RSTANU, politechnika infa 2 st, Modelowanie cyfrowe


Wyznaczanie równań stanu układu dynamicznego

Zadanie

Dany jest opis układu dynamicznego w postaci funkcji przejścia

0x01 graphic
,

lub równoważny opis w postaci równania różniczkowego

0x01 graphic
.

Poszukujemy opisu w postaci

0x01 graphic

gdzie: 0x01 graphic
.

Zaleta opisu za pomocą równań stanu: brak jawnej zależności od pochodnych sygnału wejściowego.

Metoda ogólna

Może być zastosowana gdy współczynniki 0x01 graphic
.

Jako zmienne stanu przyjmuje się

0x01 graphic

Otrzymujemy równania stanu

0x01 graphic

i równanie wyjścia

0x01 graphic

Uwaga. Metoda ogólna może być również stosowana do wyznaczania równań stanu układu nieliniowego opisanego równaniem różniczkowym

0x01 graphic
.

Metoda zmiennej pomocniczej

Wprowadzamy pomocniczą zmienną z tak jak ilustruje to poniższy rysunek

0x01 graphic

Na podstawie funkcji przejścia pierwszego elementu

0x01 graphic
,

korzystając z metody ogólnej, jako zmienne stanu przyjmuje się

0x01 graphic

Otrzymujemy równania stanu

0x01 graphic

Z opisu drugiego elementu

0x01 graphic

wyznaczamy równanie wyjścia

0x01 graphic

Korzystając z definicji zmiennych stanu oraz ostatniego równania stanu (0x01 graphic
) otrzymujemy

0x01 graphic

Wadą metody zmiennej pomocniczej jest to, że nie podaje ona wprost jawnej zależności łączącej zmienne stanu z sygnałami wejściowymi, wyjściowymi oraz ich pochodnymi. Zależność ta musi być wyznaczona dodatkowo.

Metoda kolejnych całkowań

Równanie różniczkowe układu

0x01 graphic
.

zapisujemy w postaci:

0x01 graphic
. (1)

Istota metody sprowadza się do całkowania równania (1) „na papierze”. Zauważmy, że

0x01 graphic

przy czy zależność ta obowiązuje tylko dla 0x01 graphic
.

Całkując to równanie (1) otrzymujemy

0x01 graphic
. (2)

gdzie zmienna 0x01 graphic
uwzględnia warunki początkowe oraz składniki, których nie da się wprost scałkować. Pochodna zmiennej 0x01 graphic
spełnia równanie różniczkowe

0x01 graphic

Całkując równanie (2) otrzymujemy

0x01 graphic
. (3)

gdzie

0x01 graphic

Dokonując l całkowań równania (1) otrzymujemy

0x01 graphic
. (4)

gdzie

0x01 graphic

Na podstawie równania (4) można również określić związek między zmienną stanu 0x01 graphic
a sygnałami wejściowym, wyjściowym oraz ich pochodnymi

0x01 graphic
. (5)

W wyniku n całkowań równania (1) otrzymujemy

0x01 graphic
(6)

oraz

0x01 graphic

Podsumowując, otrzymaliśmy równanie wyjścia oraz n równań różniczkowych pierwszego rzędu

0x01 graphic
(7)

Opis w postaci układu (7) nie jest opisem w postaci równania stanu ale w takiej formie przy zachowaniu kolejności stosowany jest w modelach cyfrowych. Żeby otrzymać opis w postaci równań stanu wystarczy w równaniach różniczkowych w miejsce zmiennej y podstawić prawą stronę równania wyjścia.

Zaletą metody jest jawna zależność zmiennych stanu od sygnałów: wejściowego, wyjściowego oraz ich pochodnych. Metoda kolejnych całkowań może być również w szczególnych przypadkach zastosowana do wyznaczania równań stanu układu nieliniowego.

Metoda mieszana

Metoda mieszana jest połączeniem metody kolejnych całkowań i metody ogólnej. Jeżeli w wyniku kolejnych całkowań otrzymamy równanie różniczkowe, w którym brak zależności od pochodnych sygnału wejściowego, to dla wyznaczenia równań stanu otrzymanego równania różniczkowego można zastosować metodę ogólną.

Przyjmując, że współczynniki wielomianu licznika funkcji przejścia spełniają warunki: 0x01 graphic
, to po m całkowaniach otrzymujemy równanie różniczkowe

0x01 graphic
. (1)

i układ równań

0x01 graphic
(2)

Zamiast dokonywać kolejnych całkowań równania (1) możemy zastosować metodę ogólną.

Metoda równoległa

Metodę równoległą możemy stosować, gdy znane są pierwiastki mianownika funkcji przejścia. Niech dana jest postać iloczynowa mianownika

0x01 graphic

Poszukujemy rozkładu funkcji przejścia

0x01 graphic

gdzie

0x01 graphic

Oznacza to, że funkcję przejścia układu można przedstawić jako równoległe połączenie bloków operacyjnych.

0x01 graphic

Dla każdej funkcji przejścia 0x01 graphic
wyznaczamy opis w postaci równań stanu. Podstawą do wyznaczania tych równań stanu może być następujący schemat blokowy.

0x01 graphic
Równania stanu i równanie wyjścia opisujące ten układ są następujące:

0x01 graphic

Drugi sposób wyznaczania równań stanu dla funkcji przejścia 0x01 graphic
można uzyskać z następującego schematu blokowego

0x01 graphic
Równania stanu i równanie wyjścia opisujące ten układ są następujące:

0x01 graphic

Metoda szeregowa

W metodzie szeregowej przedstawiamy funkcję przejścia jako szeregowe połączenie układów

0x01 graphic

i dla każdej funkcji przejścia 0x01 graphic
znajdujemy równania stanu. Narysowanie schematu blokowego dla szeregowego połączenia i oznaczenie na nim sygnałów wyjściowych każdego bloku jest pomocne przy wyznaczaniu równań stanu.

Przykład

Wyznaczyć równania stanu dla układu opisanego funkcją przejścia

0x01 graphic

Metod ogólna. Metody tej nie można zastosować bo w liczniku występuje składnik 2p.

Metoda zmiennej pomocniczej. Stosując tę metodę przedstawiamy układ w postaci

0x01 graphic

Na podstawie pierwszego elementu wyznaczamy równania stanu metodą ogólną a z drugiego elementu wyznaczamy równanie wyjścia. Równania te są postaci

0x01 graphic

Metoda kolejnych całkowań. Podstawą wyznaczania równań stany jest równanie różniczkowe układu

0x01 graphic

Całkując dwa razy to równanie otrzymujemy równanie wyjścia i równania stanu

0x01 graphic

Metoda mieszana. Wystarczy raz scałkować równanie rózniczkowe. Otrzymujemy równania stanu

0x01 graphic

Metoda równoległa. Wyznaczamy rozkład funkcji przejścia na składniki

0x01 graphic

Współczynniki rozkładu są równe: 0x01 graphic
.

Stosując pierwszy sposób przedstawiamy funkcję przejścia w postaci schematu blokowego.

0x01 graphic

Ze schematy otrzymujemy równania stanu i równanie wyjścia

0x01 graphic

Stosując drugi sposób przedstawiamy funkcję przejścia w postaci schematu blokowego.

0x01 graphic

Ze schematy oyrzymujemy równania stanu i równanie wyjścia

0x01 graphic

Metoda szeregowa. Przedstawiamy układ jako szeregowe połączenie bloków.

0x01 graphic

Stosując metodę kolejnych całkowań do bloku pierwszego i metodę ogólną do bloku drugiego otrzymujemy równania stanu

0x01 graphic

W opisie drugiego bloku przyjęto zmienną y jako zmienną stanu.

Wyznaczanie warunków początkowych zmiennych stanu

Dany jest opis modelu w postaci równań stanu

0x01 graphic
(1)

Pełny opis modelu wymaga również znajomości warunków początkowych zmiennych stanu. Zależność zmiennych stanu od zmiennych wejściowych, wyjściowych i ich pochodnych określona jest jawnie tylko w metodach: ogólnej, kolejnych całkowań i mieszanej. W pozostałych metodach zależność ta nie jest jawnie określona. Poniżej przedstawimy jak wyznaczyć zależność

0x01 graphic
(2)

Podstawą do wyznaczenia tej zależności jest układ równań utworzony przez równanie wyjścia i równania uzyskane w wyniku różniczkowania równania wyjścia, gdzie w miejsce pochodnych zmiennych stanu podstawiana jest prawa strona równania stanu.
0x01 graphic
(3)

Równanie (3) jest liniowo zależne od zmiennych stanu i można je zapisać następująco:

0x01 graphic
(4)

Poszukiwana zależność (2) może być wyznaczono jako rozwiązanie układu (4).

Wnioski:

  1. Dla zerowych warunków początkowych w układzie

0x01 graphic

z równania (4) wynikają również zerowe warunki początkowe zmiennych stanu 0x01 graphic
.

  1. Jednoznaczne rozwiązanie równania stanu istnieje gdy w układzie (4) macierz

0x01 graphic

posiada N liniowo niezależnych wierszy, gdzie N jest liczbą składowych wektora stanu.

Układy dynamiczne, dla których macierz H jest rzędu N nazywamy układami obserwowalnymi

Przy wyznaczaniu warunków początkowych wektora stanu za pomocą równania (2) należy uwzględnić to, że sygnał wejściowy może być nieciągły. Tak więc, jeżeli występują nieciągłości, to wszystkie elementy muszą być określone jako lewostronne 0x01 graphic
granice

0x01 graphic

lub prawostronne 0x01 graphic
granice

0x01 graphic

Całkując równanie stanu otrzymujemy

0x01 graphic

Wartość 0x01 graphic
możemy wyznaczyć z zależności

0x01 graphic

Jeżeli sygnał wejściowy nie zawiera impulsów Dirac'a, to granica z całki jest równa 0, a to oznacza, że wektor stanu jest ciągły

Wniosek

Zmienne stanu są ciągłe w punktach skokowych zmian sygnału wejściowego

0x01 graphic

Przykład. Wyznaczyć zależność określającą warunki początkowe zmiennych stanu dla układu opisanego równaniami stanu (patrz metoda równoległa, sposób pierwszy)

0x01 graphic

Podstawą do wyznaczenia zależności jest układ równań

0x01 graphic

Jako rozwiązanie otrzymujemy

0x01 graphic

Wyznaczanie wartości początkowych zmiennych wyjściowych

Potrzeba wyznaczania wartości początkowych zmiennych wyjściowych występuje przykładowo w programie PSMA. Tworząc model z wykorzystaniem bloków DCON i MCON, należy jako parametry tych bloków podać wartości początkowe sygnałów wyjściowych w chwili 0x01 graphic
. Korzystając z równania wyjścia mamy

0x01 graphic

Odejmując te równania i uwzględniając ciągłość zmiennych stanu, otrzymujemy

0x01 graphic
(1)

Podobne zależności można również wyznaczyć dla pochodnych sygnału wyjściowego

Przykład. Dany jest układ opisany schematem blokowym

0x01 graphic

Model układu ma być zbudowany za pomocą programu PSMA. W modelu tym element różniczkujący z inercją reprezentowany ma być przez blok DCON. Należy więc określić wartość 0x01 graphic
.

W tym celu należy wyznaczyć współczynnik D i wykorzystać odpowiednio zmodyfikowane równanie (1). Na podstawie schematu blokowego wyznaczamy funkcję przejścia

0x01 graphic

Współczynnik D jest niezależny od sposobu wyznaczania równań stanu. Można go wyznaczyć tak jak pokazano w metodzie równoległej.

0x01 graphic

Brakujący warunek początkowy może być wyznaczony ze wzoru

0x01 graphic

Przyjmując zerowe warunki początkowe w układzie mamy

0x01 graphic

Teoria sterowania i decyzji II

1/9



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Wykład VII, politechnika infa 2 st, Projektowanie Systemów Informatycznych
Wykład XI, politechnika infa 2 st, Projektowanie Systemów Informatycznych
Wykład VII, politechnika infa 2 st, Projektowanie Systemów Informatycznych
Wykład XII, politechnika infa 2 st, Projektowanie Systemów Informatycznych
WYKŁAD XIII, politechnika infa 2 st, Projektowanie Systemów Informatycznych
ExamZero, politechnika infa 2 st, Projektowanie Systemów Informatycznych
SPRAWKO W 3, politechnika infa 2 st, Mikroprocesory
SPRAWKO W 8, politechnika infa 2 st, Mikroprocesory
PSI - wszystkie wykłady, politechnika infa 2 st, Projektowanie Systemów Informatycznych
PSI - wszystkie wykłady2, politechnika infa 2 st, Projektowanie Systemów Informatycznych
PSI - wszystkie wykłady3, politechnika infa 2 st, Projektowanie Systemów Informatycznych
Wykład IX, politechnika infa 2 st, Projektowanie Systemów Informatycznych
02 PSI, politechnika infa 2 st, Projektowanie Systemów Informatycznych
Wykład VIII, politechnika infa 2 st, Projektowanie Systemów Informatycznych
04 Systemy ekspertowe, politechnika infa 2 st, Projektowanie Systemów Informatycznych
Wykład X, politechnika infa 2 st, Projektowanie Systemów Informatycznych
01 BD, politechnika infa 2 st, Projektowanie Systemów Informatycznych
Wykład VII, politechnika infa 2 st, Projektowanie Systemów Informatycznych
Przekazniki i styczniki, Nauki Ścisłe Politechnika, Elektronika Teoria, Technika Cyfrowa, Technika C

więcej podobnych podstron