Statystyka - nauka o metodach ilościowych, badania zjawisk masowych. Zajmuje się badaniem procesów, jakie zachodzą w zbiorowościach statystycznych.

Zjawisko masowe - występują w przyrodzie, społeczeństwie, badane dla większej liczby przypadków, wykazują pewną prawidłowość.

Badanie statystyczne - ogół prac mających na celu:

• Poznanie struktury badanej zbiorowości ze względu na określone cechy

• Ocenę współzależności zjawisk

• Poznanie dynamiki zmian zjawiska w czasie i przyczyn wywołujących zmienność tego zjawiska.

Populacja statystyczna (zbiorowość statystyczna) - zbiór osób, przedmiotów, zjawisk podobnych do siebie, ale nie identycznych, poddanych badaniom statystycznym. Każdy element populacji statystycznej to jednostka statystyczna.

Jednostka statystyczna - element zbiorowości statystycznej, posiada ona cechy wspólne lub przynajmniej jedną cechę wspólną z innymi jednostkami oraz różnice w stosunku do innych jednostek.

Przy określaniu populacji statystycznej określamy:

• kogo, co badamy

• jaki obszar obejmuje badanie

• jakiego okresu dotyczy badanie

np. badamy stan zdrowia dzieci rozpoczynających naukę w 2000 roku na terenie województwa łódzkiego. W tym badaniu zbiorowością statystyczną są dzieci rozpoczynające naukę w 2000 roku. Jednostką jest każde z tych dzieci.

Badanie statystyczne ma dwojaki charakter:

• całkowite (pełne, wyczerpujące) - to takie, w którym bezpośredniej obserwacji podlegają wszystkie jednostki statystyczne. Badania te przeprowadza się dla zbiorowości mało licznych, ponieważ są małe koszty. Przy tym badaniu otrzymujemy opis statystyczny.

• częściowe - bezpośredniej obserwacji podlega pewien podzbiór zbiorowości statystycznej nazywany próbą i wyniki uogólniamy na całą zbiorowość. By to uogólnienie miało sens, próba musi być liczna i reprezentatywna (struktura musi być zbliżona do danej zbiorowości). Przy tym badaniu opis dotyczy próby. W częściowym odniesieniu do całej zbiorowości mamy do czynienia z wnioskowaniem statystycznym.

Cechy statystyczne - własności jednostek statystycznych podlegające badaniom. Jednocześnie cecha statystyczna jest kryterium podziału całej zbiorowości statystycznej, czyli wszystkich jednostek na mniejsze części.

Podział cech statystycznych:

• mierzalne - ilościowe - wartości otrzymujemy w wyniku pomiaru lub policzenia, i które w naturalny sposób wyrażają się liczbami i występują w określony w określonych jednostkach. Dzielą się na:

• skokowe (dyskretne) przyjmują wartości nie zależące od pomiaru np. liczba osób w rodzinie, dni w roku na odpoczynek

• ciągłe przyjmują wartości z poziomych przedziałów. Wartości te często zależą od dokładności pomiaru (czas wykonania pewnego detalu np. długość włókna przędzy przy badaniu jej jakości)

• niemierzalne - jakościowe - warianty opisujemy słowami np. zawód, wykształcenie. Dzielimy je na:

• dwudzielne - istnieją dwa warianty np. płeć, tak-nie

• wielodzielne - wiele wariantów np. zawód

Etapy badania statystycznego:

1. Projektowanie - sprecyzować cel badania, określić zbiorowość statystyczną i oszacować jej liczebność, określić charakter badania (pełne, częściowe), uściślić badane cechy, podać źródła pozyskiwania danych, przygotować formularze ankiet

2. Zbieranie danych statystycznych - źródła danych statystycznych są pierwotne (bezpośrednio od jednostek, obserwacje, ankieta) lub wtórne (opracowania firm, instytucji, ośrodków badań statystycznych). Dane zgromadzone są tzw. Surowe

3. Opracowanie danych - tabele, wykresy. Materiał należy pogrupować, usystematyzować. Grupowanie ma charakter typologiczny (gdy łączymy w grupy jednostki, które mają taki sam wariant cechy) lub wariacyjny (porządkujemy dane ze względu na wartości cechy dla tych jednostek) Pogrupowane dane zapisujemy w szeregach statystycznych

4. Analiza wyników - podanie informacji

Charakterystyki liczbowe struktury zbiorowości

Parametry statystyczne - są to liczby, które w systematyczny sposób opisują strukturę zbiorowości ze względu na badaną cechę mierzalną.

Parametry statystyczne dzielą się na następujące grupy:

• Miary położenia

• Miary zmienności

• Miary asymetrii

• Miary koncentracji

Miary położenia mogą być:

1. Klasyczne

• Średnia arytmetyczna

• Średnia harmoniczna

• Średnia geometryczna

• Inne średnie

2. Pozycyjne

• Dominanta (moda, wartość modalna)

• Kwantyle:

• Kwartyle

• Kwartyl dolny

• Mediana

• Kwartyl górny

• Kwintyle

• Decyle

• Centyle

Miary klasyczne:

Średnia arytmetyczna określana jest wzorami:

• Dla szeregu szczegółowego
  

• Dla szeregu rozdzielczego
  

• Dla szeregu z przedziałem klasowym
  liczebność grupy
  

Przykład:

Badano liczbę czasopism ilustrowanych zakupionych w ciągu tygodnia przez mieszkańców pewnego bloku dane zawarto w tabeli:

Lp	Liczba czasopism x1	Liczba mieszkańców n1	X1n1	Nis
1	0	7	0	7
2	1	13	13	20
3	2	18	36	38
4	3	7	21	45
5	4	5	20	50
		Ni=50	Xini=90

n_is - liczebność skumulowana (dodajemy wszystkie cyfry z kolumny n_i)

Szereg punktowy

Średnio mieszkańcy tego bloku kupowali 1,8 czasopisma

Dominanta = 2 (w kolumnie x_in_i największą liczbą jest 36 czyli liczba czasopism wynosi 2)

Mediana -

Przykład:

Badano oszczędności mieszkańców pewnego osiedla i otrzymane wyniki przedstawiono w tabeli:

Lp	Oszczędności w tys zł	Liczba osób ni	X1	xini	nis
1	0-2	8	1	8	8
2	2-4	17	3	51	25
3	4-6	12	6	60	37
4	6-8	8	7	56	45
5	8-10	5	9	45	50
		50		220

Szereg z przedziałami klasowymi:

Najliczniejsza grupa osób mająca oszczędności ok. 4,4 tys zł

Dominanta:

Własności średniej arytmetycznej

• Średniej arytmetycznej nie wyznacza się dla szeregów z przedziałami klasowymi w których skrajnie przedziały są otwarte i mają stosunkowo dużą liczebność. Jeśli liczebność w skrajnych otwartych przedziałach jest stosunkowo mała, to możemy je skutecznie domknąć i wtedy obliczymy średnią arytmetyczną. Jeśli w szeregach z przedziałami klasowymi przedziały mają różne szerokości, to wzór na obliczanie średniej arytmetycznej podawany jest z pewną korektą

• Średnia arytmetyczna jest dobrą miarą przeciętną tylko dla zbiorowości jednorodnych nie daje się natomiast obrazu przeciętnego poziomu cechy, gdy badana zbiorowość nie jest jednorodna np. gdy liczymy średnią płacę łącząc pracowników z różnych grup uposażenia

• Średnia arytmetyczna jest większa od najmniejszej, zaś mniejsza od największej wartości w grupie
  

• Suma odchyleń wartości cech od średniej arytmetycznej jest =0.

• dla szeregu szczegółowego
  

• dla szeregu rozdzielczego
  

Omówienie miar pozycyjnych

Dominanta - nie istnieje w każdym szeregu, posiada ją najliczniejsza grupa

• dla szeregów bez przedziałów klasowych dominantą jest taka wartość cechy, która w danym szeregu występuje największą liczbę razy o ile nie jest to wartość skrajna (najmniejsza, największa)

• dla szeregów z przedziałami klasowymi dominanta istnieje jeśli wśród przedziałów klasowych występuje przedział o wyraźnie większej od innych przedziałów liczebności i szerokości zbliżonej do szerokości przedziałów z nim sąsiadujących i nie jest to przedział skrajny.

Wyznaczanie dominanty w sposób przybliżony:

GRAFICZNIE:

INTERPOLACYJNY

Przybliżony

gdzie:

x₀ - początek przedziału dominanty

n₀ - liczebność przedziału dominanty

n_m-1 - liczebność przedziału stojącego nad przedziałem dominanty

n_m+1 - liczebność przedziału stojącego za przedziałem dominanty

h₀ - rozpiętość przedziału dominanty

Średnia arytmetyczna, dominanta i mediana traktowane są jako miary przeciętnego poziomu zjawiska.

• Mediana:

Zalety mediany:

można ją wyznaczyć zawsze

nie jest miara wrażliwą na wartości skrajne

jest lepszą miarą przeciętną w sytuacji, gdy w zbiorze występują jednostki o nietypowych wartościach cechy

Wyznaczanie mediany:

Dla szeregów bez przedziałów klasowych

M_e = wartość cechy
gdy „n” jest nieparzyste

gdy „n” jest parzyste

Kwartyle

Wyznaczanie:

Dla szeregów bez przedziałów klasowych

Aby wyznaczyć Q₁ w szeregach bez przedziałów klasowych, bierzemy pod uwagę wszystkie wartości cechy stojące przez M_e.

A jeśli M_e jest elementem szeregu, to razem z tą M_e i Q₁ wyznaczamy tak jakby to była mediana dla tej części szeregu.

Aby wyznaczyć Q₃ w szeregu bez przedziałów klasowych, bierzemy pod uwagę wszystkie wartości cechy stojące za M_e.

A jeśli M_e jest elementem szeregu, to razem z tą M_e i Q₃ wyznaczamy tak jakby to była mediana dla tej części szeregu.

Wyznaczanie mediany i kwartyli w szeregu z przedziałami klasowymi:

Wyznaczamy medianę, liczebność skumulowaną

Obliczamy numer mediany
i sprawdzamy, w którym przedziale się mieści

Miary zmienności

Dzielą się na:

1. Klasyczne:

• Odchylenie przeciętne

• Odchylenie standardowe

• Współczynniki zmienności

2. Pozycyjne:

• Rozstęp szeregu

• Odchylenie kwartylowe (ćwiartkowe)

• Współczynniki zmienności

Miary zmienności charakteryzują stopień zróżnicowania jednostek zbiorowości pod względem badanej cechy. Miary te inaczej nazywamy miarami dyspersji lub zróżnicowania.

Współczynniki zmienności

Pozycyjne -

Warunki te podaje się po przemnożeniu przez 100 i podajemy w procentach. Wartości tych współczynników mieszczą się w przedziale od 0 do 100 %. Im wartość bliższa 100% jest wartość współczynnika zmienności tym bardziej zróżnicowana jest badana zbiorowość pod względem analizowanej cech. Współczynniki zmienności znajdują szczególnie ważne zastosowanie w dwóch sytuacjach:

• Gdy badamy kilka zbiorowości ze względu na tę samą cechę i chcemy porównać stopień zróżnicowania tych zbiorowości ze względu na tę cechę.

• Gdy badamy jedną zbiorowość ze względu, na którą z tych cech zbiorowość jest najbardziej zróżnicowana.

Przykład:

Przy poprzednim podziale Polski na 49 województw badano zróżnicowanie tych województw ze względu na powierzchnię i liczbę ludności.

Otrzymano dane:

1. Powierzchnia (w tyś. km²) -
   

2. Liczba ludności (w tyś. osób) -
   

Rozwiązanie:

Odpowiedź:

Stopień zróżnicowania województw ze względu na liczbę ludności był znacznie wyższy niż ze względu na powierzchnię.

Przykład:

Badano liczbę czasopism ilustrowanych zakupionych w ciągu tygodnia przez mieszkańców pewnego bloku dane zawarto w tabeli:

Lp.	Liczba czasopism	Liczba mieszkańców
1	0	7	0	7	0	1,8	12,6	3,24	22,68
2	1	13	13	20	13	0,8	10,4	0,64	8,32
3	2	18	36	38	36	0,2	3,6	0,04	0,72
4	3	7	21	45	21	1,2	8,4	1,44	0,08
5	4	5	20	50	20	2,2	11	4,84	24,2
					90		46		66

- liczebność skumulowana (dodajemy wszystkie cyfry z kolumny
)

Szereg punktowy:

Średnio mieszkańcy tego bloku kupowali 1,8 czasopisma.

Dominanta: D = 2

Mediana:

Liczba czasopism kupowanych przez mieszkańców bloku różniła się od średniej przeciętnej o 0,92 czasopisma.

=1,15

Liczba czasopism kupowanych przez mieszkańców bloku odchyla się od średniej o 1,15 czasopisma.

Stopień zróżnicowania mieszkańców bloku ze względu na liczbę kupowanych czasopism jest dość wysoki.

Przeciętna liczba kupowanych czasopism różniła się od mediany o 0,5.

Przykład:

Badano oszczędności mieszkańców pewnego osiedla i otrzymane wyniki przedstawiono w tabeli:

Lp.	Oszczędności tys. zł.	Liczba osób
1	0 - 2	8	1	8	8	3,4	27,2	11,56	92,48
2	2 - 4	17	3	51	25	1,4	23,8	1,96	33,32
3	4 - 6	12	6	60	37	0,6	7,2	0,36	4,32
4	6 - 8	8	7	56	45	2,6	20,8	6,76	54,08
5	8 - 10	5	9	45	50	4,6	23	21,16	105,8
		50		220			102		290

Szereg z przedziałami klasowymi:

Najliczniejsza grupa osób mająca oszczędności ok. 4,4 tys. zł.

Dominanta:

Oszczędności mieszkańców osiedla różniły się przeciętnie średnio o 2,04 tyś. zł.

=2,408 tyś. zł.

Oszczędności mieszkańców osiedla odchylają się od średniej przeciętnie o 2408 zł.

Oszczędności mieszkańców osiedla różniły się od mediany o 1798 tyś. zł.

Stopień zróżnicowania mieszkańców osiedla ze względu na oszczędności jest dość wysoki.

Przykład:

Badano zarobki pracowników w trzech zakładach ABC i otrzymano dane:

	A	B	C
	0,9 tyś zł	0,9 tyś zł	0,9 tyś zł
	0,9 tyś zł	0,88 tyś zł	0,92 tyś zł
	0,9 tyś zł	0,75 tyś zł	1,05 tyś zł

- jest to szereg statystyczny, gdzie zachodzi równość tych miar jest to szereg symetryczny. Szereg symetryczny przedstawia grupę jednostek statystycznych mających takie same wartości cechy jak średnia.

- asymetria prawostronna dodatnia przy tej asymetrii najliczniejsza grupa jednostek mająca wartości cechy poniżej średniej.

- asymetria lewostronna ujemna najliczniejsza grupa jednostek statystycznych mająca wartości cechy większe niż średnia.

Wskaźniki skośności

Kierunek asymetrii mierzy wskaźnik skośności:

1. Szereg symetryczny -
   

2. Asymetria prawostronna -
   

3. Asymetria lewostronna -
   

Kierunek i siłę asymetrii mierzy współczynnik skośności:

W przypadku skrajnej asymetrii współczynnik ten może znaleźć się za tymi granicami.

Badanie zbiorowości ze względu na dwie cechy

Przy badaniu zbiorowości ze względu na dwie cechy dane dotyczące tych cech porządkujemy w następujący sposób: gdy liczba obserwacji jest mała budujemy szereg szczegółowy.

Np.: przebadano 6 firm zajmujących się usługami porządkowymi, porównując ich miesięczne wydatki na reklamę.

X - wydatki na reklamę ( w tyś zł)

Y - dochody (w tyś zł)

Lp.	Wydatki na reklamę	Dochody
1	1,5	10
2	2	20
3	2,5	20
4	2,5	15
5	4,5	25
6	5	30

Przykład:

W grupie 50 studentów badano oceny z matematyki X i statystyki Y

(2,2) - 10 osób, (2,3) - 5 osób, (3,2) - 12 osób, (3,3) - 8 osób

(4,3) - , (4,4) - 5 osób, (4,5) - 6 osób, (5,5) - 4 osoby

Budujemy tabelę korelacyjną

Oceny z matematyki	Oceny ze statystyki
		2	3	4		5
2	10	5			15
3	12	8			20
4			5	6	11
5				4	4
	22	13	5	10

- rozkład brzegowy cechy X,
- rozkład brzegowy cechy Y

Ogólna postać tabeli korelacyjnej

X	Y
				...

- liczba jednostek o wartościach (
) badanych cech.

Dzięki tablicy korelacyjnej możemy badać cechy mierzalne i niemierzalne.

Sposoby badania współzależności między cechami

Jeżeli rozpatrujemy w pewnej zbiorowości dwie cechy mierzalne, to związek między tymi cechami może być związkiem funkcyjnym, gdy poszczególnym wartością jednej cechy odpowiadają ściśle określone wartości drugiej cechy np. cena i wartość towaru.

Innego rodzaju związkiem jest zależność stochastyczna (probalistyczna), gdy prawdopodobieństwo przyjęcia przez cechę X pewnej wartości wpływa na prawdopodobieństwo przejęcia przez cechę Y określonej wartości.

Szczególnym przypadkiem zależności stochastycznej jest zależność korelacyjna.

Zależność korelacyjna między cechami polega na tym, że wzrostowi wartości jednej cechy odpowiada wzrost lub spadek średnich wartości drugiej cechy.

Jeżeli wzrostowi wartości cechy X odpowiada wzrost średniej wartości cechy Y mówimy o korelacji dodatniej.

Jeżeli natomiast wzrostowi wartości cechy X odpowiada spadek średnich wartości cechy Y mówimy o korelacji ujemnej.

Jeżeli badane cechy opisane są szeregiem szczegółowym to:

• Na korelację dodatnią wskazuje fakt, że przy wzroście wartości pierwszej i drugiej cechy mają tendencję wzrostową.

• Jeżeli wzrostowi wartości pierwszej cechy towarzyszy tendencja spadkowa w wartościach drugiej cechy to wskazuje to na korelację ujemną.

Związek korelacyjny między cechami badamy tylko wówczas, gdy między tymi cechami istnieje logicznie uzasadniony związek przyczynowo - skutkowy.

Miary ścisłości związku między cechami

• Współczynnik zbieżności Czuprowa stosujemy go wyłącznie do tablicy korelacyjnej dla dowolnych cech (mierzalnych i niemierzalnych)

• Współczynnik korelacji Rang Spearmana stosujemy go wyłącznie do szeregu szczegółowego dla cech mierzalnych lub niemierzalnych.

• Stosunki korelacyjne stosuje się je wyłącznie do tablicy korelacyjnej dla cech niemierzalnych.

• Współczynnik korelacji liniowej Pearsona stosuje się go w szeregu szczegółowym i tablicy korelacyjnej dla cech niemierzalnych.

Przykład:

Sześć firm zajmuje się usługami porządkowymi porównując ich wydatki na reklamę i dochody.

Lp.	Wydatki na reklamę	Dochody	Ranga	Ranga
1	1,5	10	1	1	0	0
2	2,0	20	2	3,5	-1,5	2,25
3	2,5	20	3,5	3,5	0	0
4	2,5	15	3,5	2	1,5	2,25
5	4,5	25	5	5	0	0
6	5,0	30	6	6	0	0
	18,00	120				4,50

Współczynnik korelacji RANG SPEARMANA

- różnica rangi
i rangi

RANGA - numer miejsca, na którym stoi uporządkowana w szeregu rosnąco wartość cechy.

Ujemna wartość współczynnika rang wskazuje na ujemną korelację liniową między cechami.

- mówi nam o sile tej zależności. Im bliższy 1 tym silniejsza zależność między cechami w przykładzie między wydatkami na reklamę a dochodami firmy zachodzi znacząca korelacja liniowa.

Współczynnik korelacji rang jest symetryczny tzn. przy jego obliczaniu nie ma znaczenia, która z cech jest niezależna a która zależna. Ten wybór cechy niezależnej i zależnej dokonywany jest przy interpretacji w oparciu o logiczne przesłanki. Uznajmy, że X zależy od Y. Znacząca dodatnia korelacja liniowa oznacza, że wraz z wydatkami na reklamę rosną średnie dochody firmy.

- pokazuje, w jakim % zmiany jednej cechy wpływają na zmiany średniej wartości drugiej cechy.

Wzrost dochodów firmy zależy 76% od wydatków na reklamę.

Kowariancje

Kierunek związku korelacyjnego między cechami możemy określić wyznaczając kowariancję:

-1,5	-10	15	2,25	100
-1	0	0	1,1	0
-0,5	0	0	0,25	0
-0,5	-5	2,5	0,25	25
1,5	5	7,5	2,25	25
2	10	20	4	100
		45	10	250

- kowariancja dodatnia wskazuje na dodatnią korelację liniową między wydatkami na reklamę a dochodami firmy. Kierunek i siłę korelacji liniowej między cechami określa współczynnik korelacji liniowej Persona.

Korelacja liniowa Pearsona

Interpretacja współczynnika korelacji Persona jest taka sama jak współczynnika korelacji rang.

Wskazuje, w jakim % zmienność jednej cechy wpływa na zmienność drugiej cechy.

Czyli dochody firmy w 81% zależą od wydatków na reklamę.

Dla współczynnika korelacji liniowej Persona ustalono przedziały dla jego wartości bezwzględnej określające siłę zależności:

Brak zależności liniowej, może być zależność krzywa

Zależność liniowa wyraźna, lecz niewielka

Zależność liniowa wyraźna

Zależność liniowa znacząca

Zależność liniowa silna

Równanie linii regresji

Po stwierdzeniu, że między cechami istnieje korelacja liniowa możemy znaleźć równanie linii regresji.

Równanie linii regresji - linie regresji określa się jako miejsce geometryczne średnich wartości zmiennej zależnej przy ustalonych wartościach zmiennej niezależnej.

Funkcja regresji zmiennej zależnej Y przy danych wartościach zmiennej niezależnej X:

Funkcja regresji zmiennej zależnej X przy danych wartościach zmiennej niezależnej Y:

Współczynnik regresji
informuje o ile jednostek zmieni się zmienna zależna, gdy zmienna niezależna wzrośnie o 1 jednostkę.

Znaczy to, że jeśli na reklamę przeznaczymy o 1 tyś zł. miesięcznie więcej to dochody firmy wzrosną średnio o 4,5 tyś zł.

Zależność

Oba współczynniki mają zawsze taki sam znak.

Ponadto:

Przy czym
ma taki sam znak jak wspólny znak współczynników regresji:

Metody analizowania zmian zjawiska w czasie

Szereg czasowy

Szeregiem czasowym nazywamy ciąg wyników obserwacji uporządkowanych w czasie (t,
)

t - kolejne jednostki czasu

- wielkość badanego zjawiska w czasie t.

Czas w szeregach czasowych może być pojmowany dwojako:

• Jako krótsze lub dłuższe okresy np.: lata, miesiące, dni; otrzymujemy wówczas szereg czasowy okresów.

• Jako ściśle ustalone momenty w pewnym przedziale czasowym np.: określony dzień roku, miesiąca, ustalona godzina dnia; otrzymujemy wówczas szereg czasowy momentu.

Przykład:

Badano liczbę słuchaczy pewnej szkoły językowej i otrzymano następujące dane:

t	lata	Liczba osób, które ukończyły kurs w danym roku
1	1996	465
2	1997	490
3	1998	480
4	1999	525
5	2000	560
Razem		2520

Kolejność t może być od 0.

W roku 1996 ukończyło kurs 465 osób. Jest to przykład szeregu czasowego okresów w kolejnych latach. Przeciętny poziom zjawiska dla szeregu czasowego okresów mierzy średnia arytmetyczna.

Przeciętnie kurs w danym roku kończyło 504 słuchaczy.

Szereg czasowy momentu ( wybrany moment z danego okresu czasu)

t	lata	Liczba słuchaczy w dniu 31.XII.
1	1996	490
2	1997	505
3	1998	515
4	1999	550
5	2000	570

W szeregu czasowym momentu przeciętny poziom zjawiska określa średnia chronologiczna:

Jeżeli okresy są numerowane od 0 to będzie w mianowniku n.

W dniu 31.XII było przeciętnie 525 słuchaczy na przestrzeni lat 1996 - 2000.

Miary dynamiki zmian szeregu czasowego:

- Przyrosty

- Absolutne

Jedno podstawowe

łańcuchowe

- Względne

Jedno podstawowe

łańcuchowe

- Indeksy

- Indywidualne

Jedno podstawowe

łańcuchowe

- Zespołowe

Przykład:

t	lata	liczba słuchaczy
1	1996	465	0	(465 - 480) -15	0	0	0	(465: 465) 1	-
2	1997	490	(490 - 465) 25	(490 - 480) 10	(490 - 465) 25	(25: 465) 0,0538	(25: 465) 0,0538	(490: 465) 1,0538	(490: 465) 1,0538
3	1998	480	(480 - 465) 15	0	(480 - 490) -10	(15: 465) 0,0323	(-10: 490) -0,0204	(480: 465) 1,0323	(480: 490) 0,9796
4	1999	525	(525 - 465) 60	(525 - 480) 45	(525 - 480) 45	(60: 465) 0,1290	(45: 480) 0,0940	(525: 465) 1,1290	(525: 480) 1,0940
5	2000	560	(560 - 465) 95	(560 - 480) 80	(560 - 525) 35	(95: 465) 0,2043	(35: 525) 0,0670	(560: 465) 1,2043	(560: 525) 1,0670

Przez przyrosty absolutne rozumiemy różnicę między poziomem zjawiska w okresie t a poziomem zjawiska w okresie k.

t - poziom badany

k - poziom bazowy, podstawowy

Przyrosty jedno podstawowe otrzymamy wówczas, jeżeli dla całego szeregu ustalimy jeden, wspólny, dowolnie wybrany okres podstawowy.

W roku 1999 w stosunku do roku 1996
tzn. liczba słuchaczy w roku 1999 w stosunku do roku 1996 była większa o 60 osób.

Przyrosty absolutne łańcuchowe są to przyrosty obliczane w stosunku do okresu poprzedniego:

Przyrosty względne obliczamy jako ułamki, są to wielkości niemianowane a do interpretacji podajemy je pomnożone przez 100 w %.

Mogą być jedno podstawowe, (jeżeli dla całego szeregu ustalimy jeden wspólny okres bazowy) lub też łańcuchowe, (jeżeli obliczane są w stosunku do okresu poprzedniego).

tzn., że liczba słuchaczy w roku 1999 była o 12,9% wyższa niż liczba słuchaczy w roku 1996.

Przez indeksy dynamiki rozumiemy mierniki określające stosunek wielkości badanego zjawiska w dwóch okresach.

Indeksy, które dotyczą zjawisk jednorodnych opisywanych jednym szeregiem czasowym nazywamy indywidualnymi indeksami dynamiki:

Podobnie jak przyrosty względne indeksy interpretujemy jako % a podajemy jako ułamki.

tzn., że w roku 1998 w stosunku z rokiem 1996 liczba słuchaczy wynosiła 103,23% słuchaczy.

Indeks < 1 - oznacza, że poziom zjawiska spada

Indeks >1 - oznacza, że poziom zjawiska rośnie

Jak badamy średnie tempo zmian zjawiska w czasie?

Średnie tempo zmian zjawiska w czasie określa się średnią geometryczną indeksów łańcuchowych.

Stopień √ = liczba badanych czynników.

Przy czym do interpretacji wyznacza się różnicę między obliczaną średnią w % - 100% i nazywa się ją średniookresowe tempo zmian:

tzn. w latach 1996 - 2000 liczba słuchaczy kursów jednocześnie wzrastała z roku na rok przeciętnie o 4,77%.

Indeksy cen, ilości, wartości

Indywidualne indeksy:

1. Indeks cen -
   

2. Indeks ilości -
   

3. Indeks wartości -
   

indeks wartości;

równość indeksowa dla indeksów indywidualnych

t = 0 okres bazowy, podstawowy

t = n okres badany

- cena, ilość, wartość w okresie bazowym

- cena, ilość, wartość w okresie badanym

Przykład:

Przedsiębiorstwo produkuje czajniki elektryczne trzech typów dane dotyczące cen, ilości i wartości poszczególnych typów czajników z lat 1996 i 1999 przedstawia poniższa tabela.

Ocenić przy pomocy indeksów dynamikę zmian cen, ilości, wartości produkcji dla każdego typu czajnika.

Ocenić dynamikę zmian wartości, cen, ilości dla wszystkich typów czajników łącznie.

Typ czajnika	Produkcja (w tyś. szt.)		Cena ( w zł.)		Wartość (w tyś. zł.)		Indeks indywidualny			Obliczenia pomocnicze
		1996	1999	1996	1999	1996						1999
j
I	1,2	1,5	100	90	120	135	1,25	0,9	1,125	108	150
II	1,5	1,4	65	70	97,5	98	0,93	1,08	1,005	105	91
III	0,8	1,2	50	58	40	69,6	1,5	1,16	1,74	46,4	60
										259,4	301
										257,5	302,6

Zespołowe indeksy dla wszystkich absolutnych:

1. Indeks wartości:

łączna wartość produkcji czajników w roku 1999 była o 17,5% wyższa od łącznej produkcji tych czajników w roku 1996.

2. Indeks cen:

1. Indeks Laspeyresa:

gdyby wielkość produkcji była cały czas na poziomie roku 1996 to ceny wszystkich typów czajników łącznie w roku 1999 byłyby o 0,74% wyższe w porównaniu z cenami z roku 1999;

gdyby wielkość produkcji była na poziomie 1996 roku to łączna wartość produkcji w roku 1999 byłaby o 0,74% wyższa od łącznej wartości produkcji w roku 1996 tylko na skutek zmiany cen.

2. Indeks Paaschego:

gdyby wielkość produkcji była cały czas na poziomie roku 1999 to ceny wszystkich typów czajników łącznie w roku 1999 byłyby o 0,53% wyższe niż w roku 1996;

gdyby wielkość produkcji była na poziomie roku 1999 to łączna wartość produkcji w roku 1999 byłaby o 0,53% wyższa od łącznej wartości produkcji w roku 1996 tylko na skutek zmiany cen.

3. Indeks ilości

1. Indeks Laspeyresa

gdyby ceny wszystkich czajników cały czas były na poziomie roku 1996 to ilościowo produkcja w roku 1999 byłaby o 16,9% wyższa niż w roku 1996;

gdyby ceny wszystkich typów czajników cały czas były na poziomie roku 1996 to łączna wartość produkcji w roku 1999 byłaby o 16,9% wyższa od łącznej wartości produkcji z roku 1996 tylko na skutek zmian ilościowych w produkcji.

2. Indeks Paaschego:

gdyby ceny wszystkich typów czajników byłby cały czas na poziomie roku 1999 to ilościowo produkcja w roku 1999 byłaby o 16,65% wyższa od łącznej produkcji w roku 1996;

gdyby ceny wszystkich typów czajników byłyby cały czas na poziomie roku 1999 to łączna wartość produkcji w roku 1999 byłaby wyższa o 16,65% od łącznej wartości produkcji w roku 1996 tylko na skutek zmian ilościowych produkcji.

1

Szukasz gotowej pracy ?

To pewna droga do poważnych kłopotów.

Plagiat jest przestępstwem !

Nie ryzykuj ! Nie warto !

Powierz swoje sprawy profesjonalistom.

---