dr Alicja Kulczycka

Literatura: Krysicki „Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka w zadaniach”

Plucińscy „Wstęp do probabilistyki”

A. Papoulis „Prawd.; Zmienne losowe; Procesy stoch.”

Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem praw rządzących zdarzeniami losowymi.

Zdarzenie losowe - zdarzenie, którego wyniku nie można w sposób jednoznaczny przewidzieć.

Zdarzenia losowe to najprostsze, nierozkładalne elementarne wyniki doświadczenia charakteryzujące się tym, że wynik doświadczenia może się zakończyć jednym i tylko jednym z nich.

- zbiór
,

- rodzina wszystkich podzbiorów zbioru X,

prawa de Morgana dla zbiorów

Rodzina zbiorów
jest rodziną przeliczalną jeżeli elementy tej rodziny można ustawić w ciąg różnowartościowy.

Zbiór A jest przeliczalny, tzn. zbiór A równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych (istnieje bijekcja zbioru A na N).

A - przeliczalny, to [moc]
[alef-zero]

, to A ma moc continum

Def: Niech
- dowolny zbiór,
- rodzina podzbiorów,

Mówimy, że S jest
-ciałem (
- algebrą) jeżeli:

1. ∅
   

2. 
   ,
   

3. 
   

Własności
-ciał:

1. 
   

2. 
   

3. 
   

Przykłady:

1.

∅

2.

Def: Niech
- dowolny zbiór.

Mówimy, że rodzina podzbiorów zbioru
(nie wszystkich) - B - generuje

-ciało S jeżeli jest to najmniejsze
-ciało zawierające rodzinę B.

Def: Rodziną zbiorów Borelowskich na prostej nazywamy
-ciało generowane przez przedziały postaci
. Oznaczamy B(R).

Zbiorami borelowskimi na prostej są: ∅,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
, zbiory przeliczalne oraz wszystkie zbiory będące wynikiem działań teoriomnogościowych na dowolnych przedziałach. Istnieją zbiory nieborelowskie!

B (
) - jest to
-ciało generowane przez przedziały postaci
.

B (
) - jest to
-ciało generowane przez przedziały postaci
.

Def:
, S -
-ciało na

(
)

jest miarą na S jeżeli spełnione są następujące aksjomaty:

1. 
   ∅
   

2. 
   

Argumentami dla
są zbory z
-ciała.

nazywamy przestrzenią z miarą

Jeżeli dodatkowo

3. 
   

to
jest miarą zupełną.

Jeżeli

4. 
   

to
jest unormowana

Def: Niech
- zbiór zdarzeń elementarnych, S -
-ciało na

Jeżeli P jest miarą zupełna i unormowana, to P nazywamy prawdopodobieństwem, a
przestrzenią probabilistyczną.

Def: Jeżeli
jest przestrzenią probabilistyczną to wówczas elementy
-ciała S nazywamy zdarzeniami.

Uwaga: Jeżeli zbiór
jest zbiorem skończonym lub przeliczalnym, to
i dla takiego
-ciała zawsze można określić miarę P zupełną i unormowaną, czyli prawdopodobieństwo. Jeżeli zbiór
nie jest zbiorem przeliczalnym, to nie zawsze można określić miarę P zupełną i unormowaną na
.

Tw: Jeżeli
jest przestrzenią probabilistyczną, to

1. 
   

2. 
   

3. 
   

4. 
   

5. 
   

6. 
   

7. 
   ∅

ad 1.

∅

teza

ad 2.

∅

teza

ad 3. wynika z 2

ad 4.

∅

teza

ad 5.

∅

teza

ad 6. z zupełności P

dalej z 3
teza

ad 7. z 5

(1)

z założenia:
∅

(2)

z (1) i (2)

- sprzeczność

Uwagi:

∅

ale nie odwrotnie

Jeżeli
, to A - zdarzenie mało prawdopodobne

ale nie odwrotnie

Jeżeli
, to A - zdarzenie wysoce prawdopodobne

2

Luke Rachunek prawdopodobieństwa-wykład 19.2.2k+1