Model ekonometryczny

:

Model ma na celu wyjaśnienie kształtowania się wielkości emisji dwutlenku siarki w Europie (przedstawionego w setkach ton rocznie) w zależności od wielkości emisji trafiającej do Polski (przedstawionego w setkach ton rocznie).

Do tego celu posłużę się Testem mnożnika Lagrange'a, który rozstrzyga o istnieniu bądź nieistnieniu autokorelacji I rzędu.

Dane do budowy modelu zaczerpnęłam z tablic geograficznych z roku 1998 , model jest oparty na 40 obserwacjach .

Działania wykonałam za pomocą programu Microsoft Excel

1. Szacuję model podstawowy: y=a+bx+ε

y - zmienna objaśniana - wielkość emisji dwutlenku siarki w Europie (przedstawionego w setkach ton rocznie)

x - zmienna objaśniająca- wielkości emisji trafiającej do Polski (przedstawiona w setkach ton rocznie)

a,b - parametry modelu

ε - składnik losowy

e - reszty modelu podstawowego(e=y- ŷ)

n - liczba obserwacji

n=40

Tabela 1. W tabeli umieszczam wartości zmiennych i działania z nimi związane, które potrzebne są do dalszych obliczeń.

t	y	x	y^2	x^2
1	2,0000	203,0000	4,0000	41209,0000
2	16,0000	253,0000	256,0000	64009,0000
3	12,0000	887,0000	144,0000	786769,0000
4	35,0000	982,0000	1225,0000	964324,0000
5	35,0000	1534,0000	1225,0000	2353156,0000
6	35,0000	4264,0000	1225,0000	18181696,0000
7	6,0000	188,0000	36,0000	35344,0000
8	578,0000	4113,0000	334084,0000	16916769,0000
9	20,0000	548,0000	400,0000	300304,0000
10	4,0000	393,0000	16,0000	154449,0000
11	3,0000	321,0000	9,0000	103041,0000
12	27,0000	3313,0000	729,0000	10975969,0000
13	4,0000	1472,0000	16,0000	2166784,0000
14	3,0000	5850,0000	9,0000	34222500,0000
15	7,0000	492,0000	49,0000	242064,0000
16	1,0000	59,0000	1,0000	3481,0000
17	0,0000	602,0000	0,0000	362404,0000
18	48,0000	1317,0000	2304,0000	1734489,0000
19	26,0000	374,0000	676,0000	139876,0000
20	4,0000	133,0000	16,0000	17689,0000
21	4,0000	281,0000	16,0000	78961,0000
22	4,0000	181,0000	16,0000	32761,0000
23	1132,0000	11188,0000	1281424,0000	125171344,0000
24	1,0000	124,0000	1,0000	15376,0000
25	3026,0000	8312,0000	9156676,0000	69089344,0000
26	0,0000	409,0000	0,0000	167281,0000
27	50,0000	8294,0000	2500,0000	68790436,0000
28	104,0000	2686,0000	10816,0000	7214596,0000
29	137,0000	821,0000	18769,0000	674041,0000
30	32,0000	521,0000	1024,0000	271441,0000
31	7,0000	313,0000	49,0000	97969,0000
32	2,0000	126,0000	4,0000	15876,0000
33	0,0000	1009,0000	0,0000	1018081,0000
34	131,0000	5364,0000	17161,0000	28772496,0000
35	261,0000	2350,0000	68121,0000	5522500,0000
36	38,0000	9057,0000	1444,0000	82029249,0000
37	43,0000	4234,0000	1849,0000	17926756,0000
38	13,0000	8019,0000	169,0000	64304361,0000
39	12,0000	239,0000	144,0000	57121,0000
40	18,0000	1602,0000	324,0000	2566404,0000
SUMA	5881,0000	92428,0000	10902931,0000	563582720,0000

Ciąg dalszy tabeli

t	xy	ŷ	e	e^2
1	406,0000	-32,8336	34,8336	1213,3809
2	4048,0000	-28,5669	44,5669	1986,2099
3	10644,0000	25,5349	-13,5349	183,1931
4	34370,0000	33,6416	1,3584	1,8452
5	53690,0000	80,7460	-45,7460	2092,6991
6	149240,0000	313,7080	-278,7080	77678,1702
7	1128,0000	-34,1136	40,1136	1609,1032
8	2377314,0000	300,8226	277,1774	76827,3149
9	10960,0000	-3,3934	23,3934	547,2495
10	1572,0000	-16,6201	20,6201	425,1904
11	963,0000	-22,7642	25,7642	663,7939
12	89451,0000	232,5553	-205,5553	42252,9968
13	5888,0000	75,4553	-71,4553	5105,8622
14	17550,0000	449,0479	-446,0479	198958,7036
15	3444,0000	-8,1721	15,1721	230,1918
16	59,0000	-45,1217	46,1217	2127,2134
17	0,0000	1,2147	-1,2147	1,4754
18	63216,0000	62,2285	-14,2285	202,4512
19	9724,0000	-18,2415	44,2415	1957,3096
20	532,0000	-38,8070	42,8070	1832,4395
21	1124,0000	-26,1776	30,1776	910,6852
22	724,0000	-34,7110	38,7110	1498,5390
23	12664816,0000	904,5611	227,4389	51728,4381
24	124,0000	-39,5750	40,5750	1646,3314
25	25152112,0000	659,1403	2366,8597	5602024,6031
26	0,0000	-15,2548	15,2548	232,7089
27	414700,0000	657,6043	-607,6043	369183,0300
28	279344,0000	179,0509	-75,0509	5632,6340
29	112477,0000	19,9028	117,0972	13711,7456
30	16672,0000	-5,6974	37,6974	1421,0927
31	2191,0000	-23,4469	30,4469	927,0119
32	252,0000	-39,4043	41,4043	1714,3195
33	0,0000	35,9456	-35,9456	1292,0892
34	702684,0000	407,5755	-276,5755	76494,0148
35	613350,0000	150,3786	110,6214	12237,0877
36	344166,0000	722,7142	-684,7142	468833,5789
37	182062,0000	311,1480	-268,1480	71903,3582
38	104247,0000	634,1375	-621,1375	385811,7537
39	2868,0000	-29,7616	41,7616	1744,0305
40	28836,0000	86,5487	-68,5487	4698,9305
SUMA	43456948,0000	5881,0000	0,0000	7489542,7765

• Ponieważ suma reszt równa się zero , to model jest zbudowany poprawnie

• Posługując się danymi z tabeli obliczam macierze potrzebne do oszacowania modelu:

• Wyznaczam macierz X^TX

• Wyznaczam macierz (X^TX) ^-1

• Wyznaczam macierz X^TY

• Wyznaczam parametry a i b modelu podstawowego

A-wektor parametrów modelu

a=-50,156434

b=0,08533407

Stosując metodę najmniejszych kwadratów do oszacowania parametrów otrzymałam następujący model ekonometryczny :

Model oszacowany : ŷ=a+bx+ε

ŷ=-50,156434+0,08533407x

Wniosek: Jeżeli emisja dwutlenku siarki w Europie wzrośnie o 100 ton rocznie to zanieczyszczenie dwutlenkiem siarki w Polsce wzrośnie o 0,08533407 setek ton (przy innych niezmiennych czynnikach).

2. Szacuję model pomocniczy: e_t=a₁+b₁x+c₁e_t-1+η_t

e_t - zmienna objaśniana ( wartości reszt modelu podstawowego bez jednej obserwacji)

x, e_t-1- zmienne objaśniające

a₁, b₁, c₁ - parametry modelu pomocniczego

η_t- składnik losowy

r- reszty modelu pomocniczego(r = e_t - ê_t)

N- liczba obserwacji modelu pomocniczego

N=39

Tabela 2.1. W tabeli umieszczam wartości zmiennych, potrzebne do dalszych obliczeń

t	et	et-1	x	x^2	et-1x	et-1^2
1	44,5669	34,8336	253,0000	64009,0000	8812,9053	1213,3809
2	-13,5349	44,5669	887,0000	786769,0000	39530,8530	1986,2099
3	1,3584	-13,5349	982,0000	964324,0000	-13291,2576	183,1931
4	-45,7460	1,3584	1534,0000	2353156,0000	2083,7516	1,8452
5	-278,7080	-45,7460	4264,0000	18181696,0000	-195061,0651	2092,6991
6	40,1136	-278,7080	188,0000	35344,0000	-52397,1111	77678,1702
7	277,1774	40,1136	4113,0000	16916769,0000	164987,3554	1609,1032
8	23,3934	277,1774	548,0000	300304,0000	151893,2190	76827,3149
9	20,6201	23,3934	393,0000	154449,0000	9193,5920	547,2495
10	25,7642	20,6201	321,0000	103041,0000	6619,0664	425,1904
11	-205,5553	25,7642	3313,0000	10975969,0000	85356,7868	663,7939
12	-71,4553	-205,5553	1472,0000	2166784,0000	-302577,4570	42252,9968
13	-446,0479	-71,4553	5850,0000	34222500,0000	-418013,5992	5105,8622
14	15,1721	-446,0479	492,0000	242064,0000	-219455,5527	198958,7036
15	46,1217	15,1721	59,0000	3481,0000	895,1522	230,1918
16	-1,2147	46,1217	602,0000	362404,0000	27765,2777	2127,2134
17	-14,2285	-1,2147	1317,0000	1734489,0000	-1599,7281	1,4754
18	44,2415	-14,2285	374,0000	139876,0000	-5321,4722	202,4512
19	42,8070	44,2415	133,0000	17689,0000	5884,1184	1957,3096
20	30,1776	42,8070	281,0000	78961,0000	12028,7677	1832,4395
21	38,7110	30,1776	181,0000	32761,0000	5462,1384	910,6852
22	227,4389	38,7110	11188,0000	125171344,0000	433098,3025	1498,5390
23	40,5750	227,4389	124,0000	15376,0000	28202,4195	51728,4381
24	2366,8597	40,5750	8312,0000	69089344,0000	337259,4771	1646,3314
25	15,2548	2366,8597	409,0000	167281,0000	968045,5969	5602024,6031
26	-607,6043	15,2548	8294,0000	68790436,0000	126523,3074	232,7089
27	-75,0509	-607,6043	2686,0000	7214596,0000	-1632025,2483	369183,0300
28	117,0972	-75,0509	821,0000	674041,0000	-61616,7694	5632,6340
29	37,6974	117,0972	521,0000	271441,0000	61007,6219	13711,7456
30	30,4469	37,6974	313,0000	97969,0000	11799,2811	1421,0927
31	41,4043	30,4469	126,0000	15876,0000	3836,3056	927,0119
32	-35,9456	41,4043	1009,0000	1018081,0000	41776,9802	1714,3195
33	-276,5755	-35,9456	5364,0000	28772496,0000	-192812,4238	1292,0892
34	110,6214	-276,5755	2350,0000	5522500,0000	-649952,4572	76494,0148
35	-684,7142	110,6214	9057,0000	82029249,0000	1001897,7578	12237,0877
36	-268,1480	-684,7142	4234,0000	17926756,0000	-2899080,0563	468833,5789
37	-621,1375	-268,1480	8019,0000	64304361,0000	-2150278,9358	71903,3582
38	41,7616	-621,1375	239,0000	57121,0000	-148451,8548	385811,7537
39	-68,5487	41,7616	1602,0000	2566404,0000	66902,0693	1744,0305
SUMA	-34,8336	68,5487	92225,0000	563541511,0000	-5341072,8850	7484843,8461

Tabela 2.2. Ciąg dalszy obliczeń z tabeli 2.1

t	etx	et-1et	ê	r	r^2	et^2
1	11275,4293	1552,4269	-1,3893	45,9562	2111,9745	1986,2099
2	-12005,4435	-603,2081	0,0069	-13,5418	183,3813	183,1931
3	1333,9270	-18,3855	-3,5619	4,9203	24,2089	1,8452
4	-70174,4076	-62,1404	-1,9390	-43,8070	1919,0518	2092,6991
5	-1188411,0719	12749,7858	-1,5732	-277,1348	76803,6907	77678,1702
6	7541,3622	-11179,9908	-21,3578	61,4715	3778,7398	1609,1032
7	1140030,6748	11118,5916	3,6875	273,4899	74796,7151	76827,3149
8	12819,5634	6484,1119	14,3455	9,0479	81,8636	547,2495
9	8103,7168	482,3745	-1,9430	22,5631	509,0957	425,1904
10	8270,3074	531,2615	-2,2074	27,9716	782,4084	663,7939
11	-681004,8336	-5295,9683	1,7945	-207,3499	42993,9671	42252,9968
12	-105182,2253	14688,0216	-15,1402	-56,3151	3171,3899	5105,8622
13	-2609380,0476	31872,4916	-1,2557	-444,7922	197840,0863	198958,7036
14	7464,6593	-6767,4703	-31,5991	46,7712	2187,5443	230,1918
15	2721,1817	699,7621	-2,8748	48,9965	2400,6603	2127,2134
16	-731,2349	-56,0229	-0,2445	-0,9701	0,9412	1,4754
17	-18738,9811	17,2831	-2,3688	-11,8597	140,6524	202,4512
18	16546,3180	-629,4916	-4,3528	48,5943	2361,4041	1957,3096
19	5693,3314	1893,8457	-0,9400	43,7470	1913,7970	1832,4395
20	8479,8945	1291,8109	-0,8491	31,0267	962,6562	910,6852
21	7006,6851	1168,2026	-1,7731	40,4841	1638,9600	1498,5390
22	2544586,0422	8804,3785	12,2900	215,1489	46289,0312	51728,4381
23	5031,3012	9228,3341	10,6696	29,9054	894,3329	1646,3314
24	19673337,4114	96035,3523	8,8752	2357,9845	5560090,8718	5602024,6031
25	6239,2130	36105,9695	146,7281	-131,4733	17285,2264	232,7089
26	-5039470,3684	-9268,8824	7,2469	-614,8513	378042,0740	369183,0300
27	-201586,6535	45601,2378	-39,1517	-35,8991	1288,7478	5632,6340
28	96136,7708	-8788,2447	-7,6618	124,7589	15564,7891	13711,7456
29	19640,3369	4414,2567	4,1581	33,5393	1124,8844	1421,0927
30	9529,8704	1147,7674	-1,1339	31,5808	997,3479	927,0119
31	5216,9470	1260,6326	-1,8236	43,2279	1868,6537	1714,3195
32	-36269,1528	-1488,3056	-0,0438	-35,9019	1288,9433	1292,0892
33	-1483551,0556	9941,6844	0,3997	-276,9752	76715,2875	76494,0148
34	259960,2220	-30595,1625	-18,5666	129,1880	16689,5301	12237,0877
35	-6201456,7950	-75744,0271	14,2336	-698,9478	488528,0312	468833,5789
36	-1135338,6973	183604,7623	-42,1413	-226,0067	51079,0255	71903,3582
37	-4980901,3529	166556,7793	-11,0678	-610,0697	372185,0045	385811,7537
38	9981,0203	-25939,6891	-43,0163	84,7778	7187,2837	1744,0305
39	-109815,0897	-2862,7047	0,7074	-69,2561	4796,4081	4698,9305
SUMA	-7071,2244	467951,4307	-34,8336	0,0000	7458518,6616	7488329,3956

• Posługując się danymi z tabeli obliczam macierze potrzebne do oszacowania modelu pomocniczego:

• Wyznaczam macierz X^TX_*

• Wyznaczam macierz (X^TX)_* ^-1

• Wyznaczam macierz X^TY_*

• Wyznaczam parametry modelu pomocniczego

a₁= -3,9097

b₁= 0,0012

c₁= 0,0634

• Model pomocniczy oszacowany ê_t :

ê_t = -3,9097+0,0012x₁+0,0634e_t-1

• Obliczamy współczynnik determinacji R² :

Wniosek: Model w 0,398 % wyjaśnia zmienność zmiennej objaśnianej (czyli reszt nie opóźnionych) a w 99,602% nie wyjaśnia .

• Stawiamy hipotezy:

H₀: ρ₀= 0 brak autokorelacji I rzędu

H₁: ρ₀≠ 0 istnieje autokorelacja I rzędu

, gdzie liczba obserwacji wynosi: n=40

Jeżeli: (n-1)R² > χ² -wówczas odrzucamy hipotezę H₀ na rzecz hipotezy H₁

• Wartość krytyczną testu χ_*² odczytujemy z tablic rozkładu chi kwadrat(χ²) przy α=0,05 i 1 stopniu swobody

0,1511< 3,841

Wniosek: Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀ , brak autokorelacji I rzędu, model jest poprawny.

Praca pochodzi z serwisu www.e-sciagi.pl

---