VII

1,Wiadomo, że 96% produkcji jest zgodne z normą. Uproszczony schemat kontroli przepuszcza
przedmioty dobre z prawdopodobieństwem 0.98, a przedmioty wadliwe z
prawdopodobieństwem 0.05. Obliczyć prawdopodobieństwo, że przedmiot, który uproszczona
kontrola przepuściła jest zgodny z normą.

- produkt zgodny z normą

- produkt niezgodny z normą
A - produkt został przepuszczony

2,Do eliminacji sportowych wybrano z pierwszego klubu 4 zawodników, z drugiego - 6, a z
trzeciego - 5 zawodników. Prawdopodobieństwo, że zawodnik z pierwszego klubu dostanie się
do drużyny reprezentacyjnej jest 0.9, z drugiego 0.7, a z trzeciego 0.8. Losowo wybrany
zawodnik w wyniku eliminacji dostał się do drużyny reprezentacyjnej. Z którego klubu
najprawdopodobniej jest ten zawodnik?

- zawodnik jest z pierwszego klubu

- zawodnik jest z drugiego klubu

- zawodnik jest z trzeciego klubu
A - zawodnik dostał się do drużyny

IV

1,Dany jest przedział [0; 1]. Wybieramy z tego przedziału w sposób

losowy punkt x. Zakładamy, ze prawdopodobienstwa wylosowania

dowolnego punktu sa równe. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze

x należy do [0; 1/3]?

Rozwiazanie:

omega = [0; 1],

A = [0; 1/3

P(A) = P(należy do [0; 1/3]) =długosc(A)/długosc(omega)=(1/3)/1=1/3

2,Z odcinka OA o długości l wylosowano niezależnie dwa punkty B i C. Znaleźć prawdopodobieństwo
tego, że długość odcinka BC będzie mniejsza od długości odcinka OB.

Bez straty ogólności możemy ograniczyć się do odcinka
. Oznaczmy:




Z warunków zadania mamy








co daje odpowiedź

VIII

1,Rzucamy 4 razy monetą. Niech A oznacza zdarzenie polegające na wyrzuceniu orła co najmniej 3 razy. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A'.

Co najmniej 3 razy, czyli A=(3 + 4) razy,co daje

2, Rzucamy 6 razy symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zajścia:
a) zdarzenia A - otrzymano jedną szóstkę,
b) zdarzenia B - otrzymano najwyżej dwie szóstki,
c) zdarzenia C - otrzymano co najmniej jedną szóstkę.

a)

b)
, gdzie
- otrzymano 0, 1, 2 szóstki. Zdarzenia te są rozłączne. Stąd dalej wynika, że








c) Zdarzeniem przeciwnym do C jest C' - nie wypadła ani jedna szóstka. Stąd
 

3, Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A - trzeci orzeł wypadł w 10-tym rzucie.
Bezpośrednio nie można zastosować wzoru na
. Jak realizuje się zdarzenie A?

, gdzie
B - wypadły 2 orły w 9-ciu rzutach, 
C - w dziesiątym rzucie wypadł orzeł, 




Zdarzenia B i C są niezależne, więc

++++++

Zad_1 Poziom rozszerzony, 4pkt

Dane są zdarzenia

takie, że


Zbadaj czy zdarzenia A i B są niezależne.

Rozwiązanie.

Przypomnij sobie, że zdarzenia A i B są niezależne, gdy
policzymy ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, a
 ze wzoru na
.
Ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego obliczam
                          

Ze zworu na sumę zdarzeń obliczam
 

Dalej 

Zdarzania A i B są niezależn, gdyż

Zad_2 Poziom podstawowy, 5pkt

Dane są zdarzenia

Liczby
są w podanej kolejności pierwszym, trzecim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Wiedząc, że
i
oblicz
  

Rozwiązanie.

Przypomnij sobie wzór
oraz, że
 Zbiór
i z pkt V wiadomo, że

są pierwszym, trzecim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego, oznaczam je więc
i wyrażam przez wyraz pierwszy ciągu i jego różnicę
 



 (1 pkt.)



Wiadomo, że:



  (1 pkt.)
Po przestawieniu danych i wyrażeń na
mam układ równań na
i

Dalej

Stąd
czyli (1 pkt.)
      

              
 (1 pkt.)

Ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń

Ze wzoru na prawopodobieństwo zdarzenia przeciwnego

Ostatecznie
(1 pkt.)
Zadanie takie nie powinno być proponowane na poziomie podstawowym - jest trudne nawet na poziomie rozszerzonym.

V

1. Losujemy jedną kartę z talii 52 kart. Rozważmy zdarzenia:
   A - wylosowano asa
   B - wylosowano pika
   Zapisz podane poniżej zdarzenie za pomocą zdarzeń A, B oraz znaków działań na zbiorach, a następnie oblicz jego prawdopodobieństwo.
   a). wylosowaną kartą będzie as lub pik
   b). wylosowaną kartą będzie as pik
   c). wylosowaną kartą nie będzie as ani pik
   

a)


b)


c)

2,
Zdarzenia A, B
Ω są jednakowo prawdopodobne, a ponadto P(A
B) = 0,6
i P(A
B) = 0. Oblicz P(A) i P(B').

Z treści zadania:


Ponadto:


Zgodnie z warunkami zadania powyższe równanie wygląda tak:

3,Zdarzenia A,B,C,D
Ω parami wyłączają się oraz A
B
C
D = Ω, a ponadto P(A) = 3P(B) = 4P(C) = 5P(D). Wyznacz: P(A), P(B), P(C), P(D).

Jeżeli zdarzenia są parami wyłączające się oraz w sumie tworzą całą przestrzeń zdarzeń elementarnych to mamy, że:

4,

Niech





jak obliczyć

i

Wszyscy znamy wzór

stąd




- można zobaczyć na rysunku, skąd to się wzięło




Na koniec krótkie sprawdzenie, czy dobrze wyliczyliśmy te prawdopodobieństwa


czyli powinno być dobrze

---