dr Alicja Kulczycka
Literatura: Krysicki „Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka w zadaniach”
Plucińscy „Wstęp do probabilistyki”
A. Papoulis „Prawd.; Zmienne losowe; Procesy stoch.”
Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem praw rządzących zdarzeniami losowymi.
Zdarzenie losowe - zdarzenie, którego wyniku nie można w sposób jednoznaczny przewidzieć.
Zdarzenia losowe to najprostsze, nierozkładalne elementarne wyniki doświadczenia charakteryzujące się tym, że wynik doświadczenia może się zakończyć jednym i tylko jednym z nich.
- zbiór
,
- rodzina wszystkich podzbiorów zbioru X,
prawa de Morgana dla zbiorów
Rodzina zbiorów
jest rodziną przeliczalną jeżeli elementy tej rodziny można ustawić w ciąg różnowartościowy.
Zbiór A jest przeliczalny, tzn. zbiór A równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych (istnieje bijekcja zbioru A na N).
A - przeliczalny, to [moc]
[alef-zero]
, to A ma moc continum
Def: Niech
- dowolny zbiór,
- rodzina podzbiorów,
Mówimy, że S jest
-ciałem (
- algebrą) jeżeli:
∅
,
Własności
-ciał:
Przykłady:
1.
∅
2.
Def: Niech
- dowolny zbiór.
Mówimy, że rodzina podzbiorów zbioru
(nie wszystkich) - B - generuje
-ciało S jeżeli jest to najmniejsze
-ciało zawierające rodzinę B.
Def: Rodziną zbiorów Borelowskich na prostej nazywamy
-ciało generowane przez przedziały postaci
. Oznaczamy B(R).
Zbiorami borelowskimi na prostej są: ∅,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
, zbiory przeliczalne oraz wszystkie zbiory będące wynikiem działań teoriomnogościowych na dowolnych przedziałach. Istnieją zbiory nieborelowskie!
B (
) - jest to
-ciało generowane przez przedziały postaci
.
B (
) - jest to
-ciało generowane przez przedziały postaci
.
Def:
, S -
-ciało na
(
)
jest miarą na S jeżeli spełnione są następujące aksjomaty:
∅
Argumentami dla
są zbory z
-ciała.
nazywamy przestrzenią z miarą
Jeżeli dodatkowo
to
jest miarą zupełną.
Jeżeli
to
jest unormowana
Def: Niech
- zbiór zdarzeń elementarnych, S -
-ciało na
Jeżeli P jest miarą zupełna i unormowana, to P nazywamy prawdopodobieństwem, a
przestrzenią probabilistyczną.
Def: Jeżeli
jest przestrzenią probabilistyczną to wówczas elementy
-ciała S nazywamy zdarzeniami.
Uwaga: Jeżeli zbiór
jest zbiorem skończonym lub przeliczalnym, to
i dla takiego
-ciała zawsze można określić miarę P zupełną i unormowaną, czyli prawdopodobieństwo. Jeżeli zbiór
nie jest zbiorem przeliczalnym, to nie zawsze można określić miarę P zupełną i unormowaną na
.
Tw: Jeżeli
jest przestrzenią probabilistyczną, to
∅
ad 1.
∅
teza
ad 2.
∅
teza
ad 3. wynika z 2
ad 4.
∅
teza
ad 5.
∅
teza
ad 6. z zupełności P
dalej z 3
teza
ad 7. z 5
(1)
z założenia:
∅
(2)
z (1) i (2)
- sprzeczność
Uwagi:
∅
ale nie odwrotnie
Jeżeli
, to A - zdarzenie mało prawdopodobne
ale nie odwrotnie
Jeżeli
, to A - zdarzenie wysoce prawdopodobne
2
Luke Rachunek prawdopodobieństwa-wykład 19.2.2k+1