodach odwzorowania konforemnego.

Redaktor

Jolanta Nowicka

Korektor

Maria Pałys

Projekt okładki

Robert Bondarowicz

Skład i łamanie komputerowe

Zbigniew Kosma

Copyright * 2002 by Politechnika Radomska, Wydawnictwo

26-600 Radom, ul. Malczewskiego 20A, tel. [phone], fax [phone]

e-mail: [e-mail], http://republika.pl/przypis

ISBN 83-88001-59-0

Utwór w całości ani we fragmentach nie może być powielany ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich

Wyd. III, poprawione i uzupełnione

Druk i oprawa: Zakład Poligraficzny Politechniki Radomskiej im. K. Pułaskiego

SPIS TREŚCI

PRZEDMOWA ………………………………………………………………………...	5
WYKAZ WAŻNIEJSZYCH OZNACZEŃ ……………………………………………	7
1. POJĘCIA PODSTAWOWE MECHANIKI PŁYNÓW ……………………………. 1.1. Przedmiot mechaniki płynów ………………………………………………….. 1.2. Model ośrodka ciągłego ………………………………………………………... 1.3. Własności płynów ……………………………………………………………… 1.4. Pola i ich klasyfikacja ………………………………………………………….. 1.5. Przepływy laminarne i turbulentne …………………………………………….. Ćwiczenia ……………………………………………………………………………	9 9 10 11 17 18 19
2. WYBRANE ZAGADNIENIA STATYKI PŁYNÓW ……………………………… 2.1. Ciśnienie statyczne …………………………………………………………….. 2.2. Podstawowe równania równowagi płynu ……………………………………… 2.3. Równowaga cieczy w jednorodnym polu grawitacyjnym ……………………... 2.4. Parcie cieczy na powierzchnie płaskie …………………………………………. 2.5. Parcie cieczy na powierzchnie zakrzywione …………………………………… 2.6. Prawo Archimedesa i równowaga ciał zanurzonych …………………………... 2.7. Równowaga ciał pływających …………………………………………………. Ćwiczenia ……………………………………………………………………………	23 23 24 27 29 31 33 35 37
3. ELEMENTY KINEMATYKI PŁYNÓW ………………………………………….. 3.1. Opis ruchu płynu ………………………………………………………………. 3.2. Graficzna reprezentacja pola prędkości ………………………………………... 3.3. Przyspieszenie elementu płynu ………………………………………………… 3.4. Różniczkowe równanie ciągłości ………………………………………………. 3.5. Struktura pola prędkości płynu ………………………………………………… 3.6. Pojęcia i twierdzenia dotyczące pól wirowych ………………………………… Ćwiczenia ……………………………………………………………………………	47 47 48 49 50 53 57 59
4. PODSTAWOWE RÓWNANIA DYNAMIKI PŁYNÓW NIELEPKICH …………. 4.1. Różniczkowe równania ruchu Eulera ………………………………………….. 4.2. Całki równania Eulera …………………………………………………………. 4.3. Ruch wirowy …………………………………………………………………… Ćwiczenia …………………………………………………………………………....	71 71 73 74 77
5. JEDNOWYMIAROWE PRZEPŁYWY CIECZY …………………………………. 5.1. Równanie Bernoulliego dla cieczy doskonałej ………………………………… 5.2. Wypływ cieczy ze zbiorników …………………………………………………. 5.3. Przyrządy pomiarowe ………………………………………………………….. 5.4. Równanie Bernoulliego dla cieczy rzeczywistej ………………………………. 5.5. Reakcja wywierana przez strumień cieczy …………………………………….. 5.6. Zasada momentu pędu …………………………………………………………. 5.7. Ruch cieczy w kanale otwartym ……………………………………………….. Ćwiczenia ……………………………………………………………………………	87 87 89 94 96 104 108 110 112
6. PŁASKIE PRZEPŁYWY CIECZY DOSKONAŁEJ ……………………………… 6.1. Własności ogólne przepływów ustalonych ……………………………………. 6.2. Przykłady płaskich przepływów potencjalnych ………………………………... 6.3. Superpozycja przepływów ……………………………………………………... 6.4. Siły działające na profil kołowy …...……...………………………………….. 6.5. Opływ profilu lotniczego ……………………………………………………... 6.6. Fale na swobodnej powierzchni ……………………………………………… Ćwiczenia …………………………………………………………………………..	127 127 131 135 141 143 149 152
7. JEDNOWYMIAROWE PRZEPŁYWY GAZU ………………………………….. 7.1. Zależności podstawowe ………………………………………………………. 7.2. Równanie Bernoulliego ………………………………………………………. 7.3. Prostopadła fala uderzeniowa ………………………………………………… 7.4. Przepływ przewodem o zmiennym przekroju ………………………………… 7.5. Przepływ izentropowy nieustalony …………………………………………… 7.6. Przepływ gazu przez przewody z uwzględnieniem oporów tarcia …………… Ćwiczenia …………………………………………………………………………..	167 167 171 175 180 185 190 192
8. RÓWNANIA RUCHU PŁYNÓW LEPKICH ……………………………………. 8.1. Związek między naprężeniami i odkształceniami …………....………………. 8.2. Równania Naviera-Stokesa ............................................................................... 8.3. Równanie zachowania energii .......................................................................... 8.4. Podstawowe zagadnienie mechaniki płynów .................................................... 8.5. Formy opisu ruchu cieczy lepkiej ..................................................................... 8.6. Hydrodynamiczna teoria smarowania ............................................................... Ćwiczenia ................................................................................................................	209 209 214 216 220 221 225 229
9. PŁASKA LAMINARNA WARSTWA PRZYŚCIENNA ....................................... 9.1. Koncepcja warstwy przyściennej ...................................................................... 9.2. Warstwa przyścienna w cieczy lepkiej .............................................................. 9.3. Oderwanie warstwy przyściennej ..................................................................... 9.4. Metody ścisłe rozwiązania równań Prandtla ..................................................... 9.5. Metody przybliżone wyznaczania warstwy przyściennej .................................. 9.6. Warstwa przyścienna w gazie lepkim ............................................................... Ćwiczenia ................................................................................................................	251 251 252 256 258 264 268 272
10. RUCH TURBULENTNY CIECZY LEPKIEJ ........................................................ 10.1. Stateczność rozwiązań równań Naviera-Stokesa............................................. 10.2. Opis ruchu turbulentnego ............................................................................... 10.3. Modele turbulencji ......................................................................................... 10.4. Płaska turbulentna warstwa przyścienna ......................................................... 10.5. Przepływy turbulentne w przewodach ............................................................ 10.6. Opór ciał poruszających się w cieczy lepkiej .................................................. Ćwiczenia ................................................................................................................	281 281 286 289 293 297 300 302
11. METODY DOŚWIADCZALNE ............................................................................. 11.1. Kryteria podobieństwa przepływów ............................................................... 11.2. Analiza wymiarowa ........................................................................................ 11.3. Pomiary wielkości fizykalnych ....................................................................... 11.4. Urządzenia laboratoryjne do badań modelowych ........................................... 11.5. Ruch cieczy w ośrodkach porowatych ............................................................ Ćwiczenia ................................................................................................................	311 311 315 317 324 328 331
12. DODATEK .............................................................................................................. 12.1. Podstawowe działania na wektorach ............................................................... 12.2. Wybrane pojęcia i twierdzenia teorii pola ...................................................... 12.3. Tensory kartezjańskie drugiego rzędu ............................................................ 12.4. Równania zachowania w postaci całkowej ..................................................... 12.5. Współrzędne krzywoliniowe ortogonalne .......................................................	339 339 342 349 357 360
LITERATURA ..............................................................................................................	373

Przedmowa

Kolejne wydanie podręcznika „Podstawy Mechaniki Płynów” zostało opracowane z myślą o studentach Wydziału Mechanicznego Politechniki Radomskiej i innych wydziałów mechanicznych politechnik oraz wydziałów technicznych uniwersytetów, uczących się na studiach dziennych magisterskich i inżynierskich oraz wieczorowych i zaocznych. Ma on za zadanie zilustrowanie i ugruntowanie wiadomości ogólnych z mechaniki płynów, a jednocześnie wzmożenie zainteresowania tym przedmiotem.

Plan studiów przewiduje w jednym semestrze trzy godziny zajęć z mechaniki płynów tygodniowo dla kierunku mechanika i budowa maszyn oraz dwie godziny zajęć dla kierunku inżynierskiego; oprócz tego na obu kierunkach prowadzone jest laboratorium w wymiarze jednej godziny tygodniowo. Przy nauczaniu tego przedmiotu staje się zatem wobec niełatwego zadania jak najskuteczniejszego wykorzystania skróconego wymiaru czasu przewidzianego przez plan studiów - zważywszy, że chodzi o przedmiot podstawowy, obszerny i o licznych zastosowaniach. Wykłady i ćwiczenia powinny dać bowiem podstawę do zrozumienia najważniejszych zjawisk z dziedziny mechaniki płynów i stanowić wprowadzenie do jej współczesnych osiągnięć, a nie być jedynie encyklopedycznym przeglądem rozmaitych formuł i ich zastosowań.

W tej sytuacji niniejszy podręcznik powinien znacznie usprawnić proces nauczania, zwiększając efektywny czas, będący do dyspozycji wykładowcy - dzięki możliwości odwołania się do niego przy szczegółowym wyprowadzaniu wielu równań i wzorów. Mając również na względzie to, że przedmiot opiera się nie tylko na znajomości mechaniki ciała stałego i termodynamiki, ale także na wyidealizowanych modelach matematycznych o różnym stopniu złożoności - dodano też aneks zawierający podstawowe pojęcia matematyczne hydrodynamiki klasycznej.

Materiał przedstawiony w podręczniku został ułożony zgodnie z zasadą „od łatwiejszego do trudniejszego” - omawiane są więc kolejno: wiadomości podstawowe, zagadnienia statyki i kinematyki płynów, przepływy płynów nielepkich, następnie przepływy płynów lepkich oraz niektóre ich szczególne przypadki. Wydaje się być uzasadnione względami dydaktycznymi, aby przejście od mechaniki ciała stałego do mechaniki płynów odbywało się kolejnymi etapami, zezwalającymi na stopniowe wprowadzanie do zasadniczo nowego przedmiotu. Możliwe jest również prowadzenie wykładu mechaniki płynów w taki sposób, żeby najpierw omówić najogólniejsze prawa rządzące ruchem płynu lepkiego i przewodzącego ciepło (rozdz. 12.4), a następnie po przyjęciu dodatkowych założeń dotyczących właściwości fizykalnych płynu lub przebiegu zjawiska przepływowego, uzyskać różne modele uproszczone płynu.

Wyboru materiału dokonano w taki sposób, żeby w ograniczonej objętości podręcznika przedstawić możliwie jak największą liczbę rozmaitych zagadnień mechaniki płynów - starano się przy tym stosować jak najprostszy aparat matematyczny i zwrócono szczególną uwagę na interpretację fizyczną zjawisk. Po omówieniu poszczególnych zagadnień mechaniki płynów od strony teoretycznej, zaprezentowano w każdym rozdziale również pewną liczbę przykładów liczbowych - mających na celu zilustrowanie i uzupełnianie rozważanych problemów - zezwalających na łatwiejsze opanowanie materiału. Zamieszczono też rozdział o podstawowych zasadach badań doświadczalnych oraz pomiarów wielkości fizykalnych, gdyż niektóre zagadnienia ruchu płynów rzeczywistych okazują się być zbyt trudne do rozwiązania wyłącznie za pomocą metod analitycznych i trzeba odwoływać się do eksperymentu. Aparat matematyczny został rozbudowany dopiero w końcowych rozdziałach podręcznika oraz w Aneksie - poprzez omówienie np. samopodobieństwa warstwy przyściennej oraz przedstawienie zasad rachunku tensorowego i współrzędnych krzywoliniowych ortogonalnych.

Autor

Radom, styczeń 2002 r.

WYKAZ WAŻNIEJSZYCH OZNACZEŃ

a	− prędkość dźwięku w gazie
	− stała Bernoulliego
	− ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu
	− ciepło właściwe przy stałej objętości
d, D	− średnica
F	− jednostkowa siła masowa
g	− przyspieszenie ziemskie
G	− ciężar
h	− głębokość
i	− entalpia
I	− moment bezwładności
k	− liczba falowa
K	− kręt
l	− długość
m	− masa, odległość metacentryczna
	− masowe natężenie przepływu
M	− moment siły, liczba Macha
n	− normalna zewnętrzna
N	− moc, środek parcia
p	− ciśnienie
P	− parcie, funkcja ciśnienia
q	− ciepło, energia kinetyczna ruchu pulsacyjnego
Q	− objętościowe natężenie przepływu
r	− promień, niezmiennik Riemanna
R	− stała gazowa, reakcja strumienia cieczy
Re	− liczba Reynoldsa
s	− entropia, długość łuku krzywej
S, SC	− środek ciężkości
SW	− środek wyporu
t	− czas, temperatura
T	− temperatura bezwzględna
u	− energia wewnętrzna
v	− objętość właściwa
	− prędkość przepływu płynu
	− składowe prędkości w układzie kartezjańskim
w	− potencjał zespolony
W	− wypór
z	− zmienna zespolona
X, Y	− składowe reakcji cieczy opływającej ciało
X, Y, Z	− składowe jednostkowej siły masowej w układzie kartezjańskim
α	− współczynnik Coriolisa
β	− współczynnik kontrakcji
	− współczynnik ściśliwości cieczy
	− współczynnik rozszerzalności cieczy
γ	− ciężar właściwy
Γ	− cyrkulacja wektora prędkości
δ	− grubość warstwy przyściennej
	− miara liniowa straty wydatku
	− miara liniowa straty pędu
ξ	− zmienna zespolona, współczynnik strat lokalnych
κ	− wykładnik adiabaty
λ	− współczynnik strat liniowych, droga swobodna molekuł gazu, parametr kształtu, długość fali
μ	− współczynnik lepkości dynamicznej
ν	− współczynnik lepkości kinematycznej
ρ	− gęstość płynu
σ	− powierzchnia, naprężenie normalne, napięcie powierzchniowe
τ	− objętość, naprężenie styczne
ϕ	− potencjał prędkości, kąt
χ	− długość zastępcza
ψ	− funkcja prądu
	− potencjał prądu
ω	− prędkość kątowa, wirowość, częstość drgań
	− wektor wirowości

3

---