Zadanie 1
Siedmiu wyborców (1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7) musi wybrać jedną spośród pięciu alternatyw (A, B, C, D i E). Preferencje wyborców są spójne i przechodnie i wyglądają następująco:
1: A ≻1 B ≻1 C ≻1 D ≻1 E
2: E ≻2 B ≻2 A ≻2 D ≻2 C
3: C ≻3 E ≻3 A ≻3 D ≻3 B
4: A ≻4 E ≻4 D ≻4 B ≻4 C
5: D ≻5 B ≻5 C ≻5 E ≻5 A
6: B ≻6 A ≻6 E ≻6 D ≻6 C
7: E ≻7 A ≻7 B ≻7 D ≻7 C
Rozwiązanie
Proszę wyznaczyć zwycięzcę w sensie Condorceta i przegrywającego w sensie Condorceta dla powyższych preferencji indywidualnych.
Zwycięzca w sensie Condorceta to taka alternatywa, która w porównaniu parami wygrywa większością głosów z każdą inną alternatywą (czyli dla każdej innej alternatywy istnieje pewna większość wyborców która woli od niej zwycięzcę w sensie Condorceta). Podobnie przegrywający w sensie Condorceta to taka alternatywa, która w porównaniu parami przegrywa większością głosów z każdą inną alternatywą.
Porównajmy zatem parami wszystkie alternatywy:
4 wyborców (1, 3, 4 i 7) woli A od B;
5 wyborców (1, 2, 4, 6 i 7) woli A od C;
6 wyborców (1, 2, 3, 4, 6 i 7) woli A od D;
4 wyborców (2, 3, 5 i 7) woli E od A;
6 wyborców (1, 2, 4, 5, 6 i 7) woli B od C;
4 wyborców (1, 2, 6 i 7) woli B od D;
4 wyborców (2, 3, 4 i 7) woli E od B;
5 wyborców (2, 4, 5, 6 i 7) woli D od C;
4 wyborców (2, 4, 6 i 7) woli E od C;
5 wyborców (2, 3, 4, 6 i 7) woli E od D.
W grze bierze udział siedmiu wyborców, więc większość wynosi 4 głosy.
Jak widać, dla każdej alternatywy istnieje pewna większość, która woli E od tej alternatywy (4 wyborców woli E od A, 4 wyborców woli E od B, 4 wyborców woli E od C i 5 wyborców woli E od D) - zatem E jest zwycięzcą w sensie Condorceta.
Podobnie dla każdej alternatywy istnieje pewna większość, która woli ją od C (5 wyborców woli A od C, 6 wyborców woli B od C, 5 wyborców woli D od C i 4 wyborców woli E od C), a zatem C jest przegrywającym w sensie Condorceta.
Proszę wyznaczyć zwycięzcę wyborów, jeśli wybory odbywają się metodą Bordy.
Jeśli wybory odbywają się metodą Bordy każdy wyborca przyznaje 1 punkt alternatywie, która znajduje się najniżej w jego preferencjach i po jednym punkcie więcej każdej kolejnej. W naszym przykładzie poszczególne alternatywy uzyskają zatem następujące liczby punktów:
Wyborca |
A |
B |
C |
D |
E |
1 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
2 |
5 |
3 |
3 |
1 |
5 |
2 |
4 |
4 |
5 |
2 |
1 |
3 |
4 |
5 |
1 |
4 |
3 |
5 |
2 |
6 |
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
7 |
4 |
3 |
1 |
2 |
5 |
Suma |
25 |
23 |
15 |
18 |
24 |
Najwięcej punktów uzyskała alternatywa A, a zatem A wygrałaby gdyby wybory odbywały się metodą Bordy.
Proszę wyznaczyć zwycięzcę wyborów, jeśli wyborcy 1, 2, 3 i 6 akceptują swoje dwie pierwsze alternatywy, wyborcy 4, 5 i 7 akceptują swoje trzy pierwsze alternatywy, a wybory odbywają się metodą przez akceptację.
W metodzie przez akceptację każda alternatywa akceptowana przez danego wyborcę otrzymuje 1 punkt i wygrywa alternatywa, która uzyskała najwięcej punktów. Skoro wyborcy 1, 2, 3 i 6 akceptują swoje dwie pierwsze alternatywy, wyborcy 4, 5 i 7 akceptują swoje trzy pierwsze alternatywy, kolejne alternatywy uzyskają następującą liczbę punktów:
Wyborca |
A |
B |
C |
D |
E |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
3 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
4 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
5 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
6 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
7 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
Suma |
4 |
5 |
2 |
2 |
4 |
Jeśli zostanie zastosowana ta metoda, wygra alternatywa B.
Zadanie 2
Ciało składające się ze 196 wyborców musi dokonać wyboru ulubionej litery ze zbioru Q = {S, N, O, B}. Przyjmijmy, że preferencje poszczególnych wyborców wyglądają następująco:
63 osoby mają preferencje S ≻ B ≻ O ≻ N
10 osób ma preferencje S ≻ O ≻ B ≻ N
15 osób ma preferencje S ≻ O ≻ N ≻ B
33 osoby mają preferencje O ≻ B ≻ N ≻ S
34 osoby mają preferencje B ≻ O ≻ N ≻ S
36 osób ma preferencje N ≻ O ≻ B ≻ S
5 osób ma preferencje N ≻ S ≻ O ≻ B
Załóżmy, że wszyscy wyborcy głosują szczerze (naiwnie) zgodnie ze swoimi preferencjami.
Rozwiązanie:
proszę znaleźć zwycięzcę wyborów jeśli głosowanie odbywa się większością zwykłą - każdy wyborca oddaje głos na jedną z liter i wygrywa ta, która uzyskała największą liczbę głosów;
Jeśli wybory odbywają się większością zwykłą, to:
S dostanie 88 głosów (grupy 1, 2 i 3)
N dostanie 41 głosów (grupy 6 i 7)
O dostanie 33 głosy (grupa 4)
B dostanie 34 głosy (grupa 5)
Najwięcej głosów dostała litera S, więc ona wygrywa wybory.
proszę znaleźć zwycięzcę wyborów jeśli głosowanie odbywa się według schematu obowiązującego podczas wyborów prezydenckich w Polsce - każdy wyborca oddaje jeden głos i wygrywa litera, która uzyskała bezwzględną większość oddanych głosów. Jeśli żadna nie uzyskała bezwzględnej większości do drugiej tury przechodzą dwie litery z największą liczbą głosów, każdy wyborca znowu oddaje jeden głos i wygrywa litera z większą liczbą głosów w drugiej turze;
W pierwszej turze poszczególne litery dostaną taką samą liczbę głosów, jak w punkcie a. Większość bezwzględna wynosi 99 głosów, a zatem nikt nie uzyskał wymaganej większości. Do drugiej tury przechodzą dwie litery z największą liczbą głosów, czyli literki S i N. W drugiej turze
S dostanie 88 głosów (grupy 1, 2 i 3)
N dostanie 108 głosów (grupy 4, 5, 6 i 7).
Więcej głosów dostał N, więc wybory zgodnie z tą metodą wygrałby N.
proszę znaleźć zwycięzcę wyborów jeśli głosowanie odbywa się według metody Bordy;
Przy metodzie Bordy każdy wyborca przydziela 4 punkty swojej najlepszej alternatywie, 3 punkty kolejnej i tak dalej. Poszczególni wyborcy oddadzą zatem następujące głosy:
Litera |
Grupa 1 (63 osoby) |
Grupa 2 (10 osób) |
Grupa 3 (15 osób) |
Grupa 4 (33 osoby) |
Grupa 5 (34 osoby) |
Grupa 6 (36 osób) |
Grupa 7 (5 osób) |
Razem |
S |
4 |
4 |
4 |
1 |
1 |
1 |
3 |
470 |
N |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
4 |
4 |
401 |
O |
2 |
3 |
3 |
4 |
3 |
3 |
2 |
553 |
B |
3 |
2 |
1 |
3 |
4 |
2 |
1 |
536 |
Najwięcej głosów dostała litera O, więc wybory tą metodą wygrałby O.
proszę znaleźć zwycięzcę jeśli głosowanie odbywa się według metody stosowanej w Polsce przed wojną do wyboru prezydenta - w każdej turze każdy wyborca ma jeden głos. Jeśli któraś litera uzyska bezwzględną większość głosów, to wygrywa, jeśli żadna nie uzyska bezwzględnej większości głosów, to odpada litera, która uzyskała najmniejszą liczbę głosów, a pozostałe przechodzą do kolejnej tury - w każdej kolejnej turze odpada jedna litera aż do wyłonienia zwycięzcy (czyli aż któraś litera uzyska bezwzględną większość głosów).
Większość bezwzględna wynosi 99 głosów.
W pierwszej turze:
S dostanie 88 głosów (grupy 1, 2 i 3)
N dostanie 41 głosów (grupy 6 i 7)
O dostanie 33 głosy (grupa 4)
B dostanie 34 głosy (grupa 5)
Nikt nie dostał większości bezwzględnej, do drugiej tury przechodzą S, N i B.
W drugiej turze:
S dostanie 88 głosów (grupy 1, 2 i 3)
N dostanie 41 głosów (grupy 6 i 7)
B dostanie 67 głosy (grupa 4 i 5)
Nikt nie dostał większości bezwzględnej, do drugiej tury przechodzą S i B.
W trzeciej turze:
S dostanie 93 głosów (grupy 1, 2, 3 i 7)
B dostanie 103 głosy (grupa 4, 5 i 6)
Wygrała litera B.
Proszę zwrócić uwagę, że przedstawione preferencje wyborców są dość realistyczne, że każda z powyższych metod uznawana jest za demokratyczną i stosowana jest w różnego typu prawdziwych wyborach, a jednak w zależności od tego, którą z powyższych czterech metod zastosujemy, każdy z kandydatów ma szanse przy zastosowaniu jednej z powyższych metod wygrać.
Zadanie 3
Dana jest następująca funkcja charakterystyczna:
Koalicja |
Wartość funkcji charakterystycznej |
∅ |
0 |
{1} |
1 |
{2} |
1 |
{3} |
3 |
{1, 2} |
1 |
{2, 3} |
3 |
{1, 3} |
4 |
{1, 2, 3} |
6 |
Rozwiązanie
Proszę sprawdzić, czy powyższa funkcja charakterystyczna jest monotoniczna;
Gra jest monotoniczna wtedy, kiedy dla wszystkich koalicji K, L takich, że K ⊂ L zachodzi v(K) ≤ v(L). Sprawdźmy zatem poszczególne pary koalicji:
v(∅) = 0 ≤ 1 = v({1})
v(∅) = 0 ≤ 1 = v({2})
v(∅) = 0 ≤ 3 = v({3})
v(∅) = 0 ≤ 1 = v({1, 2})
v(∅) = 0 ≤ 3 = v({2, 3})
v(∅) = 0 ≤ 4 = v({1, 3})
v(∅) = 0 ≤ 6 = v({1, 2, 3})
v({1}) = 1 ≤ 1 = v({1, 2})
v({1}) = 1 ≤ 4 = v({1, 3})
v({1}) = 1 ≤ 6 = v({1, 2, 3})
v({2}) = 1 ≤ 1 = v({1, 2})
v({2}) = 1 ≤ 3 = v({2, 3})
v({2}) = 1 ≤ 6 = v({1, 2, 3})
v({3}) = 3 ≤ 3 = v({2, 3})
v({3}) = 3 ≤ 4 = v({1, 3})
v({3}) = 3 ≤ 6 = v({1, 2, 3})
v({1, 2}) = 1 ≤ 6 = v({1, 2, 3})
v({1, 3}) = 4 ≤ 6 = v({1, 2, 3})
v({2, 3}) = 3 ≤ 6 = v({1, 2, 3})
Powyższa funkcja charakterystyczna jest zatem monotoniczna.
Proszę sprawdzić, czy powyższa funkcja charakterystyczna jest superaddytywna;
Gra jest superaddytywna wtedy, kiedy dla wszystkich rozłącznych koalicji K, L (czyli takich, że K ∩ L = ∅) zachodzi v(K) + v(L) ≤ v(K ∪ L). Zauważmy jednak, że v({1}) + v({2}) = 1 + 1 < 1 = v({1, 2}), funkcja nie jest zatem superaddytywna.
Czy gra ma niepusty rdzeń? Jeśli tak, proszę go wyznaczyć i podać przykładowy podział należący do rdzenia. Jeśli nie, proszę uzasadnić.
Aby podział należał do rdzenia musi być imputacją (czyli musi dzielić całe dobro w sposób indywidualnie racjonalny) i musi być koalicyjnie racjonalny dla każdej koalicji złożonej z większej niż jeden liczby graczy. Musi zatem zachodzić równocześnie następujących siedem warunków:
x1 ≥ 1
x2 ≥ 1
x3 ≥ 3
x1 + x2 ≥ 1
x1 + x3 ≥ 4
x2 + x3 ≥ 3
x1 + x2 + x3 = 6
Z ostatniego warunku dostajemy
x1 + x2 = 6 - x3
x1 + x3 = 6 - x2
x2 + x3 = 6 - x1
Podstawiając trzy powyższe zależności do warunków 4-6 dostajemy
x1 + x2 = 6 - x3 ≥ 1 ⇒ x3 ≤ 5
x1 + x3 = 6 - x2 ≥ 4 ⇒ x2 ≤ 2
x2 + x3 = 6 - x1 ≥ 3 ⇒ x1 ≤ 3
Rdzeniem jest zatem następujący zbiór podziałów:
{(x1, x2, x3): 1 ≤ x1 ≤ 3, 1 ≤ x2 ≤ 2, 3 ≤ x3 ≤ 5, x1 + x2 + x3 = 6}
Przykładowym podziałem należącym do rdzenia może być {1, 2, 3}
Proszę wyznaczyć wartości Shapleya.
W grze bierze udział trzech graczy, a więc mogą utworzyć koalicję na sześć różnych kolejności - dla każdej z nich znajdujemy dodatkowy wkład każdego z graczy - wartość Shapleya jest równa średniemu wkładowi:
Kolejność |
1 |
2 |
3 |
1, 2, 3 |
1 |
0 |
5 |
1, 3, 2 |
1 |
2 |
3 |
2, 1, 3 |
0 |
1 |
5 |
2, 3, 1 |
3 |
1 |
2 |
3, 1, 2 |
1 |
2 |
3 |
3, 2, 1 |
3 |
0 |
3 |
Suma |
9 |
6 |
21 |
Wartość Shapleya |
1,5 |
1 |
3,5 |