Statystyka - nauka o metodach ilościowych, badania zjawisk masowych. Zajmuje się badaniem procesów, jakie zachodzą w zbiorowościach statystycznych.
Zjawisko masowe - występują w przyrodzie, społeczeństwie, badane dla większej liczby przypadków, wykazują pewną prawidłowość.
Badanie statystyczne - ogół prac mających na celu:
Poznanie struktury badanej zbiorowości ze względu na określone cechy
Ocenę współzależności zjawisk
Poznanie dynamiki zmian zjawiska w czasie i przyczyn wywołujących zmienność tego zjawiska.
Populacja statystyczna (zbiorowość statystyczna) - zbiór osób, przedmiotów, zjawisk podobnych do siebie, ale nie identycznych, poddanych badaniom statystycznym. Każdy element populacji statystycznej to jednostka statystyczna.
Jednostka statystyczna - element zbiorowości statystycznej, posiada ona cechy wspólne lub przynajmniej jedną cechę wspólną z innymi jednostkami oraz różnice w stosunku do innych jednostek.
Przy określaniu populacji statystycznej określamy:
kogo, co badamy
jaki obszar obejmuje badanie
jakiego okresu dotyczy badanie
np. badamy stan zdrowia dzieci rozpoczynających naukę w 2000 roku na terenie województwa łódzkiego. W tym badaniu zbiorowością statystyczną są dzieci rozpoczynające naukę w 2000 roku. Jednostką jest każde z tych dzieci.
Badanie statystyczne ma dwojaki charakter:
całkowite (pełne, wyczerpujące) - to takie, w którym bezpośredniej obserwacji podlegają wszystkie jednostki statystyczne. Badania te przeprowadza się dla zbiorowości mało licznych, ponieważ są małe koszty. Przy tym badaniu otrzymujemy opis statystyczny.
częściowe - bezpośredniej obserwacji podlega pewien podzbiór zbiorowości statystycznej nazywany próbą i wyniki uogólniamy na całą zbiorowość. By to uogólnienie miało sens, próba musi być liczna i reprezentatywna (struktura musi być zbliżona do danej zbiorowości). Przy tym badaniu opis dotyczy próby. W częściowym odniesieniu do całej zbiorowości mamy do czynienia z wnioskowaniem statystycznym.
Cechy statystyczne - własności jednostek statystycznych podlegające badaniom. Jednocześnie cecha statystyczna jest kryterium podziału całej zbiorowości statystycznej, czyli wszystkich jednostek na mniejsze części.
Podział cech statystycznych:
mierzalne - ilościowe - wartości otrzymujemy w wyniku pomiaru lub policzenia, i które w naturalny sposób wyrażają się liczbami i występują w określony w określonych jednostkach. Dzielą się na:
skokowe (dyskretne) przyjmują wartości nie zależące od pomiaru np. liczba osób w rodzinie, dni w roku na odpoczynek
ciągłe przyjmują wartości z poziomych przedziałów. Wartości te często zależą od dokładności pomiaru (czas wykonania pewnego detalu np. długość włókna przędzy przy badaniu jej jakości)
niemierzalne - jakościowe - warianty opisujemy słowami np. zawód, wykształcenie. Dzielimy je na:
dwudzielne - istnieją dwa warianty np. płeć, tak-nie
wielodzielne - wiele wariantów np. zawód
Etapy badania statystycznego:
Projektowanie - sprecyzować cel badania, określić zbiorowość statystyczną i oszacować jej liczebność, określić charakter badania (pełne, częściowe), uściślić badane cechy, podać źródła pozyskiwania danych, przygotować formularze ankiet
Zbieranie danych statystycznych - źródła danych statystycznych są pierwotne (bezpośrednio od jednostek, obserwacje, ankieta) lub wtórne (opracowania firm, instytucji, ośrodków badań statystycznych). Dane zgromadzone są tzw. Surowe
Opracowanie danych - tabele, wykresy. Materiał należy pogrupować, usystematyzować. Grupowanie ma charakter typologiczny (gdy łączymy w grupy jednostki, które mają taki sam wariant cechy) lub wariacyjny (porządkujemy dane ze względu na wartości cechy dla tych jednostek) Pogrupowane dane zapisujemy w szeregach statystycznych
Analiza wyników - podanie informacji
Charakterystyki liczbowe struktury zbiorowości
Parametry statystyczne - są to liczby, które w systematyczny sposób opisują strukturę zbiorowości ze względu na badaną cechę mierzalną.
Parametry statystyczne dzielą się na następujące grupy:
Miary położenia
Miary zmienności
Miary asymetrii
Miary koncentracji
Miary położenia mogą być:
Klasyczne
Średnia arytmetyczna
Średnia harmoniczna
Średnia geometryczna
Inne średnie
Pozycyjne
Dominanta (moda, wartość modalna)
Kwantyle:
Kwartyle
Kwartyl dolny
Mediana
Kwartyl górny
Kwintyle
Decyle
Centyle
Miary klasyczne:
Średnia arytmetyczna określana jest wzorami:
Dla szeregu szczegółowego
Dla szeregu rozdzielczego
Dla szeregu z przedziałem klasowym
liczebność grupy
Przykład:
Badano liczbę czasopism ilustrowanych zakupionych w ciągu tygodnia przez mieszkańców pewnego bloku dane zawarto w tabeli:
Lp |
Liczba czasopism x1 |
Liczba mieszkańców n1 |
X1n1 |
Nis |
1 |
0 |
7 |
0 |
7 |
2 |
1 |
13 |
13 |
20 |
3 |
2 |
18 |
36 |
38 |
4 |
3 |
7 |
21 |
45 |
5 |
4 |
5 |
20 |
50 |
|
|
Ni=50 |
Xini=90 |
|
nis - liczebność skumulowana (dodajemy wszystkie cyfry z kolumny ni)
Szereg punktowy
Średnio mieszkańcy tego bloku kupowali 1,8 czasopisma
Dominanta = 2 (w kolumnie xini największą liczbą jest 36 czyli liczba czasopism wynosi 2)
Mediana -
Przykład:
Badano oszczędności mieszkańców pewnego osiedla i otrzymane wyniki przedstawiono w tabeli:
Lp |
Oszczędności w tys zł |
Liczba osób ni |
X1 |
xini |
nis |
1 |
0-2 |
8 |
1 |
8 |
8 |
2 |
2-4 |
17 |
3 |
51 |
25 |
3 |
4-6 |
12 |
6 |
60 |
37 |
4 |
6-8 |
8 |
7 |
56 |
45 |
5 |
8-10 |
5 |
9 |
45 |
50 |
|
|
50 |
|
220 |
|
Szereg z przedziałami klasowymi:
Najliczniejsza grupa osób mająca oszczędności ok. 4,4 tys zł
Dominanta:
Własności średniej arytmetycznej
Średniej arytmetycznej nie wyznacza się dla szeregów z przedziałami klasowymi w których skrajnie przedziały są otwarte i mają stosunkowo dużą liczebność. Jeśli liczebność w skrajnych otwartych przedziałach jest stosunkowo mała, to możemy je skutecznie domknąć i wtedy obliczymy średnią arytmetyczną. Jeśli w szeregach z przedziałami klasowymi przedziały mają różne szerokości, to wzór na obliczanie średniej arytmetycznej podawany jest z pewną korektą
Średnia arytmetyczna jest dobrą miarą przeciętną tylko dla zbiorowości jednorodnych nie daje się natomiast obrazu przeciętnego poziomu cechy, gdy badana zbiorowość nie jest jednorodna np. gdy liczymy średnią płacę łącząc pracowników z różnych grup uposażenia
Średnia arytmetyczna jest większa od najmniejszej, zaś mniejsza od największej wartości w grupie
Suma odchyleń wartości cech od średniej arytmetycznej jest =0.
dla szeregu szczegółowego
dla szeregu rozdzielczego
Omówienie miar pozycyjnych
Dominanta - nie istnieje w każdym szeregu, posiada ją najliczniejsza grupa
dla szeregów bez przedziałów klasowych dominantą jest taka wartość cechy, która w danym szeregu występuje największą liczbę razy o ile nie jest to wartość skrajna (najmniejsza, największa)
dla szeregów z przedziałami klasowymi dominanta istnieje jeśli wśród przedziałów klasowych występuje przedział o wyraźnie większej od innych przedziałów liczebności i szerokości zbliżonej do szerokości przedziałów z nim sąsiadujących i nie jest to przedział skrajny.
Wyznaczanie dominanty w sposób przybliżony:
GRAFICZNIE:
INTERPOLACYJNY
Przybliżony
gdzie:
x0 - początek przedziału dominanty
n0 - liczebność przedziału dominanty
nm-1 - liczebność przedziału stojącego nad przedziałem dominanty
nm+1 - liczebność przedziału stojącego za przedziałem dominanty
h0 - rozpiętość przedziału dominanty
Średnia arytmetyczna, dominanta i mediana traktowane są jako miary przeciętnego poziomu zjawiska.
Mediana:
Zalety mediany:
można ją wyznaczyć zawsze
nie jest miara wrażliwą na wartości skrajne
jest lepszą miarą przeciętną w sytuacji, gdy w zbiorze występują jednostki o nietypowych wartościach cechy
Wyznaczanie mediany:
Dla szeregów bez przedziałów klasowych
Me = wartość cechy
gdy „n” jest nieparzyste
gdy „n” jest parzyste
Kwartyle
Wyznaczanie:
Dla szeregów bez przedziałów klasowych
Aby wyznaczyć Q1 w szeregach bez przedziałów klasowych, bierzemy pod uwagę wszystkie wartości cechy stojące przez Me.
A jeśli Me jest elementem szeregu, to razem z tą Me i Q1 wyznaczamy tak jakby to była mediana dla tej części szeregu.
Aby wyznaczyć Q3 w szeregu bez przedziałów klasowych, bierzemy pod uwagę wszystkie wartości cechy stojące za Me.
A jeśli Me jest elementem szeregu, to razem z tą Me i Q3 wyznaczamy tak jakby to była mediana dla tej części szeregu.
Wyznaczanie mediany i kwartyli w szeregu z przedziałami klasowymi:
Wyznaczamy medianę, liczebność skumulowaną
Obliczamy numer mediany
i sprawdzamy, w którym przedziale się mieści
Miary zmienności
Dzielą się na:
1. Klasyczne:
Odchylenie przeciętne
Odchylenie standardowe
Współczynniki zmienności
2. Pozycyjne:
Rozstęp szeregu
Odchylenie kwartylowe (ćwiartkowe)
Współczynniki zmienności
Miary zmienności charakteryzują stopień zróżnicowania jednostek zbiorowości pod względem badanej cechy. Miary te inaczej nazywamy miarami dyspersji lub zróżnicowania.
Współczynniki zmienności
Pozycyjne -
Warunki te podaje się po przemnożeniu przez 100 i podajemy w procentach. Wartości tych współczynników mieszczą się w przedziale od 0 do 100 %. Im wartość bliższa 100% jest wartość współczynnika zmienności tym bardziej zróżnicowana jest badana zbiorowość pod względem analizowanej cech. Współczynniki zmienności znajdują szczególnie ważne zastosowanie w dwóch sytuacjach:
Gdy badamy kilka zbiorowości ze względu na tę samą cechę i chcemy porównać stopień zróżnicowania tych zbiorowości ze względu na tę cechę.
Gdy badamy jedną zbiorowość ze względu, na którą z tych cech zbiorowość jest najbardziej zróżnicowana.
Przykład:
Przy poprzednim podziale Polski na 49 województw badano zróżnicowanie tych województw ze względu na powierzchnię i liczbę ludności.
Otrzymano dane:
Powierzchnia (w tyś. km²) -
Liczba ludności (w tyś. osób) -
Rozwiązanie:
Odpowiedź:
Stopień zróżnicowania województw ze względu na liczbę ludności był znacznie wyższy niż ze względu na powierzchnię.
Przykład:
Badano liczbę czasopism ilustrowanych zakupionych w ciągu tygodnia przez mieszkańców pewnego bloku dane zawarto w tabeli:
Lp. |
Liczba czasopism
|
Liczba mieszkańców
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
7 |
0 |
7 |
0 |
1,8 |
12,6 |
3,24 |
22,68 |
2 |
1 |
13 |
13 |
20 |
13 |
0,8 |
10,4 |
0,64 |
8,32 |
3 |
2 |
18 |
36 |
38 |
36 |
0,2 |
3,6 |
0,04 |
0,72 |
4 |
3 |
7 |
21 |
45 |
21 |
1,2 |
8,4 |
1,44 |
0,08 |
5 |
4 |
5 |
20 |
50 |
20 |
2,2 |
11 |
4,84 |
24,2 |
|
|
|
|
90 |
|
46 |
|
66 |
- liczebność skumulowana (dodajemy wszystkie cyfry z kolumny
)
Szereg punktowy:
Średnio mieszkańcy tego bloku kupowali 1,8 czasopisma.
Dominanta: D = 2
Mediana:
Liczba czasopism kupowanych przez mieszkańców bloku różniła się od średniej przeciętnej o 0,92 czasopisma.
=1,15
Liczba czasopism kupowanych przez mieszkańców bloku odchyla się od średniej o 1,15 czasopisma.
Stopień zróżnicowania mieszkańców bloku ze względu na liczbę kupowanych czasopism jest dość wysoki.
Przeciętna liczba kupowanych czasopism różniła się od mediany o 0,5.
Przykład:
Badano oszczędności mieszkańców pewnego osiedla i otrzymane wyniki przedstawiono w tabeli:
Lp. |
Oszczędności tys. zł. |
Liczba osób
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 - 2 |
8 |
1 |
8 |
8 |
3,4 |
27,2 |
11,56 |
92,48 |
2 |
2 - 4 |
17 |
3 |
51 |
25 |
1,4 |
23,8 |
1,96 |
33,32 |
3 |
4 - 6 |
12 |
6 |
60 |
37 |
0,6 |
7,2 |
0,36 |
4,32 |
4 |
6 - 8 |
8 |
7 |
56 |
45 |
2,6 |
20,8 |
6,76 |
54,08 |
5 |
8 - 10 |
5 |
9 |
45 |
50 |
4,6 |
23 |
21,16 |
105,8 |
|
50 |
|
220 |
|
|
102 |
|
290 |
Szereg z przedziałami klasowymi:
Najliczniejsza grupa osób mająca oszczędności ok. 4,4 tys. zł.
Dominanta:
Oszczędności mieszkańców osiedla różniły się przeciętnie średnio o 2,04 tyś. zł.
=2,408 tyś. zł.
Oszczędności mieszkańców osiedla odchylają się od średniej przeciętnie o 2408 zł.
Oszczędności mieszkańców osiedla różniły się od mediany o 1798 tyś. zł.
Stopień zróżnicowania mieszkańców osiedla ze względu na oszczędności jest dość wysoki.
Przykład:
Badano zarobki pracowników w trzech zakładach ABC i otrzymano dane:
|
A |
B |
C |
|
0,9 tyś zł |
0,9 tyś zł |
0,9 tyś zł |
|
0,9 tyś zł |
0,88 tyś zł |
0,92 tyś zł |
|
0,9 tyś zł |
0,75 tyś zł |
1,05 tyś zł |
|
|
|
|
- jest to szereg statystyczny, gdzie zachodzi równość tych miar jest to szereg symetryczny. Szereg symetryczny przedstawia grupę jednostek statystycznych mających takie same wartości cechy jak średnia.
- asymetria prawostronna dodatnia przy tej asymetrii najliczniejsza grupa jednostek mająca wartości cechy poniżej średniej.
- asymetria lewostronna ujemna najliczniejsza grupa jednostek statystycznych mająca wartości cechy większe niż średnia.
Wskaźniki skośności
Kierunek asymetrii mierzy wskaźnik skośności:
Szereg symetryczny -
Asymetria prawostronna -
Asymetria lewostronna -
Kierunek i siłę asymetrii mierzy współczynnik skośności:
W przypadku skrajnej asymetrii współczynnik ten może znaleźć się za tymi granicami.
Badanie zbiorowości ze względu na dwie cechy
Przy badaniu zbiorowości ze względu na dwie cechy dane dotyczące tych cech porządkujemy w następujący sposób: gdy liczba obserwacji jest mała budujemy szereg szczegółowy.
Np.: przebadano 6 firm zajmujących się usługami porządkowymi, porównując ich miesięczne wydatki na reklamę.
X - wydatki na reklamę ( w tyś zł)
Y - dochody (w tyś zł)
Lp. |
Wydatki na reklamę |
Dochody |
1 |
1,5 |
10 |
2 |
2 |
20 |
3 |
2,5 |
20 |
4 |
2,5 |
15 |
5 |
4,5 |
25 |
6 |
5 |
30 |
Przykład:
W grupie 50 studentów badano oceny z matematyki X i statystyki Y
(2,2) - 10 osób, (2,3) - 5 osób, (3,2) - 12 osób, (3,3) - 8 osób
(4,3) - , (4,4) - 5 osób, (4,5) - 6 osób, (5,5) - 4 osoby
Budujemy tabelę korelacyjną
Oceny z matematyki |
Oceny ze statystyki |
|
|||
|
2 |
3 |
4 |
5 |
|
2 |
10 |
5 |
|
|
15 |
3 |
12 |
8 |
|
|
20 |
4 |
|
|
5 |
6 |
11 |
5 |
|
|
|
4 |
4 |
|
22 |
13 |
5 |
10 |
|
- rozkład brzegowy cechy X,
- rozkład brzegowy cechy Y
Ogólna postać tabeli korelacyjnej
X |
Y |
|
|||
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- liczba jednostek o wartościach (
) badanych cech.
Dzięki tablicy korelacyjnej możemy badać cechy mierzalne i niemierzalne.
Sposoby badania współzależności między cechami
Jeżeli rozpatrujemy w pewnej zbiorowości dwie cechy mierzalne, to związek między tymi cechami może być związkiem funkcyjnym, gdy poszczególnym wartością jednej cechy odpowiadają ściśle określone wartości drugiej cechy np. cena i wartość towaru.
Innego rodzaju związkiem jest zależność stochastyczna (probalistyczna), gdy prawdopodobieństwo przyjęcia przez cechę X pewnej wartości wpływa na prawdopodobieństwo przejęcia przez cechę Y określonej wartości.
Szczególnym przypadkiem zależności stochastycznej jest zależność korelacyjna.
Zależność korelacyjna między cechami polega na tym, że wzrostowi wartości jednej cechy odpowiada wzrost lub spadek średnich wartości drugiej cechy.
Jeżeli wzrostowi wartości cechy X odpowiada wzrost średniej wartości cechy Y mówimy o korelacji dodatniej.
Jeżeli natomiast wzrostowi wartości cechy X odpowiada spadek średnich wartości cechy Y mówimy o korelacji ujemnej.
Jeżeli badane cechy opisane są szeregiem szczegółowym to:
Na korelację dodatnią wskazuje fakt, że przy wzroście wartości pierwszej i drugiej cechy mają tendencję wzrostową.
Jeżeli wzrostowi wartości pierwszej cechy towarzyszy tendencja spadkowa w wartościach drugiej cechy to wskazuje to na korelację ujemną.
Związek korelacyjny między cechami badamy tylko wówczas, gdy między tymi cechami istnieje logicznie uzasadniony związek przyczynowo - skutkowy.
Miary ścisłości związku między cechami
Współczynnik zbieżności Czuprowa stosujemy go wyłącznie do tablicy korelacyjnej dla dowolnych cech (mierzalnych i niemierzalnych)
Współczynnik korelacji Rang Spearmana stosujemy go wyłącznie do szeregu szczegółowego dla cech mierzalnych lub niemierzalnych.
Stosunki korelacyjne stosuje się je wyłącznie do tablicy korelacyjnej dla cech niemierzalnych.
Współczynnik korelacji liniowej Pearsona stosuje się go w szeregu szczegółowym i tablicy korelacyjnej dla cech niemierzalnych.
Przykład:
Sześć firm zajmuje się usługami porządkowymi porównując ich wydatki na reklamę i dochody.
Lp. |
Wydatki na reklamę
|
Dochody
|
Ranga
|
Ranga
|
|
|
1 |
1,5 |
10 |
1 |
1 |
0 |
0 |
2 |
2,0 |
20 |
2 |
3,5 |
-1,5 |
2,25 |
3 |
2,5 |
20 |
3,5 |
3,5 |
0 |
0 |
4 |
2,5 |
15 |
3,5 |
2 |
1,5 |
2,25 |
5 |
4,5 |
25 |
5 |
5 |
0 |
0 |
6 |
5,0 |
30 |
6 |
6 |
0 |
0 |
|
18,00 |
120 |
|
|
|
4,50 |
Współczynnik korelacji RANG SPEARMANA
- różnica rangi
i rangi
RANGA - numer miejsca, na którym stoi uporządkowana w szeregu rosnąco wartość cechy.
Ujemna wartość współczynnika rang wskazuje na ujemną korelację liniową między cechami.
- mówi nam o sile tej zależności. Im bliższy 1 tym silniejsza zależność między cechami w przykładzie między wydatkami na reklamę a dochodami firmy zachodzi znacząca korelacja liniowa.
Współczynnik korelacji rang jest symetryczny tzn. przy jego obliczaniu nie ma znaczenia, która z cech jest niezależna a która zależna. Ten wybór cechy niezależnej i zależnej dokonywany jest przy interpretacji w oparciu o logiczne przesłanki. Uznajmy, że X zależy od Y. Znacząca dodatnia korelacja liniowa oznacza, że wraz z wydatkami na reklamę rosną średnie dochody firmy.
- pokazuje, w jakim % zmiany jednej cechy wpływają na zmiany średniej wartości drugiej cechy.
Wzrost dochodów firmy zależy 76% od wydatków na reklamę.
Kowariancje
Kierunek związku korelacyjnego między cechami możemy określić wyznaczając kowariancję:
|
|
|
|
|
-1,5 |
-10 |
15 |
2,25 |
100 |
-1 |
0 |
0 |
1,1 |
0 |
-0,5 |
0 |
0 |
0,25 |
0 |
-0,5 |
-5 |
2,5 |
0,25 |
25 |
1,5 |
5 |
7,5 |
2,25 |
25 |
2 |
10 |
20 |
4 |
100 |
|
|
45 |
10 |
250 |
- kowariancja dodatnia wskazuje na dodatnią korelację liniową między wydatkami na reklamę a dochodami firmy. Kierunek i siłę korelacji liniowej między cechami określa współczynnik korelacji liniowej Persona.
Korelacja liniowa Pearsona
Interpretacja współczynnika korelacji Persona jest taka sama jak współczynnika korelacji rang.
Wskazuje, w jakim % zmienność jednej cechy wpływa na zmienność drugiej cechy.
Czyli dochody firmy w 81% zależą od wydatków na reklamę.
Dla współczynnika korelacji liniowej Persona ustalono przedziały dla jego wartości bezwzględnej określające siłę zależności:
Brak zależności liniowej, może być zależność krzywa
Zależność liniowa wyraźna, lecz niewielka
Zależność liniowa wyraźna
Zależność liniowa znacząca
Zależność liniowa silna
Równanie linii regresji
Po stwierdzeniu, że między cechami istnieje korelacja liniowa możemy znaleźć równanie linii regresji.
Równanie linii regresji - linie regresji określa się jako miejsce geometryczne średnich wartości zmiennej zależnej przy ustalonych wartościach zmiennej niezależnej.
Funkcja regresji zmiennej zależnej Y przy danych wartościach zmiennej niezależnej X:
Funkcja regresji zmiennej zależnej X przy danych wartościach zmiennej niezależnej Y:
Współczynnik regresji
informuje o ile jednostek zmieni się zmienna zależna, gdy zmienna niezależna wzrośnie o 1 jednostkę.
Znaczy to, że jeśli na reklamę przeznaczymy o 1 tyś zł. miesięcznie więcej to dochody firmy wzrosną średnio o 4,5 tyś zł.
Zależność
Oba współczynniki mają zawsze taki sam znak.
Ponadto:
Przy czym
ma taki sam znak jak wspólny znak współczynników regresji:
Metody analizowania zmian zjawiska w czasie
Szereg czasowy
Szeregiem czasowym nazywamy ciąg wyników obserwacji uporządkowanych w czasie (t,
)
t - kolejne jednostki czasu
- wielkość badanego zjawiska w czasie t.
Czas w szeregach czasowych może być pojmowany dwojako:
Jako krótsze lub dłuższe okresy np.: lata, miesiące, dni; otrzymujemy wówczas szereg czasowy okresów.
Jako ściśle ustalone momenty w pewnym przedziale czasowym np.: określony dzień roku, miesiąca, ustalona godzina dnia; otrzymujemy wówczas szereg czasowy momentu.
Przykład:
Badano liczbę słuchaczy pewnej szkoły językowej i otrzymano następujące dane:
t |
lata |
Liczba osób,
które ukończyły kurs w danym roku |
1 |
1996 |
465 |
2 |
1997 |
490 |
3 |
1998 |
480 |
4 |
1999 |
525 |
5 |
2000 |
560 |
Razem |
2520 |
Kolejność t może być od 0.
W roku 1996 ukończyło kurs 465 osób. Jest to przykład szeregu czasowego okresów w kolejnych latach. Przeciętny poziom zjawiska dla szeregu czasowego okresów mierzy średnia arytmetyczna.
Przeciętnie kurs w danym roku kończyło 504 słuchaczy.
Szereg czasowy momentu ( wybrany moment z danego okresu czasu)
t |
lata |
Liczba słuchaczy
w dniu 31.XII. |
1 |
1996 |
490 |
2 |
1997 |
505 |
3 |
1998 |
515 |
4 |
1999 |
550 |
5 |
2000 |
570 |
W szeregu czasowym momentu przeciętny poziom zjawiska określa średnia chronologiczna:
Jeżeli okresy są numerowane od 0 to będzie w mianowniku n.
W dniu 31.XII było przeciętnie 525 słuchaczy na przestrzeni lat 1996 - 2000.
Miary dynamiki zmian szeregu czasowego:
- Przyrosty
- Absolutne
Jedno podstawowe
łańcuchowe
- Względne
Jedno podstawowe
łańcuchowe
- Indeksy
- Indywidualne
Jedno podstawowe
łańcuchowe
- Zespołowe
Przykład:
t
|
lata |
liczba
słuchaczy |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1996 |
465 |
0 |
(465 - 480) -15 |
0 |
0 |
0 |
(465: 465) 1 |
- |
2 |
1997 |
490 |
(490 - 465) 25 |
(490 - 480) 10 |
(490 - 465) 25 |
(25: 465) 0,0538 |
(25: 465) 0,0538 |
(490: 465) 1,0538 |
(490: 465) 1,0538 |
3 |
1998 |
480 |
(480 - 465) 15 |
0 |
(480 - 490) -10 |
(15: 465) 0,0323 |
(-10: 490) -0,0204 |
(480: 465) 1,0323 |
(480: 490) 0,9796 |
4 |
1999 |
525 |
(525 - 465) 60 |
(525 - 480) 45 |
(525 - 480) 45 |
(60: 465) 0,1290 |
(45: 480) 0,0940 |
(525: 465) 1,1290 |
(525: 480) 1,0940 |
5 |
2000 |
560 |
(560 - 465) 95 |
(560 - 480) 80 |
(560 - 525) 35 |
(95: 465) 0,2043 |
(35: 525) 0,0670 |
(560: 465) 1,2043 |
(560: 525) 1,0670 |
Przez przyrosty absolutne rozumiemy różnicę między poziomem zjawiska w okresie t a poziomem zjawiska w okresie k.
t - poziom badany
k - poziom bazowy, podstawowy
Przyrosty jedno podstawowe otrzymamy wówczas, jeżeli dla całego szeregu ustalimy jeden, wspólny, dowolnie wybrany okres podstawowy.
W roku 1999 w stosunku do roku 1996
tzn. liczba słuchaczy w roku 1999 w stosunku do roku 1996 była większa o 60 osób.
Przyrosty absolutne łańcuchowe są to przyrosty obliczane w stosunku do okresu poprzedniego:
Przyrosty względne obliczamy jako ułamki, są to wielkości niemianowane a do interpretacji podajemy je pomnożone przez 100 w %.
Mogą być jedno podstawowe, (jeżeli dla całego szeregu ustalimy jeden wspólny okres bazowy) lub też łańcuchowe, (jeżeli obliczane są w stosunku do okresu poprzedniego).
tzn., że liczba słuchaczy w roku 1999 była o 12,9% wyższa niż liczba słuchaczy w roku 1996.
Przez indeksy dynamiki rozumiemy mierniki określające stosunek wielkości badanego zjawiska w dwóch okresach.
Indeksy, które dotyczą zjawisk jednorodnych opisywanych jednym szeregiem czasowym nazywamy indywidualnymi indeksami dynamiki:
Podobnie jak przyrosty względne indeksy interpretujemy jako % a podajemy jako ułamki.
tzn., że w roku 1998 w stosunku z rokiem 1996 liczba słuchaczy wynosiła 103,23% słuchaczy.
Indeks < 1 - oznacza, że poziom zjawiska spada
Indeks >1 - oznacza, że poziom zjawiska rośnie
Jak badamy średnie tempo zmian zjawiska w czasie?
Średnie tempo zmian zjawiska w czasie określa się średnią geometryczną indeksów łańcuchowych.
Stopień √ = liczba badanych czynników.
Przy czym do interpretacji wyznacza się różnicę między obliczaną średnią w % - 100% i nazywa się ją średniookresowe tempo zmian:
tzn. w latach 1996 - 2000 liczba słuchaczy kursów jednocześnie wzrastała z roku na rok przeciętnie o 4,77%.
Indeksy cen, ilości, wartości
Indywidualne indeksy:
Indeks cen -
Indeks ilości -
Indeks wartości -
indeks wartości;
równość indeksowa dla indeksów indywidualnych
t = 0 okres bazowy, podstawowy
t = n okres badany
- cena, ilość, wartość w okresie bazowym
- cena, ilość, wartość w okresie badanym
Przykład:
Przedsiębiorstwo produkuje czajniki elektryczne trzech typów dane dotyczące cen, ilości i wartości poszczególnych typów czajników z lat 1996 i 1999 przedstawia poniższa tabela.
Ocenić przy pomocy indeksów dynamikę zmian cen, ilości, wartości produkcji dla każdego typu czajnika.
Ocenić dynamikę zmian wartości, cen, ilości dla wszystkich typów czajników łącznie.
Typ czajnika |
Produkcja (w tyś. szt.) |
Cena ( w zł.) |
Wartość (w tyś. zł.) |
Indeks indywidualny |
Obliczenia pomocnicze |
||||||
|
1996 |
1999 |
1996 |
1999 |
1996 |
1999 |
|
|
|||
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
1,2 |
1,5 |
100 |
90 |
120 |
135 |
1,25 |
0,9 |
1,125 |
108 |
150 |
II |
1,5 |
1,4 |
65 |
70 |
97,5 |
98 |
0,93 |
1,08 |
1,005 |
105 |
91 |
III |
0,8 |
1,2 |
50 |
58 |
40 |
69,6 |
1,5 |
1,16 |
1,74 |
46,4 |
60 |
|
|
|
|
259,4 |
301 |
||||||
|
257,5 |
302,6 |
|
|
Zespołowe indeksy dla wszystkich absolutnych:
Indeks wartości:
łączna wartość produkcji czajników w roku 1999 była o 17,5% wyższa od łącznej produkcji tych czajników w roku 1996.
Indeks cen:
Indeks Laspeyresa:
gdyby wielkość produkcji była cały czas na poziomie roku 1996 to ceny wszystkich typów czajników łącznie w roku 1999 byłyby o 0,74% wyższe w porównaniu z cenami z roku 1999;
gdyby wielkość produkcji była na poziomie 1996 roku to łączna wartość produkcji w roku 1999 byłaby o 0,74% wyższa od łącznej wartości produkcji w roku 1996 tylko na skutek zmiany cen.
Indeks Paaschego:
gdyby wielkość produkcji była cały czas na poziomie roku 1999 to ceny wszystkich typów czajników łącznie w roku 1999 byłyby o 0,53% wyższe niż w roku 1996;
gdyby wielkość produkcji była na poziomie roku 1999 to łączna wartość produkcji w roku 1999 byłaby o 0,53% wyższa od łącznej wartości produkcji w roku 1996 tylko na skutek zmiany cen.
Indeks ilości
Indeks Laspeyresa
gdyby ceny wszystkich czajników cały czas były na poziomie roku 1996 to ilościowo produkcja w roku 1999 byłaby o 16,9% wyższa niż w roku 1996;
gdyby ceny wszystkich typów czajników cały czas były na poziomie roku 1996 to łączna wartość produkcji w roku 1999 byłaby o 16,9% wyższa od łącznej wartości produkcji z roku 1996 tylko na skutek zmian ilościowych w produkcji.
Indeks Paaschego:
gdyby ceny wszystkich typów czajników byłby cały czas na poziomie roku 1999 to ilościowo produkcja w roku 1999 byłaby o 16,65% wyższa od łącznej produkcji w roku 1996;
gdyby ceny wszystkich typów czajników byłyby cały czas na poziomie roku 1999 to łączna wartość produkcji w roku 1999 byłaby wyższa o 16,65% od łącznej wartości produkcji w roku 1996 tylko na skutek zmian ilościowych produkcji.
Statystyka [25 stron]
17