Definicja niwelacji

Niwelacja ma za zadanie określenie wysokości punktów terenu nad umownym poziomem odniesienia na podstawie ustalenia różnic wysokości poszczególnych punktów.

Umownym poziomem odniesienia dla Polski jest średni poziom Morza Bałtyckiego w Kronsztadzie (Zatoka Fińska). Rozróżniamy wysokości bezwzględne (odległości pionowe punktów od powierzchni umownego poziomu odniesienia) i wysokości względne (np. dla Warszawy liczone względem średniego poziomu Wisły). Wysokości punktów nad pewnym poziomem odniesienia nazywamy wy­sokościami, rzędnymi lub kotami.

Dla naszych celów bierzemy pod uwagę dwie metody tzw. niwelacji geometrycznej: niwelację w przód i niwelację ze środka.

Niwelacja w przód. Na punkcie „wstecz" A (o znanej wysokości) ustawiamy niwelator (rys. n1) dający poziomą linię celową, na punkcie zaś „w przód" B, którego wysokość określamy, ustawiamy pionowo łatę niwelacyjną, na której wykonujemy odczyt p poziomą kreską krzyża w lunecie. Wysokość instrumentu „i", tj. wysokość linii celowania nad punktem A, mierzymy ruletką lub łatą. Różnica wysokości punktów B i A jest równa

tj. różnica wysokości dwóch punktów równa się wysokości instru­mentu minus odczyt na łacie „w przód", przy czym

tj. przy wzniesieniu terenu

tj. przy spadku terenu.

Rys. n1.

W niwelacji w przód wysokość punktu B określa zależność

Niwelacja ze środka. Między punktami „wstecz" A i „w przód" B, w przybliżeniu pośrodku, ustawiamy niwelator (rys. n2), dają­cy poziomą linię celową. Na punktach A i B ustawiamy pionowo łaty niwelacyjne, na których wykonujemy poziomą kreską krzyża w lu­necie odczyty „wstecz" w i „w przód" p.

Rys. n2

Różnica wysokości punktów B i A równa się

t j. różnicy odczytów na łatach: „wstecz" i „w przód".

W niwelacji „ze środka" wysokość punktu B określa wzór:

Zadanie. Obliczyć wysokość punktu węzłowego
mając dane: wysokość punktu głównego H = 94,00 m, różnice wysokości między punk­tem głównym G₁ a węzłowym W₅, otrzymane z niwelacji podłużnej trzech­ różnych ciągów, oraz długości tych ciągów.

Dane:

Nr ciągu	Długość ciągu L w m	Prakt. [ ]
I	850	-2,275
II	433	-2,265
III	708	-2,263

Rozwiązanie. Na przykładzie zamieszczonej na powyższym rysunku sieci niwelacyjnej.

1) Obliczamy sumy różnic wysokości w ciągach otwar­tych I, II, III, przez zsumowanie pomierzonych różnic wysokości między poszczególnymi punktami.

2) Wychodząc każdorazowo z punktu głównego G₁ - idąc wzdłuż ciągów I, II, III, obliczamy trzykrotnie nieznacznie różniące się wysokości punk­tu węzłowego



. Najprawdopodobniejszą wysokość punktu węzłowego
wyznaczamy jako ogólną średnią arytmetyczną z tych trzech wysokości:

Obliczenie wysokości punktów węzłowych (punkt główny
).

	L	pi =1000/L	[ΔH]	Hi	δi = Hi-H0	piδi	vi = HW-Hi	pivi
I	850	1,2	-2,275	91,725	+0,005	+0,0060	+0,008	+0,0096
II	433	2,3	-2,265	91,735	+0,015	+0,0345	-0,002	-0,0096
III	708	1,4 [p] = 4,9	-2,263 H0 HW5	91,737 91,720 +0,013 91,733	+0,017	+0,0238	-0,004	-0,0096
					[pδ]= + 0,0643		Kontrola [pv]= - 0,0006

L - długości ciągów.

- wagi.

ΔH - pomierzone różnice wysokości.

Błędy niwelacji

Obliczenie rzędnych należy poprzedzić wyrównaniem niwelacji. Wyrównanie niwelacji przeprowadzamy dla punktów wiążących. Niwelacja, podobnie jak każda czynność pomiarowa, Jest obarczona nieuniknionymi błędami. Mogą to być błędy systematyczne lub przypadkowe:

1) Błędy systematyczne wynikają z wpływu:

a) kulistości Ziemi,

b) refrakcji pionowej,

c) nierównoległości (szczątkowej) osi celowej do osi libelli,

d) odchylenia łaty od pionu,

e) osiadania instrumentu i łat,

f) błędnej jednostki długości wniesionej na łatą,

g) błędnego miejsca zera pary łat.

Wpływ błędów a, b i c usuwamy lub zmniejszamy, stosując niwelację ze środka. W celu zmniejszenia wpływu odchylenia łaty od pionu wahamy łatami w czasie dokonywania odczytów lub ustawiamy łaty w pionie za pomocą libelli pudełkowej. Dla zmniejszenia wpływu osiadania instrumentu i łat stosujemy tzw. obserwacje symetryczne. Wreszcie sprawdzenie podziału łat za pomocą liniału kontrolnego oraz specjalny system obsługi stanowisk łat (ta sama łata ustawiona na punkcie lub „żabce" jest najpierw łatą „w przód" a potem łatą „wstecz") zmniejsza lub usuwa wpływ błędów.

Błędy przypadkowe to:

a) błąd odczytu z łaty,

b) błąd poziomowania osi celowej (niwelacja ze środka nie eliminuje wpływu tego błędu!),

c) błąd podziału łaty.

Błędy przypadkowe mają główny wpływ na wyniki niwelacji.

Oznaczając przez m błąd średni pojedynczej obserwacji (błąd średni odczytu na łacie), otrzymamy błąd średni różnicy wysokości:

.

Błąd średni średniej z dwóch pomiarów różnicy wysokości (mamy dwie róznice):

.

Jeśli w niwelowanym ciągu mamy n stanowisk, to błąd średni całej niwelacji:

Jako odchyłkę dopuszczalną niwelacji przyjmujemy błąd graniczny:

.

Przyjmując błąd średni odczytu na łacie m ± 1 mm, otrzymamy:

.

Zadanie

Znając dane wyjściowe i pomierzone elementy obliczyć:

Średni błąd współrzędnej punktu X₃ =? ,

Średni błąd współrzędnej punktu Y₃ = ? ,

mając dane następujące wyniki pomiarów:

A_1-4 = 0°00′00″ ± 16 ″; α = 90°00′00″ ± 9 ″; β = 180°00′00″± 8″;

d_1-2 = d_2-3 = 300 ± 0,05 [m]; X₁ = 0,00; Y₁ = 0,00.

Wzór ogólny dla sieci poligonowej

Stąd stosując prawo przenoszenia się błędów średnich otrzymamy:

,
,

W naszym przypadku mamy dwa segmenty tzn.
,
,

Z warunków zadania wynika, że punkt X₁ = 0,00; Y₁ = 0,00 jest początkiem układu współrzędnych i jest wyznaczony dokładnie.

;

;
;
.

Z powyższych zależności wynika, że trzeba wyznaczyć wartości

.

Stąd:

;

Jeśli
to powyższe pochodne będą miały inne wartości. Przypomnieć sobie wartości funkcji trygonometrycznych dla podstawowych kątów.

,

Obecność tego przelicznika
wynika konieczności przeliczenia z miary stopniowej na radiany.

Taki wynik uzyskano dla przypadku
, ciąg (sieć) poligonowy położony jest wzdłuż osi y geodezyjnego układu współrzędnych.

Zadanie

Znając dane wyjściowe i pomierzone elementy:

obliczyć poprawną wysokość punktu węzłowego,

obliczyć wszystkie możliwe błędy?

.

Wysokość punktu	Średnie przewyższenie	Ilość stanowisk	Różnica (tam-powrót)
H1 = 10,000 [m]	h1 = 10,015 [m]	n1 = 4	d1 = + 8 [mm]
H2 = 30,000	h2 = 10,025	n2 = 6	d2 = + 9 [mm]
H3 = 40,000	h3 = 10,060	n3 = 6	d3 = - 12 [mm]

Powinno być

;
,

;
,

;
,

m - błąd średni pojedynczej obserwacji.

Zauważmy, że informacje trzeciego wiersza tabeli są błędne. Na podstawie danych wierszy 1 i 2 widać, że
a dla wiersza trzeciego jest
. Jeśli szkic wykonano poprawnie to błędnie przepisano wartość wysokości
. Powinno być prawdopodobnie
. Jeśli nie mamy możliwości sprawdzenia tego faktu trzeci wiersz trzeba odrzucić i wartość średnią wyznaczyć na podstawie informacji wierszy 1 i 2

Błędy.

Jeśli wyznaczymy wartość
to możemy obliczyć błędy pozorne
.

Następnie błąd średni jednostkowy:

Potem błąd średni wartości wyrównanej
.

Podajemy wynik obliczeń:
.

Różnice (tam-powrót)
mogą być traktowane jako błędy prawdziwe. Wyznaczamy błąd systematyczny:
, przeprowadzamy korekcję i wyznaczamy błąd jednostkowy
,
jednego kilometra niwelacji, błąd jednego stanowiska itp.

Zadanie nr 3

Znając dane wyjściowe i pomierzone kąty z błędem średnim pojedynczego pomiaru

m_α =± 12”

Obliczyć długość b,

Obliczyć błąd średni długości b,

Rozwiązanie

;

Ponieważ:

i
,
i
,

;

,
,

(są to błędy średnie średnich arytmetycznych)

Błędy trzeba wyrazić w mierze łukowej tj. radianach. Ponieważ mamy do czynienia z sekundami to

W innych zestawach należy wyznaczyć azymut odcinka CA lub CB, długość boku a lub pole trójkąta ABC.

Aby wyznaczyć azymuty należy wyznaczyć współrzędne punktu C. Zastosować w tym celu np. zależności na wcięcie w przód. Wykorzystać odpowiednie formy obliczeniowe. Na podstawie znanych współrzędnych punktów zapisać wzór dla azymutu. Wzór ten stanowi podstawę do wyznaczenia błędu średniego.

Pole wyznaczamy z zależności
lub
, a bok b lub a tak jak powyżej z twierdzenia sinusów.
.

Przykładowo
Jeśli przyjmiemy, że współrzędne punktu A są dokładne, to widzimy, że pole S jest funkcją 5 zmiennych
. Teraz, aby obliczyć błąd średni trzeba wyznaczyć pochodne cząstkowe tej funkcji S i skorzystać z prawa przenoszenia się błędów.

4

G

W₅

A

C

B

c

b

a

α_śr = 90°00'09”, n = 3

β _śr = 30°00'06”, n = 4

γ _śr = 60°00'08”, n = 5

(X_A = 0,00; Y_A = 0,00)

(X_B = 0,01 ± 0,01 [m], Y_B = 500,05 ± 0,05 [m])

1

W

c

b

4

2

3

---