Politechnika Krakowska Fizyka Techniczna	Paweł Balawender	Rok II 99/2000 Semestr III	Data :
Grupa : 1 Zespół : 7			Ćw. 12	Podpis :
						Ocena:

Temat:

Wyznaczanie modułu sztywności G metodą dynamiczną.

Wprowadzenie:

Współczynnik sztywności G ( druga stała sprężystości, stała sprężystości poprzecznej) definiujemy na podstawie prawa Hooke'a.

Współczynnik sztywności G jest to stosunek składowej stycznej naprężenia τ do skręcenia prostego elementu objętości ciała, wywołanego przez to naprężenie (poniższy rysunek). Dla niezbyt dużych odkształceń jest on dla danego materiału wielkością stałą, zależną od temperatury.

Zasada pomiaru

Dla wyznaczenia G drutu z badanego materiału długości l, średnicy 2r, obciążony wibratorem w, skręcamy o niewielki kąt φokoło osi podłużnej. Moment sił sprężystych M ciągnący drut ku położeniu równowagi wynosi:

Równanie ruchu wibratora ma zatem postać:

gdzie J oznacza moment bezwładności wibratora względem głównej osi obrotu.

Jest to równanie drgań prostych o okresie:

Mierząc okres T, Długość drutu l, średnicę 2r, możemy przy znanym momencie bezwładności wibratora J wyliczyć G.

Ponieważ wyliczenie momentu bezwładności brył nie posiadających prostej postaci geometrycznej jest żmudne (a czasem niemożliwe),stosujemy metodę różnicową Gaussa. Wyznaczamy okres drgań T₁ wibratora; następnie przez nałożenie na kołeczki wibratora czterech walcowych ciężarków powiększamy J o czterokrotny moment bezwładności J₁, ciężarka względem głównej osi obrotu.

Według twierdzenia Steinera:

gdzie:

m , R - odpowiednio masa i promień walca

a - odległość osi walca od głównej osi obrotu.

Wyznaczamy okres T₂ wibratora dodatkowo obciążonego. Z równań:

mamy:

T₁ i T₂ wyznaczamy mierząc kilkakrotnie za pomocą stopera czas przypadający na np.: 50 pełnych drgań i biorąc średnią; mierząc l - przymiarem metrowym dzielonym na milimetry, a i R - sufmiarką, r - mikromierzem w kilku miejscach, w kierunkach do siebie prostopadłych, szczególnie starannie, gdyż r jest we wzorze w czwartej potędze i błąd względny popełniony przy pomiarze r jest więc czterokrotnie większy w błędzie względnym G.

Drugim ,obok odkształcenia czysto objętościowego, przypadkiem prostego odkształcenia jest czyste odkształcenie postaci bez zmiany objętości. Przykład stanowi tzw. ścinanie.

Kostkę sześcienną poddajemy działaniu stycznego τ , wywieranego na ściankę górną. Odkształcenie polega na przesunięciu górnej ścianki w kierunku naprężenia. Zgodnie z prawem Hooke'a mamy w tym przypadku:

γ =βτ

gdzie:

γ - ciśnienie

β - współczynnik ścinania

-moduł ścinania(skręcenia, sztywności)

Ten sam moduł G charakteryzuje odkształcenie przy skręcaniu pręta. Dolny koniec pręta walcowego o długości l i promieniu przekroju r jest zamocowany w tarczy o promieniu A, na którą możemy wywrzeć moment skręcający. W skutek tego dolny koniec pręta ulega skręceniu o kąt ϕ , a wszystkie jego przekroje poprzeczne skręceniu proporcjonalnemu do ϕ i do stosunku odległości x przekroju od górnej powierzchni pręta do jego długości l . Z prawa Hooke'a wynika , że kąt ϕ proporcjonalny jest do momentu pary sił -F i F. Dowolny przekrój poprzeczny zachowuje przy tym swą postać i ulega skręceniu względem przekrojów sąsiednich.

r

l

Δϕ -ΔF

ΔF Δ

Moment skręcający pręt o kąt Δϕ wynosi:

`

Znając długość l i promień R oraz wartość momentu pary sił i mierząc kąt skręcenia można wyznaczyć moduł G.

Pomiar G można wykonać metodą dynamiczną.

W tym celu na końcu pręta umieszcza się symetryczne ciało o znanym momencie bezwładności I. Po skręceniu i puszczeniu druta, ciało będzie wykonywać drgania torsyjne zgodne z równaniem:

Pręt wykonuje drgania torsyjne o okresie:

Mierząc T można wyliczyć D, a stąd i G.

Zadania:

1. Wyznaczyć G dla stli i miedzi.

Pomiar długości drutu:

Drut stalowy Drut miedziany

l1[m]

0,95

0,94

0,94

0,94

B. Obliczyć błąd procentowy pomiaru G.

Uwaga ! Pomiar G jest dużo prostszy, jeżeli rozporządzamy bryłą jednorodną o prostej postaci geometrycznej, np.: walcem lub prostopadłościanem, zaopatrzonym w uchwyt dla drutu. Bryła ta powinna mieć tak duży moment bezwładności, aby drgania były powolne i dogodne tym samym do zmierzenia ich okresu.

1

3

α

ΔX

τ

a

R

O

O'

Długość druta

Średnica druta wahadła

Średnica zewnetrzna krzyrzaka

krzyżaka

l [cm]

2r [mm]

2R [mm]

74,50

2,50

202,96

74,60

2,70

202,94

74,50

2,60

202,95

74,60

2,48

202,96

2,46

Okres drgań bez odważnika

2,68

lp.

20T

1

[s]

2,50

1

15,53

2,48

2

15,97

2,48

3

15,70

2,48

4

15,56

Średnica walca

5

15,68

2R

w

[mm]

6

15,92

39,66

7

15,74

39,66

Masa odważnikow

8

16,04

39,70

m [g]

9

15,90

39,70

78,72

10

15,92

39,68

78,97

11

15,90

39,68

79,19

39,68

79,83

Okres drgań z odważnikiem

39,68

Lp.

20T

2

[s]

1

23,12

2

23,08

3

23,00

4

23,06

5

23,20

6

22,96

7

22,96

8

23,10

9

23,00

10

22,90

11

23,00

12

23,09

---