POLITECHNIKA ZIELONOGÓRSKA

WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII SANITARNEJ

PRACOWNIA FIZYKI

FIZYKA

Sprawozdanie z ćwiczenia nr 3:

„Wyznaczanie prędkości dźwięku i średniej masy cząsteczkowej powietrza”

Maciej Lutowski, gr. 13

Rok akademicki 2000/01

Część I: Wiadomości teoretyczne

1. Równanie Clapeyron'a

Równanie gazu doskonałego, określające związek między jego temperaturą, ciśnieniem i objętością:

PV = nRT

Gdzie:

P- ciśnienie

V - objętość

n - liczba moli gazu

T - temperatura

R - stała gazowa (R = Nk, N - liczba Avogadra - liczba cząstek np. cząsteczek, atomów,

jonów, elektronów, w jednym molu dowolnej substancji:

N_A = 6,022137•10²³ mol^-1 ; k - stała Boltzmanna).

Z równania Clapeyron'a wynikają prawa Boyle'a, Gay-Lussaca, Charlesa. Równanie to opisuje również z dobrym przybliżeniem rozrzedzone gazy rzeczywiste.

2. Izoprzemiany gazu doskonałego

Gaz doskonały:

• objętość cząsteczek gazu jest o wiele mniejsza niż objętość zajmowana przez gaz,

• zasięg sił działających między dwoma cząstkami jest o wiele mniejszy niż średnia odległość międzycząsteczkowa.

Wyróżniamy następujące izoprzemiany gazu doskonałego:

1. przemiana izotermiczna - przemiana gazowa zachodząca przy stałej temperaturze (ciepło właściwe przemiany izotermicznej), gdzie gęstość gazu jest wprost proporcjonalna do ciśnienia. Opisuje ją równanie:

PV = constans

(gdzie: P - ciśnienie, V - objętość), opisuje ją prawo Boyle'a-Mariotte'a. Praca układu w trakcie przemiany izotermicznej równa jest zmianie energii swobodnej.

2. przemiana izobaryczna - przemiana gazowa zachodząca przy stałym ciśnieniu p (ciepło właściwe przemiany izobarycznej), gdzie objętość określonej ilości gazu jest wprost proporcjonalna do jego temperatury bezwzględnej. Opisuje ją równanie:

= constans

gdzie:

V - objętość

T - temperatura

Zależność ta nosi nazwę prawa Gay-Lussaca.

Praca L w przemianie izobarycznej wyraża się wzorem:

L=pΔV

gdzie ΔV równe jest zmianie objętości.

3. przemiana izochoryczna - przemiana gazowa zachodząca przy stałej objętości (ciepło właściwe przemiany izochorycznej), gdzie ciśnienie gazu doskonałego jest wprost proporcjonalne do temperatury. Opisuje ją równanie:

= const.

gdzie:

P - ciśnienie

T - temperatura

Zależność ta nosi nazwę prawa Charlesa.

Układ nie wykonuje pracy w przemianie izochorycznej.

3. Pierwsza zasada termodynamiki

Zmiana energii wewnętrznej układu równa jest różnicy ciepła

dostarczonego do układu i pracy wykonanej przez ten układ.

To jest po prostu inna wersja zasady zachowania energii, w której mamy rozdzieloną energię ciała na część makroskopową i mikroskopową. Makroskopowa to energia ruchu masy (energia mechaniczna). Mikroskopowa to "ukryta" energia cząstek (energia wewnętrzna).

Zasada ta, równoważna zasadzie zachowania energii, w zarysach sformułowana została w 1842 przez J.R. Mayera, uściślona zaś w 1847 przez H.L.F. de Helmholtza.

Gdy dwa układy (ciała) o różnych temperaturach zetkniemy ze sobą to ciepło ΔQ przepływa z ciała cieplejszego do chłodniejszego. Zgodnie z zasadą zachowania energii, ciepło pobrane przez układ musi być równe wzrostowi energii wewnętrznej układu plus pracy wykonanej przez układ nad otoczeniem zewnętrznym czyli

∆U = W + Q

gdzie:

∆U - zmiana energii wewnętrznej

W - praca wykonana nad ciałem

Q - ciepło doprowadzone

Zasada ta pracuje "w obie strony" tzn., gdy nad układem zostanie wykonana praca to układ może oddawać ciepło. To równanie bardzo często przybiera postać :

dU = dQ - dW

Praca

• W dynamice - skalarna wielkość fizyczna; za miarę pracy W stałej siły F przyjmujemy iloczyn wartości tej siły i wartości przesunięcia r:

Jednostką pracy w układzie SI jest 1 dżul [ 1 J].

• W termodynamice - wielkość fizyczna równa energii, jaką układ termodynamiczny oddaje otoczeniu zmieniając jednocześnie parametry opisujące jego stan. Maksymalną pracę wykona układ izolowany cieplnie w procesie izeontropowym. Jednostką pracy termodynamicznej jest dżul (dawniej kaloria).

Ciepło

Jedna (obok pracy termodynamicznej) z form przekazania energii układowi termodynamicznemu.

Ciepło właściwe

Ilość ciepła pobranego przez jednostkę masy danego układu, powodująca wzrost temperatury układu o jeden stopień Kelvina (1K). Ciepło właściwe definiujemy jako dQ/dT na gram lub mol substancji (ciepło wagowe lub molowe).

Ciepło molowe

Ilość ciepła wymieniana z otoczeniem przez 1 mol danej substancji, powodująca jednostkową zmianę temperatury. W przypadku gazów ciepło molowe przyjmuje odmienne wartości - podczas wymiany ciepła w warunkach stałego ciśnienia lub stałej objętości.

Dla gazu doskonałego różnica ta równa jest stałej gazowej R, natomiast dla substancji skondensowanych można ją pominąć.

Energia wewnętrzna

Jedna z funkcji termodynamicznych, równa całkowitej energii układu (zazwyczaj bez energii kinetycznej i potencjalnej układu jako całości). Jej zmiany określa pierwsza zasada termodynamiki Energia wewnętrzna dla procesów izoentropowych i izochorycznych jest potencjałem termodynamicznym.

4. Adiabatyczna przemiana gazu i równanie Poissone'a

Przemiana adiabatyczna - proces termodynamiczny, podczas którego układ nie oddaje i nie pobiera ciepła. Proces adiabatyczny realizuje się przez izolowanie cieplne układu, bądź też przeprowadzając go bardzo szybko (np. rozprężanie gazów w silniku o wewnętrznym spalaniu). Jeśli w procesie adiabatycznym układ wykonuje pracę, to odbywa się to kosztem energii wewnętrznej układu, zatem temperatura jego obniża się.

Gdyby w adiabatycznym cylindrze umieścić gaz o masie m, i na tłok wykonany z materiału (również nieprzenikliwego dla ciepła) wywrzeć ciśnienie p, wówczas zostanie wykonana praca:

∆W = -pdV

∆Q = 0

dV=mC_vdT

Zatem z równania wyrażającego I zasadę termodynamiki otrzymamy:

pdV = mC_vdT

z równania Clapeyrona możemy określić p

p = (
)·m·(
)

i podstawić do równania :

− pdV = mC_vdT

w rezultacie czego otrzymamy

(-
)·m·(
) = mC_vdT

Wiedząc, że
=
_, możemy podstawić tę wartość do powyższego równania i podzieleniu przez T otrzymamy:

-m(C_p - C_v)
= mC_v·(
)

Po skróceniu przez m., podzieleniu przez C_v i uporządkowaniu równanie przyjmuje postać:

(C_p /C_v - 1)
+
= 0

Stosunek
oznaczmy literą И :

(И - 1)
+
= 0

Całkując to równanie otrzymamy:

(И - 1)1nV = 1nT = constans

Stosując znane twierdzenie matematyki elementarnej {(И - 1)nV = nV^И-1} o sumie logarytmów możemy to zapisać jako logarytm iloczynu:

1n(V^И-1T) = constans

Jeżeli logarytm danej wielkości jest stały, znaczy to, iż suma tejże wielkości również jest stała, zatem ostatecznie można zapisać, że:

V^И-1T = constans

Jest to tzw. równanie Poissone'a. Mówi ono, że gdy zmniejszymy adiabatycznie objętość gazu, to jego temperatura będzie się podnosić, a przy adiabatycznym powiększeniu objętości gazu jego temperatura będzie opadała.

Ciepło właściwe gazów można wyliczyć na podstawie znajomości równania stanu gazów. Ciepła właściwe gazów przy przemianie izochorycznej C_p i przy przemianie izobarycznej C_v zdefiniowane są równaniami:

Q = C_v·m(T-T_ο) dla v=constans

Q = C_p·m(T-T_ο) dla p=constans

Q jest to ilość ciepła wymieniana przez układ przy przechodzeniu od temperatury T_ο do

temperatury T.

Zamiast ciepła właściwego na jednostkę masy, można wyliczyć ciepła właściwe C_v i C_p jednego kilomola gazu (C_v = C_vM, C_p = C_pM, gdzie M jest masą jednego kilomola)

W przemianie izochorycznej, dostarczone układowi ciepło Q, jest równe przyrostowi energii wewnętrznej tego układu.

∆U = Q

Z kolei w przemianie izobarycznej wykonana jest jednocześnie praca (L = p∆V), a więc,

∆U = Q - L = Q - nR·∆T

Energia wewnętrzna jednego kilomola gazu doskonałego równa jest iloczynowi średniej energii kinetycznej cząsteczek Ē_kin i liczby Avogadra (N)

U = Ē·N = ³/₂R·T

Energia ta, dla gazu doskonałego, zależy tylko od temperatury. Dla jednego kilomola gazu w przemianie izochorycznej mamy więc:

³/₂R(T-T_ο) = C_v(T-T_ο)

W przemianie izobarycznej natomiast:

³/₂R (T-T_ο) = C_p(T-T_ο) - R(T-T_ο)

W rezultacie otrzymujemy:

C_v =³/₂R

C_p = ⁵/₂R

więc:

C_p - C_v = R

Różnica między ciepłem właściwym C_p i C_v kilomola gazu doskonałego, równa jest stałej gazowej R (w układzie SI). Wniosek ten jest zgodny z doświadczeniem dla wszystkich gazów w zakresie ciśnień i temperatur, w którym spełniają one równanie gazu doskonałego.

5. Metoda pomiaru
   = κ.

W celu pomiaru stosunku ciepła właściwego do ciepła molowego gazu należy wykonać następujące czynności:

1. Przy użyciu pompy uzyskać w balonie z powietrzem nadwyżkę ciśnienia wynoszącą 8 - 10 cm słupa cieczy w manometrze, po czym zamknąć kran łączący balon z pompą i wyłączyć pompę.

2. Po ustaleniu poziomu cieczy w manometrze odczytać nadwyżkę ciśnienia h w balonie.

3. Rozprężyć adiabatycznie powietrze w balonie, otwierając kran łączący balon z otoczeniem, na czas 1-2 sekund. Po wyrównaniu się ciśnienia powietrza w balonie z ciśnieniem atmosferycznym, należy natychmiast zamknąć kran.

4. Odczeka kilka minut, aż temperatura powietrza w balonie zrówna się z temperaturą otoczenia i poziom cieczy w manometrze ustali się, a następnie odczytać nadwyżkę ciśnienia h_1.

5. Powyższe czynności powtórzyć co najmniej 10 razy.

6. Uzyskane w ten sposób wyniki zapisać w tabelce.

Korzystając z danych z tabelki obliczyć
dla każdego pomiaru korzystając ze wzoru:

κ = h/(h - h₁)

a następnie obliczyć wartość średnią κ_śr.

Część II: Ćwiczenia praktyczne

Wykonaliśmy piętnaście pomiarów wysokości słupa cieczy. Po uzyskaniu nadwyżki ok. 8cm w manometrze (po ustaleniu się poziomu cieczy) oraz piętnnaście pomiarów wysokości słupa cieczy po rozprężeniu adiabatycznym powietrza w balonie. Wyniki pomiarowe zamieszczono w tabeli.

Obliczono wartość Cp/Cv dla każdego pomiaru przy pomocy wzoru :

Cp/Cv =

Wartości obliczone wpisano do tabeli, w odpowiednią rubrykę.

Stosunek ów musiał zawierać się w granicy 1,2 - 1,4, jako że mieliśmy do czynienia z mieszaniną gazów dwuatomowych.

Policzono także wartość średnią
, która równa się 1,28. Wykorzystując tą daną, dla każdego pomiaru policzono
, odejmując wartość średnią
od obliczonej. Wartość
podniesiono do kwadratu, celem uzyskania niezbędnych danych do wykreślenia krzywej Gaussa.

Uwagi

Metoda pomiarowa przyjęta do wykonania wykresów okazała się dość skomplikowana, choć z pozoru łatwa. Dość trudne z początku okazało się otrzymanie właściwego stosunku Cp/Cv, dopiero po kilku próbnych pomiarach ustalono odpowiednie czynności. Problem wiązał się z niedokładnością przy pomiarze wysokości słupa cieczy w manometrze, a także uzyskiwaniem niedostatecznej nadwyżki. Kolejnym problemem był czas, w jakim należało rozprężyć powietrze w balonie. Instrukcja podawała 1-2 sekund , przyjęto jednak czas minimalnie dłuższy. Dopiero wtedy uzyskiwano rzetelne wartości.

Wnioski

Zbadano zjawisko adiabatycznych przemian gazu w balonie.

Wykonano trzynaście pomiarów wysokości słupa cieczy przed i po otwarciu kranu.

Wyznaczono stosunek Cp/Cv metodą Clementa-Desormensa.

Wykreślono krzywą Gaussa, obrazującą błąd pomiaru.

Dane doświadczalne zaprezentowano w tabeli oraz na wykresie

L.p.	Wysokość słupa cieczy		= κ	ε=K-Kśr	ε^2
		h [mm]				h1 [mm]
1.	105	30	1,4	0,068492	0,004691
2.	112	26	1,302326	-0,02918	0,000852
3.	113	30	1,361446	0,029938	0,000896
4.	137	33	1,317308	-0,0142	0,000202
5.	125	28	1,28866	-0,04285	0,001836
6.	114	30	1,357143	0,025635	0,000657
7.	140	31	1,284404	-0,0471	0,002219
8.	129	33	1,34375	0,012242	0,00015
9.	135	34	1,336634	0,005126	0
10.	123	33	1,366667	0,035159	0,001236
11.	123	33	1,366667	0,035159	0,001236
12.	138	33	1,314286	-0,01722	0,000297
13.	143	33	1,3	-0,03151	0,000993
14.	128	32	1,333333	0,001825	0
15.	143	33	1,3	-0,03151	0,000993
		Kśr =	1,331508	∑ ε^2 =	0,016257

Błędy

Błąd pomiarowy obliczamy metodą Gaussa - wyznaczamy średni błąd pojedynczego pomiaru δ_x.

Krzywą Gaussa wykreślamy na podstawie wartości uzyskanych z poniższego wzoru:

y(ε1)	3,03
y(ε2)	3,57
y(ε3)	3,56
y(ε4)	3,67
y(ε5)	3,42
y(ε6)	3,60
y(ε7)	3,37
y(ε8)	3,68
y(ε9)	3,70
y(ε10)	3,51
y(ε11)	3,51
y(ε12)	3,66
y(ε13)	3,55
y(ε14)	3,70
y(ε15)	3,55

(wartości przybliżone)

---