Miary jakości wykonania jako parametry zmiennych losowych

ZADANIE 1.

Do magazynu dostarczono dwie partie (A,B) pewnego produktu. W pierwszej partii o liczności N_A = 1000 znajduje się z_A=50 sztuk wadliwych, natomiast druga partia o liczności N_B= 9000 zawiera 5% sztuk wadliwych. Ile sztuk wadliwych znajduje się w magazynie? Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania sztuki wadliwej z całego zasobu produktu znajdującego się w magazynie?

ZADANIE 2.

Frakcja wadliwych jednostek produktu wynosi p = 10%. Do badania wybrano losowo n = 3 sztuki. Obliczyć prawdopodobieństwa następujących zdarzeń losowych: Z < 0, Z = 0, Z ≤ 0, Z = 1, Z ≤ 1, Z ≤ 3, Z >3. Symbol Z oznacza zmienną losową opisującą liczbę wadliwych sztuk w badanym zbiorze.

Zadanie 3

Z partii produktu, o wadliwości p = 0.02625, pobrano losowo n = 5 jednostek i przekazano je klientowi. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że klient nie znajdzie wśród nich żadnej jednostki wadliwej?

Zadanie 4.

W magazynie znajduje się partia towaru o liczności N = 20. Wiadomo, że w partii tej 4 sztuki są wadliwe, nie wiadomo jednak które. Sprzedano 5 sztuk. Obliczyć prawdopodobieństwa następujących zdarzeń losowych:

• wszystkie sprzedane sztuki są wolne od wad (Z = 0),

• wśród sprzedanych sztuk jedna jest wadliwa (Z = 1),

• wśród sprzedanych sztuk co najwyżej jedna jest wadliwa (Z ≤1),

• wszystkie sprzedane sztuki są wadliwe (Z = 5).

Zadanie 5

Prawdopodobieństwo wyprodukowania wadliwej pary obuwia wynosi 0.1. Jakie jest prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia losowego polegającego na reklamowaniu przynajmniej jednej pary butów przez klienta, który zakupił trzy pary?

Zadanie 6

Drzwi do mebli kuchennych wytwarzane są w procesie produkcyjnym, który generuje strumień produktu o wadliwości poprodukcyjnej wynoszącej 0,2.

a. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kupując cztery wszystkie będą uszkodzone?

b. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kupując cztery uszkodzonych będzie co najwyżej 2 szt.?

Zadanie 7

W magazynie hurtowni znajduje się duża partia pewnego produktu o wadliwości p = 0.04 (4%). Postanowiono sprzedawać ten produkt w opakowaniach po kilka sztuk. Jakie największe opakowanie można zastosować jeśli chcemy by opakowania zawierające sztuki wadliwe nie pojawiały się częściej niż raz na dziesięć opakowań (1/10) ?

Zadanie 8

Producent zamierza sprzedawać swój wyrób w opakowaniach po 4 sztuki. Na jakim poziomie należy utrzymać poprodukcyjną wadliwość, by opakowania zawierające sztuki wadliwe nie pojawiały się częściej niż raz na dziesięć opakowań (1/10) ?

Zadanie 9

Producent wyrobów meblarskich dostarcza klamki do drzwi. Przeciętnie trzy klamki na 50 jest wadliwych. Jakie jest prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia losowego polegającego na znalezieniu w opakowaniu zawierającym 4 sztuki nie więcej niż dwóch wadliwych?

Zadanie 10

Frakcja uszkodzonych podzespołów wynosi 0.01. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wśród 200 podzespołów liczba uszkodzonych jest mniejsza od 2.

Zadanie 11

Do fabryki dostarczany jest przewód energetyczny (kabel) w postaci odcinków o długości 1000 m. Przeciętna ilość defektów izolacji wynosi 1000 = 2,5. W procesie technologicznym badana jest (w sposób ciągły) dielektryczna wytrzymałość izolacji przewodu, a następnie jest on rozcinany na odcinki, które przyłączane są - jako przewody zasilające - do produkowanych w fabryce urządzeń. Każde wykryte przebicie izolacji powoduje zatrzymanie procesu rozcinania, a tym samym pewne straty.

1. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w czasie rozcinania jednego odcinka przewodu proces zostanie zatrzymany co najwyżej raz?

2. Jak sformułować wymagania jakościowe w stosunku do dostawcy, by przynajmniej co drugi proces rozcinania przebiegał płynnie (bez zatrzymania)?

Zadanie 12

Zakładając, że w czasie transportu naczyń w jednostkowym zbiorczym opakowaniu uszkodzeniu ulega dwie filiżanki na trzysta. Należy wyznaczyć prawdopodobieństwo zdarzenia losowego polegającego na:

a) nieuszkodzeniu żadnej filiżanki,

b) uszkodzeniu łącznie od dwóch do czterech filiżanek.

Zadanie 13

Sklep prowadzi sprzedaż baterii I i II gatunku. W magazynie sklepu znajduje się 70% baterii I gatunku i 30% II gatunku. Losujemy baterie zwracając po każdym losowaniu, do chwili trzykrotnego wyciągnięcia baterii II gatunku.

a) jakie jest prawdopodobieństwo, że losowanie będzie 6 - cio krotne.

b) jakie jest prawdopodobieństwo, że do natrafienia na pierwszą baterię II gatunku potrzeba również 6 losowań?

Zadanie 14

Hurtownia paczkuje towar sypki (cukier, mąka itp.) w postaci torebek o nominalnej zawartości 1 KG. Do paczkowania wykorzystywana jest zautomatyzowana linia technologiczna. Rzeczywista zawartość produktu w opakowaniu (X) jest zmienną losową o rozkładzie normalnym o wartości oczekiwanej i odchyleniu standardowym . Wartość może być zadawana za pomocą urządzeń nastawczych, natomiast odchylenie standardowe ma stałą wartość i wynosi 0,01 Kg. jest to miara precyzji urządzenia dozująco-paczkującego i zależy od jego ceny. Rzeczywista zawartość produktu w opakowaniu jest jedną z cech decydujących o marketingowej jakości towaru. Obserwacje wykazały, że granicą tak zwanego handlowego napełnienia opakowania jest xd = 0,98 KG. Jeżeli X < 0,98 to wywołuje to niekorzystną reakcję u klienta. Na jakim poziomie należy ustalić , by P( X < 0,98) p = 0,005?

Zadanie 15

Długość metalowych elementów produkowanych przez automat posiada rozkład normalny o odchyleniu standardowym σ = 0.05 [mm]. Ich nominalna długość wynosi 20 [mm], zaś tolerancja wykonania +/- 0.1 [mm]. Automat został nastawiony na produkcję elementów o pożądanej długości. Ile wyniesie poprodukcyjna wadliwość produktu?

Zadanie 16

Do wypełniania pojemników kartonowych sokiem wykorzystywany jest automat, którego precyzja napełniania wynosi 0.05 [l]. Nominalna zawartość soku wynosi 1 [l]. Jak powinien być wyregulowany automat, aby mniej niż 1% opakowań zawierało sok o objętości mniejszej niż 0.95 [l] ?

Wadliwość cząstkowa i agregatowa

Zadanie 17

Zbadano jakość partii dżemu, biorąc pod uwagę 3 cechy diagnostyczne, opisane przez następujące zmienne diagnostyczne:

X₁ - procentowa zawartość cukru,

X₂ - ciężar produktu w gramach;

X₃ - szczelność zakrętki słoika.

Po przebadaniu 100 losowo wybranych słoików, okazało się 3 spośród zbadanych miało zaniżoną gramaturę, w 2 przypadkach procentowa zawartość cukru odbiegała od normy, a w 5 przypadkach zakrętka była nieszczelna.

Określić, jaki jest ogólny poziom wadliwości badanej partii dżemu.

Zadanie 18

Ocena jakościowa produkowanych cegieł polegała na wykonaniu pomiarów trzech wymiarów i dokonaniu dychotomicznej klasyfikacji wyrobu. W wyniku przeprowadzonych działań stwierdzono, że:

- 10 % cegieł było wadliwych ze względu na długość,

- 5% było wadliwe ze względu na szerokość,

- 4% wadliwych ze względu na wysokość. Oceń wadliwość agregatową.

(Ocena wydolności procesu)

Zadanie 19

Proces produkcji wymaga transportu szklanych półfabrykatów. Wiadomo, że kolejny etap produkcji przebiega poprawnie, jeżeli uszkodzeniu ulega nie więcej niż 1% półfabrykatów. Osoba odpowiedzialna za transport uważa, że przebiega on prawidłowo. Zweryfikuj to twierdzenie wiedząc, że w losowo pobranej 1000 elementowej próbie było 50 sztuk uszkodzonych. Wnioskowanie należy przeprowadzić przy poziomie istotności testu wynoszącym 0.1.

Zadanie 20

Producent dachówek ceramicznych wybierając produkt z pieca dokonał dychotomicznej oceny poszczególnych egzemplarzy strumienia produktu. Stwierdził, że w próbie liczącej 3000 sztuk było 74 wadliwych. Odbiorca wymaga, aby odsetek sztuk wadliwych nie przekraczał 2%. Oceń wydolność procesu produkcji dachówek przyjmując:

a) α = 0,1

b)  = 0,05

c)  = 0,01

Zadanie 21

Odbiorca cementu wymaga, aby podczas transportu przynajmniej 99 na 100 dostarczonych worków, było całych. W celu sprawdzenie swojej zdolności dostawczej podczas kilku transportów dostawca wybrał losowo 1000 worków i okazało się, że 4 z nich zostały uszkodzone podczas transportu. Czy proces transportu jest na tyle wydolny, aby przy ryzyku 5% możliwe było złożenie oferty przewozowej?

Zadanie 22

Jakość podzespołów elektronicznych oceniana jest alternatywnie. Po zbadaniu próby liczącej 1000 sztuk, okazało się, że frakcja wadliwych sztuk wynosi 0,5%. Czy zasadne jest złożenie oferty dostawy podzespołów, jeśli potencjalny odbiorca wymaga by podzespół wadliwy trafiał się nie częściej niż w jednym przypadku na tysiąc dostarczonych podzespołów. Weryfikację wydolności należy przeprowadzić na poziomie istotności α = 0,01

`

Zadanie 23

Pręty stalowe o długości 10 m są rozcinane automatycznie na krótsze odcinki o nominalnej długości 2 m, przy czym dopuszcza się odchylenia -1 cm i + 1 cm. Ustalono, że rzeczywista długość prętów jest zmienną losową o normalnym rozkładzie prawdopodobieństwa o odchyleniu standardowym σ = 0,5 cm. Wartość przeciętną tej zmiennej można ustalić na dowolnym poziomie z przedziału od 5 cm do 500 cm. Ocenić wydolność maszyny stosowanej do rozcinania prętów, jeżeli chcemy, aby frakcja prętów nie mieszczących się w przedziale tolerancji nie przekroczyła 5%.

Zadanie 24

Zbadać wydolność procesu napełniania opakowań zbiorczych cieczą, jeśli:

maksymalny dopuszczalny czas napełniania opakowania nie powinien przekroczyć x_g = 10 sekund.

największa dopuszczalna wadliwość procesu wynosi po = 3%

zmienna losowa charakteryzująca możliwości maszyny rozlewającej ma rozkład normalny o parametrach [5s.;30s.], = 2s.

Zadanie 25

Do produktu spożywczego (soku owocowego), podczas rozlewania dodawany jest automatycznie środek konserwujący. Urządzenie dozujące środek konserwujący posiada możliwość ustawienia średniej dawki środka (μ) w przedziale pomiędzy 100 a 200 mg na litr. Precyzja urządzenia dozującego jest stała i wynosi σ = 10mg. Środek ten nie jest całkowicie obojętny dla zdrowia konsumenta. Optymalna ilość środka konserwującego nie zagrażającego zdrowiu konsumenta a jednocześnie gwarantująca utrzymanie świeżości produktu to 140mg/l plus minus 20mg/l. Zakładając, że zawartość substancji w 1 litrze napoju jest zmienną losową o normalnym rozkładzie prawdopodobieństwa, oceń wydolność procesu rozlewania specyfiku konserwującego, jeżeli chcemy by frakcja napojów nie spełniających założonych wymagań nie przekraczała 2%.

Zadanie 26

Zbadać wydolność procesu technologicznego, jeśli:

przedział tolerancji jest ograniczony prawostronnie przez wartość x_g = 20

największa dopuszczalna wadliwość wynosi po = 1%

zmienna losowa charakteryzująca możliwości procesu technologicznego ma rozkład normalny o parametrach [14;17], = 2.0

Zadanie 27

Zbadać wydolność procesu technologicznego, jeśli:

przedział tolerancji jest ograniczony lewostronnie przez wartość x_d = 10

największa dopuszczalna wadliwość wynosi po = 1%

zmienna losowa charakteryzująca możliwości procesu technologicznego ma rozkład normalny o parametrach [14;17], = 2.0

Zadanie 28

Klient złożył zamówienie na wyrób opisywany przez:

- wartość docelową x_o = 45,

- przedział tolerancji X_o = [40; 51],

- maksymalną dopuszczalną wadliwość p_o(x) =2%.

Dysponujemy agregatem produkcyjnym charakteryzowanym przez zmienną losową o normalnym rozkładzie prawdopodobieństwa z odchyleniem standardowym σ = 2 i wartością oczekiwaną   M = [30; 50]. Czy możemy podjąć się realizacji takiego zamówienia?

Zadanie 29

Stały odbiorca naszych produktów złożył zamówienie na wyrób charakteryzowany następującymi wymaganiami techniczno-marketingowymi:

- przedział tolerancji ograniczony lewostronnie przez x_d = 60,

- maksymalną dopuszczalną wadliwość p_o(X) = 2%.

Czy możemy spełnić jego wymagania jakościowe, jeżeli dysponujemy agregatem produkcyjnym charakteryzowanym przez zmienną losową X ~ N(M; 2) przy czym M = [45; 62].

Zadanie 30

Agregat produkcyjny charakteryzowany jest przez zmienną losową o normalnym rozkładzie prawdopodobieństwa z  M = [145; 200], σ = 3.Wymagania techniczno-marketingowe X_o = (a; 150], p_o(x) = 2[%]. Czy proces jest wydolny?

Zadanie 31

Zawartość pewnej substancji w roztworze określona jest przez przedział tolerancji ograniczony jest od dołu przez 38% zaś od góry przez 46%. Urządzenie dozująco-mieszające posiada precyzję wynoszącą 2% oraz możliwości ustawienia zawartości mieszanego składnika na (37, 39, 41, 43, 45)%. Oceń wydolność tego urządzenia wiedząc, że maksymalna wadliwość wynosi 2%.

Karty kontrolne Shewharta

Zadanie 32

Wstępne badania pewnej operacji technologicznej wykazały, że czas jej trwania jest zmienną losową o rozkładzie zbliżonym do normalnego, o wartości oczekiwanej μ_t = 2,8 i odchyleniu standardowym σ_t = 0,6 min. W celu bieżącej kontroli procesu pobierano losowo próbki o liczności n = 9 i mierzono czas trwania operacji, z których wyznaczano wartości średnie t_r. W rezultacie badania kolejnych 10 próbek uzyskano następujące rezultaty:

próbka (r)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	…
średni czas trwania operacji	2,52	3,18	2,54	2,56	4,12	4,34	2,52	2,61	2,65	2,38	…

Skonstruować odpowiednią kartę Shewharta do analizy danych wykryć punkty rozregulowania procesu, a także objawy mogące przemawiać za skutecznością przeprowadzonych szkoleń mających na celu skrócenie czasu trwania badanej operacji technologicznej. Prawdopodobieństwo fałszywego sygnału o rozregulowaniu procesu a także prawdopodobieństwo fałszywego sygnału o skróceniu tej operacji ustalono na poziomie α = ε = 0,05

Zadanie 33

Pewien proces produkcyjny kontrolowano za pomocą karty x-średnie, przy czym σ = 1, μ₀ = 10, n = 4 i α =ε= 0,05, a przedział tolerancji ograniczony jest prawostronnie. Uzyskano następujące wyniki:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	9.8	10.2	10.3	9.9.	10.9	10.1	9.7	11.1	8.9

Skonstruować diagram przeglądowy. Wskazać punkty rozregulowania procesu, oraz punkty świadczące o postępie technologicznym.

Zadanie 34

W kolejnych chwilach t obserwowano liczbę sztuk wadliwych z_t w próbkach o stałej liczności n = 40. Otrzymano następujące wyniki:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
zt	3	0	0	6	3	4	3	3	4	0	0	1	2	0	1

Skonstruować odpowiednią kartę kontrolną przyjmując prawdopodobieństwo zbędnej regulacji α = 0.05 oraz najwyższą dopuszczalną wadliwość p_o = 0.1 (10%). Czy w powyższym ciągu obserwacji występują sygnały o rozregulowaniu procesu, albo objawy postępu technologicznego?Zadanie 35

Proces produkcyjny monitorowano przy użyciu karty kontrolnej
. W rezultacie badań siedmiu kolejnych próbek uzyskano następujące rezultaty:

t i	1	2	3	4	5	6	7
1	10,4	11,0	10,3	10,2	10,5	9,4	10,9
2	11,4	11,3	10,2	10,6	9,3	11,3	10,1
3	9,3	11,6	10,6	10,8	9,5	10,3	12,5
4	12,0	11,4	10,7	10,7	9,4	10,6	10,3

Wartość docelowa wynosiła 10,5 wariancja była stała i wynosiła 0,36, zaś przedział tolerancji ograniczony był dwustronnie. Zbudować odpowiednią kartę kontrolną Shewharta i wykryć sygnały świadczące o rozregulowaniu procesu. Prawdopodobieństwo zbędnej regulacji procesu ustalono na poziomie 0,05.

Zadanie 36

Badano stężenie pewnej substancji zabezpieczającej przed zamarzaniem, która znajduje się w płynie do odmrażania. Badanie polegało na pobieraniu ze strumienia produktu, co dwie godziny czterech pojemników i oznaczaniu ich zawartości. W czasie jednej zmiany uzyskano następujące wyniki zaprezentowane w tabeli. Zaprojektować odpowiednią kartę kontrolną umożliwiającą śledzenie zarówno sygnałów świadczących o rozregulowaniu procesu produkcyjnego jak również mogących świadczyć o korzystnych zmianach w jego przebiegu. Wiadomo, że precyzja procesu wynosi 1,1 natomiast μ_o = 70. Należy przyjąć: α = 0,01 ε = 0,1

t	1	2	3	4	5	6
	70,22	70,92	70,39	70,32	68,63	68,4

Zadanie 37

Proces wytwarzania wyłączników elektrycznych monitorowano pobierając ze strumienia produktu próbki o stałej liczności 100 sztuk, a następnie klasyfikowano wyrób jako wykonany poprawnie lub wykonany wadliwie. Otrzymano następujące liczby wadliwych wyłączników w kolejnych dziesięciu próbach:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
zt	8	1	3	0	2	4	0	1	10	6

Skonstruuj odpowiednią kartę kontrolną zakładając maksymalną dopuszczalną wadliwość p_o = 0.03, prawdopodobieństwo zbędnej regulacji procesu α = 0.01, prawdopodobieństwo błędnego wykrycia sygnału o korzystnych zmianach w procesie produkcyjnym ε = 0.1. Opisz wszystkie występujące sygnały.

Zadanie 38

Produkcję żarówek monitorowano za pomocą karty kontrolnej z. Liczność próby wynosiła 200 [szt], prawdopodobieństwo fałszywego sygnału o rozregulowaniu α = 0.05. Badano również korzystne zmiany w przebiegu procesu produkcyjnego przyjmując prawdopodobieństwo błędnego stwierdzenia korzystnych zmian w procesie produkcyjnym ε = 0,1. Maksymalną dopuszczalną wadliwość ustalono na poziomie p_o = 2%. Dla dziesięciu kolejnych próbek otrzymano następujące ilości sztuk niezgodnych w próbie:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
zt	2	3	5	0	0	4	2	1	6	1

Znajdź sygnały świadczące o rozregulowaniu procesu i korzystnych zmianach w jego przebiegu.

Zadanie 39

Monitorowano proces świadczenia usług bankowych. W tym celu zliczano liczbę błędów popełnianych przy obsłudze klientów, zakładając, że błędem jest każde odstępstwo od ustalonej procedury. W rezultacie obserwacji poczynionych w dziesięciu dniach badania otrzymano następujące wyniki:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	...
ct	2	3	0	5	7	0	1	1	3	0	...

Kierownictwo banku ustaliło, że proces obsługi klientów przebiega poprawnie, jeśli przeciętna liczba błędów w ciągu dnia nie przekracza ၬo = 5. Skonstruować odpowiednią kartę kontrolną do analizy tych danych i wykryć punkty rozregulowania procesu obsługi, a także objawy mogące przemawiać za skutecznością przeprowadzanych szkoleń. Prawdopodobieństwo zbędnej regulacji procesu, a także prawdopodobieństwo fałszywego sygnału o poprawie istniejącej sytuacji, ustalono na poziomie ၡ = ၥ = 0,05.

Zadanie 40

Monitorowano proces księgowania. W tym celu zliczano błędy księgowe popełniane w ciągu dnia roboczego. W rezultacie obserwacji poczynionych w kolejnych ośmiu dniach badania uzyskano następujące dane:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	...
ct	2	3	1	7	0	4	2	8	...

Kierownictwo banku ustaliło, że proces księgowania przebiega poprawnie, jeżeli przeciętna liczba popełnianych błędów nie przekracza λ_o = 2,5. Skonstruować odpowiednią kartę kontrolną do analizy powyższych danych, wskazać punkty świadczące o rozregulowaniu procesu księgowania a także objawy mogące przemawiać za skutecznością przeprowadzonych szkoleń. Prawdopodobieństwo zbędnej regulacji procesu ustalono na poziomie α = 0.05, a prawdopodobieństwo zbędnego sygnału o poprawie istniejącej sytuacji ε = 0.1.

Zadanie 41

Monitorowanie jakości usług magazynowych polegało na codziennym sprawdzaniu prawidłowości realizacji zamówień. Jeżeli przeciętna liczba nieprawidłowo wykonanych zamówień nie przekraczała 3,5 to proces obsługi uznawano za przebiegający poprawnie. W trakcie badania jedenastu kolejnych dni uzyskano następujące rezultaty:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
ct	1,0	2,0	1,0	4,0	3,0	6,0	8,0	7,0	3,0	2,0	1,0

Przyjmując α = 0,02; ε = 0,1 zbuduj odpowiednią kartę kontrolną umożliwiającą śledzenie procesu usług magazynowych.

Zadanie 42

Jakość produktu oceniano na podstawie przeciętnej liczby niezgodności. Największą przeciętną liczbę niezgodności w elementarnej jednostce produktu ustalono na poziomie λ_(1).0 = 1,00. Zastosowana technika pobierania próby nie pozwala na utrzymanie jej liczności na stałym poziomie. W dziesięciu początkowych okresach badania t pobierano próby o różnej liczności i zliczano liczbę niezgodności. Rezultaty badania prezentuje poniższa tablica:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
liczebność próby nt	11	10	8	13	9	14	12	10	11	9
liczba niezgodności ct	15	13	12	20	7	31	9	8	18	8

Skonstruować odpowiednią kartę do analizy tych danych, oraz wskazać momenty czasu t w których zostaną wygenerowane sygnały świadczące o rozregulowaniu oraz sygnały świadczące o postępie technologicznym. Podczas analizy założyć, że prawdopodobieństwo zbędnej regulacji procesu α = 0,01, natomiast prawdopodobieństwo fałszywego sygnału o postępie technologicznym ε = 0,05.

Zadanie 43

W procesie rozlewania wody mineralnej do butelek plastikowych prowadzona jest kontrola szczelności zamknięcia opakowania. Kontrola prowadzona jest okresowo (co godzinę) w sposób wyrywkowy, na losowo pobranych próbkach o zmieniającej się liczebności.

W wyniku pomiarów otrzymanych w 6 kolejnych okresach otrzymano następujące wyniki:

t	1	2	3	4	5	6
liczebność próby nt	50	60	70	60	50	50
liczba wadliwie zamkniętych butelek (zt)	2	6	14	0	4	1

Czy analizowany proces można uznać za uregulowany? Czy można w badanym przypadku dostrzec zjawisko nazywane postępem technologicznym? Podczas analizy założyć ryzyko zbędnej regulacji procesu oraz ryzyko wygenerowania fałszywego sygnału o rozregulowaniu na poziomie α=ε=0,01. Maksymalna dopuszczalna poprodukcyjna wadliwość wynosi p₀=0,1.

Zadanie 44

Jakość pracy składaczy tekstów w drukarni oceniano na podstawie przeciętnej liczby błędów. Największą przeciętną liczbę błędów w elementarnej jednostce produktu będącej 1 stroną maszynopisu ustalono na poziomie λ_(1).0 = 1,00. Charakter badanego procesu nie pozwalał na to aby podczas monitorowania procesu poddawać kontroli jednakową liczbę losowo wybranych stron. W dziesięciu początkowych okresach badania t pobierano próby o różnej liczbie losowo wybranych stron i zliczano liczbę popełnionych błędów. Rezultaty badania prezentuje poniższa tablica:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
liczba stron nt	10	10	9	10	10	10	12	10	10	10
liczba błędów ct	15	13	12	20	7	31	9	8	18	8

Skonstruować odpowiednią kartę do analizy tych danych, oraz wskazać momenty czasu t w których zostaną wygenerowane sygnały świadczące o rozregulowaniu oraz sygnały świadczące o wzroście jakości pracy badanego personelu. Podczas analizy założyć, że prawdopodobieństwo zbędnej regulacji procesu oraz prawdopodobieństwo fałszywego sygnału o wzroście jakości pracy badanego personelu wynosi 0,05.

Zadanie 45

W cementowni prowadzi się w sposób wyrywkowy kontrolę ciężaru napełnianych worków.

Nominalny ciężar każdego opakowania po napełnieniu powinien wynosić x₀ = 25 kg. ± 1 kg. Załóżmy, że ciężar badanego produktu jest zmienną losową o nieznanych parametrach μ i σ. Posiadane urządzenia dozująco-paczkujące pozwalają na ustalenie hipotetycznej wartości oczekiwanej μ na poziomie wartości nominalnej (docelowej) x₀.

1. Ustalić na jakim najwyższym dopuszczalnym poziomie σ₀ może kształtować się odchylenie standardowe, jeżeli chcemy, aby poprodukcyjna wadliwość produktu p nie przekroczyła p₀ = 3%.

2. Przyjmując wyznaczoną w punkcie 1 wartość σ₀, skonstruować odpowiednią kartę kontrolną pozwalającą na ocenę opisanego powyżej procesu paczkowania. Podczas konstrukcji karty założyć, że α=ε=0,05.

3. W oparciu o skonstruowaną w punkcie 2 kartę kontrolną ocenić rezultaty otrzymane w kolejnych 8 krokach badania tego procesu. Na podstawie tych danych obliczono wartości średnich arytmetycznych, odchyleń standardowych, oraz rozstępów. Wartości tych charakterystyk zestawione są w 3 ostatnich wierszach poniższej tabeli:

t i	1	2	3	4	5	6	7	8
1	25,4	25,1	25	25,4	24,2	24	25	26
2	24,5	26,1	25,6	24,9	24,8	25,9	25,4	26
3	25,2	24,4	26,2	24,8	25,7	24,1	25,8	25
4	24,3	25,2	27,8	25,1	24,6	25,6	24,5	25
5	25,1	25,5	24,1	26	26	25	26	23
	24,9	25,26	25,74	25,24	25,06	24,92	25,34	25
St	0,4743416	0,61887	1,388524	0,482701	0,760263	0,858487	0,60663	1,224745
Rt	1,1	1,7	3,7	1,2	1,8	1,9	1,5	3

Dane pomocnicze:

Parametry rozkładu rozstępu

n	dn	fn
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	1,12838 1,69257 2,05875 2,32593 2,53441 2,70436 2,84720 2,97003 3,07751 3,17287 3,25846	0,8525 0,8884 0,8798 0,8641 0,8480 0,8332 0,8198 0,8078 0,7971 0,7873 0,7785

Ocena jakości typu

Zadanie 46

Uporządkować 5 produktów według ich jakości typu. Produkty te to odkurzacze piorące. Odkurzacze te należy porównać ze względu na 5 cech diagnostycznych reprezentowane przez następujące zmienne diagnostyczne:

X₁ - poziom hałasu (dB)

X₂ - pojemność worka na kurz (l)

X₃ - pojemność zbiornika do zbierania wody (l)

X₄ - długość przewodu zasilającego (m)

X₅ - masa netto (kg)

	X1	X2	X3	X4	X5
A1	80	1,5	6	5,3	9,6
A2	80	3	3,5	6,3	10,2
A3	75	2,5	5	5,5	9,5
A4	85	2	4	6	10
A5	78	3	5,5	5	10,1

Podczas porządkowania założyć, że wszystkie cechy są jednakowo ważne

Zadanie 47

Na podstawie informacji podanych przez producentów poddano analizie jakość typu czterech odkurzaczy (A₁,...,A₄).

			A1	A2	A3	A4
1	Maksymalna moc [W]	X1	1700	1800	1800	1800
2	Maksymalna moc ssania [W]	X2	220	306	370	300
3	Głośność [dB]	X3	78	79,4	80	81
4	Pojemność worka [l]	X4	3	3	2,4	2
5	Zasięg roboczy [m]	X5	9	9	13	10
6	Waga [kg]	X7	6	5,61	6,7	6,5

Uszereguj produkty ze względu na malejący poziom jakości typu. Sprawdź, w jaki sposób wartości wag wpływają na wyniki rankingu.

Ocena jakości marketingowej

Zadanie 48

Sprzedawca, posiadający w swojej ofercie trzy produkty klasy A: A₁, A₂ i A₃, przeprowadził badania rynkowe w celu ustalenia rozkładów preferencji konsumenckich. Po opracowaniu wyników tych badań okazało się że:

• w przypadku produktu A_1, 50% respondentów (potencjalnych klientów) uważa, że jest on standardowej jakości (Q₂), 30% uważa, że jest on jakości powyżej standardu (Q₃), natomiast pozostała część respondentów uważała, że produkt A₁ reprezentuje jakość poniżej standardu (Q₁)

• w przypadku produktu A_2, 30% respondentów (potencjalnych klientów) uważa, że jest on standardowej jakości (Q₂), 50% uważa, że jest on jakości powyżej standardu (Q₃), natomiast pozostała część respondentów uważała, że produkt A₂ reprezentuje jakość poniżej standardu (Q₁)

• w przypadku produktu A₃, 20% respondentów (potencjalnych klientów) uważa, że jest on standardowej jakości (Q₂), 50% uważa, że jest on jakości powyżej standardu (Q₃), natomiast pozostała część respondentów uważała, że produkt A₃ reprezentuje jakość poniżej standardu (Q₁)

Posługując się odpowiednim miernikiem uporządkuj analizowane produkty według malejącej jakości marketingowej

Koszty jakości

Zadanie 49

W systemie operacyjnego sterowania jakością funkcjonuje podsystem odbiorczej kontroli jakości (OKJ) oraz podsystem końcowej kontroli jakości (KKJ). Uwarunkowania techniczno-ekonomiczne i rynkowe przedstawiają się następująco:

• przeciętna cena P = 40,-

• jednostkowy koszt własny cw= 30,-

• jednostkowy koszt reklamacji cr = 20,-

• jednostkowy koszt funkcjonowania podsystemu OKJ wynosi c_OKJ = 1,-

• jednostkowy koszt funkcjonowania podsystemu KKJ wynosi c_KKJ = 2,-

• dzięki funkcjonowaniu podsystemu OKJ poprodukcyjna wadliwość produktu wynosi p_OKJ = 0,03 (3%), a po jego likwidacji wzrasta do poziomu p = 0,04 (4%),

• wybrakowana jednostka produktu jest nienaprawialna i może być tylko złomowana, a jednostkowy koszt złomowania c_z =5,-

1. Producent chce uprościć ten system poprzez likwidację OKJ. Czy jest to uzasadnione ekonomicznie?

2. Producent chce uprościć ten system poprzez likwidację KKJ. Czy jest to uzasadnione ekonomicznie?

Zadanie 50

Wyznaczyć największą wadliwość produktu, przy której produkcja nie przynosi strat. Producent nie przewiduje stosowania żadnej kontroli jakości. Uwarunkowania ekonomiczne:

jednostkowy koszt własny c_w = 200.-

jednostkowy koszt uznanej reklamacji jakościowej c_r = 80.-

przeciętna cena P = 285.-

wadliwie wykonana jednostka produktu jest nienaprawialna i może być tylko złomowana, a jednostkowy koszt złomowania c_z = 60.-

Zadanie 51

Producent nie stosuje żadnej kontroli jakości:

Poprodukcyjna wadliwość produktu wynosi p = 0.02 (2%).

Czy wprowadzenie podsystemu końcowej kontroli jakości (połączoną z eliminacją wadliwych jednostek produktu jest uzasadnione ekonomicznie jeśli:

jednostkowy koszt własny c_w = 200.-

przeciętna jednostkowa marża brutto m = 85.-

Z marży tej należy pokryć:

jednostkowy koszt końcowej kontroli jakości c_KKJ = 60.-

jednostkowy koszt uznanej reklamacji jakościowej c_r = 80.-

jednostkowy koszt złomowania c_z = 60.-

Wadliwie wykonana jednostka produktu jest nienaprawialna i może być tylko złomowana

Zadanie 52

Wyznacz najmniejszą wadliwość, przy której produkcja zaczyna przynosić straty, jeśli uwarunkowania ekonomiczne są następujące:

Producent stosuje jedynie OKJ, która nie jest obciążona błędami kwalifikacji

- Jednostkowy koszt funkcjonowania podsystemu OKJ c_OKJ = 2

- Koszt własny c_w = 8

- Jednostkowy koszt złomowania c_z = 2

- Jednostkowy koszt uznanej reklamacji jakościowej c_r = 10

- Cena P = 12.

Zadanie 53

Wyznacz marżę tak, aby pokryła wszystkie koszty jakości, jeżeli uwarunkowania ekonomiczne są następujące:

- W systemie operacyjnego sterowania jakością funkcjonują BKJ i KKJ.

- Jednostkowy koszt własny c_w= 8

- Jednostkowa strata na brakach wewnętrznych c_dw = 10

- Jednostkowy koszt funkcjonowania podsystemu KKJ c_KKJ = 2

- Jednostkowy koszt funkcjonowania podsystemu BKJ c_BKJ = 3

- Dzięki funkcjonowaniu podsystemu BKJ poprodukcyjna wadliwość p_BKJ = 0,03.

Zadanie 54

W systemie operacyjnego sterowania jakością funkcjonuje podsystem KKJ. Producent chce rozbudować ten system poprzez dodanie OKJ. Czy planowana modyfikacja jest uzasadniona ekonomicznie? Jeżeli uwarunkowania techniczno-ekonomiczne i rynkowe są następujące:

- Przeciętna cena P = 30

- Jednostkowy koszt własny c_w = 15

- Jednostkowy koszt funkcjonowania podsystemu OKJ c_OKJ = 1

- Jednostkowy koszt funkcjonowania podsystemu KKJ c_KKJ = 2

- Poprodukcyjna wadliwość p = 0.03

- Producent spodziewa się, że dzięki wdrożeniu OKJ poprodukcyjna wadliwość wyniesie p_OKJ = 0.02

Wyprodukowana jednostka produktu jest nienaprawialna i może być tylko złomowana, a jednostkowy koszt złomowania c_z = 5.

Zadanie 55

Producent stosuje jedynie OKJ i postanowił wprowadzić BKJ jednocześnie likwidując OKJ. Czy jest to słuszne jeżeli uwarunkowania ekonomiczne są następujące:

- Jednostkowy koszt własny c_w= 8

- Jednostkowa strata na brakach wewnętrznych c_dw = 10

- Jednostkowy koszt uznanej reklamacji jakościowej c_r = 8

- Jednostkowy koszt funkcjonowania podsystemu OKJ c_OKJ = 2

- Jednostkowy koszt funkcjonowania podsystemu BKJ c_BKJ = 3

- Dzięki funkcjonowaniu podsystemu BKJ poprodukcyjna wadliwość p_BKJ = 0,02,

- Dzięki funkcjonowaniu podsystemu OKJ poprodukcyjna wadliwość p_OKJ = 0,03.

Cena P = 12

Wadliwie wykonana jednostka produktu jest nienaprawialna i może być tylko złomowana.

Zadanie 56

Producent dysponuje systemem operacyjnego sterowania jakością, w którym funkcjonuje tylko podsystem końcowej kontroli jakości. Należy określić na jakim maksymalnym poziomie mogą kształtować się:

1. jednostkowe koszty złomowania (c_z);

2. jednostkowe koszty własne (c_w);

3. jednostkowe koszty reklamacji (c_r),

tak aby produkcja nie przynosiła strat.

Podczas analizy przyjąć następujące techniczno-ekonomiczne uwarunkowania:

- przeciętna cena P = 40,

- jednostkowe straty na brakach wewnętrznych c_dw = 35,

- jednostkowy koszt reklamacji c_r = 20,

- poprodukcyjna wadliwość produktu p = 5%,

jednostkowy koszt końcowej kontroli jakości c_kkj = 1

- braki mają charakter nienaprawialny i mogą być tylko złomowane przy czym, jednostkowy koszt złomowania c_z = 5.

Zadanie 57

Producent nie stosuje żadnej kontroli jakości.

Uwarunkowania ekonomiczne:

1. braki mają charakter nienaprawialny i mogą być tylko złomowane,

2. jednostkowy koszt własny: c_w=30,-

3. jednostkowy koszt złomowania: c_z = 15,-

4. jednostkowy koszt reklamacji jakościowej: c_r=20,-

5. jednostkowa marża brutto: m = 10,-

Zakładając powyższe uwarunkowania:

1. wyznacz najwyższy poziom wadliwości przy którym rozważana konfiguracja nie przynosi jeszcze strat,

2. wyznacz przy jakim najniższym poziomie wadliwości, będzie uzasadniona ekonomicznie, rozbudowa systemu sterowania jakości o podsystem końcowej kontroli jakości, jeśli jednostkowy koszt jego funkcjonowania c_KKJ = 2,

3. naszkicuj analizowaną sytuację na rysunku.

Procedury sekwencyjne i procedury sum skumulowanych

Zadanie 58

Załóżmy, że w procesie bieżącej kontroli jakości monitorowana jest zmienna diagnostyczna X będąca zawartością szkodliwej substancji w produkcie ( w 1 litrze napoju). Zmienna ta ma rozkład normalny o stałym i znanym odchyleniu standardowym σ = 10,5 mg/l. Załóżmy, że produkt kwalifikuje się do spożycia, jeżeli średnia zawartość substancji nie przekracza 100 mg/l, natomiast produkt nie nadaje się do spożycia, gdy średnia zawartość substancji jest większa lub równa 105 mg/l. Należy ocenić przebieg procesu produkcji napoju, jeżeli w rezultacie obserwacji 10 początkowych próbek uzyskano następujące wyniki:

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xi	105	107	108	110	111	113	115	119	120	121

Podczas analizy zastosuj klasyczną procedurę sekwencyjną oraz procedurą sum skumulowanych.

W procesie analizy rezultatów załóżmy, że α = β = 0,05.

Zadanie 59

Załóżmy, że w procesie bieżącej kontroli jakości monitorowana jest zmienna diagnostyczna X. Zmienna ta ma rozkład zerojedynkowy. Załóżmy, że największa dopuszczalna wadliwość produktu została ustalona na poziomie p_o = 0,1 (10%) zaś najmniejsza dyskwalifikująca wadliwość na poziomie p₁ = 0,2 (20%). W początkowych dziesięciu okresach badania kontrolnego otrzymano następujące wyniki:

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xi	1	1	0	0	1	1	0	1	1	1

Do analizy przebiegu badanego procesu należy wykorzystać kolejno:

- sekwencyjną procedurę sterowania procesami oraz

- kartę kontrolną sum skumulowanych

W procesie analizy rezultatów założyć, że α = β = 0,05.

Zadanie 60

Załóżmy, że:

Największa dopuszczalna przeciętna liczba niezgodności w jednostce produktu λ₀ = 1, zaś najniższa dyskwalifikująca przeciętna liczna niezgodności w jednostce produktu wynosi λ₁ = 2. W procesie bieżącej kontroli jakości monitorowana jest zmienna diagnostyczna X o rozkładzie Poissona. W początkowych dziesięciu okresach monitorowania pewnego procesu otrzymano następujące wyniki:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xt	2	0	0	1	2	2	1	5	2	7

Do analizy przebiegu badanego procesu należy wykorzystać kolejno:

- sekwencyjną procedurę sterowania procesami oraz

- kartę kontrolną sum skumulowanych

W procesie analizy rezultatów założyć, że α = β = 0,01.

3

---