1 TD Rzeszów 07.12.2009

Rok akademicki 2009/2010

Królikowski Mariusz

Gr. L5

Sprawozdanie z laboratorium

Fizyka

Ćwiczenie nr 21

Temat : Wyznaczanie pojemności kondensatora i stałej czasowej obwodu z krzywej rozładowanie kondensatora

Wstęp:

Kondensatory są to elementy elektryczne, których podstawowym parametrem użytkowym jest pojemność C wyrażana w faradach (F). Kondensator stanowi układ co najmniej dwóch elektrod wykonanych z materiału przewodzącego (metalu) odizolowanych od siebie dielektrykiem.

Pojemność elektryczna

Jeżeli dostarczymy ładunek Q odizolowanemu przewodnikowi, to wzrasta również jego potencjał elektryczny V, przy czym wzrost potencjału jest proporcjonalny do dostarczonego ładunku. Stosunek tego ładunku do potencjału przewodnika, nazywamy pojemnością elektryczną C, co wyrażamy wzorem:

Jednostką pojemności jest farad (F).
1 Farad to taka pojemność przewodnika, w którym dostarczenie ładunku 1 kulomba powoduje wzrost potencjału o 1 wolt.

Farad jest bardzo dużą pojemnością (Ziemia ma pojemność dużo mniejszą niż 1F), dlatego najczęściej używamy jednostek pojemności mniejszych:
1 mikrofarad (µF) = 10-6F
1 nanofarad (nF) = 10-9F
1 pikofarad (pF) = 10-12F = 10-6µF

Pojemność kondensatora określają przenikalność elektryczna, oraz rozmiary (grubość i powierzchnia) materiału dielektrycznego wypełniającego przestrzeń między elektrodami przewodzącymi. Na przykład w najprostszym przypadku, tj. kondensatora płaskiego pojemność C określa wzór

gdzie:
S - powierzchnia czynna okładek,
d - odległość między okładkami kondensatora,
ε₀ - przenikalność elektryczna próżni (stała),
ε_R - względna przenikalność elektryczna dielektryka wypełniającego przestrzeń między okładkami (liczba niemianowana).

Dla kondensatora próżniowego ε_R = 1.
Dielektryk (ε_R > 1) zwiększa pojemność kondensatora ε_R razy.

Pojemność kondensatora płaskiego możemy również obliczyć korzystając ze wzoru na pojemność elektryczną, przy czym potencjał elektryczny zastępujemy różnicą potencjałów, czyli napięciem:

Możemy wyróżnić następujące rodzaje kondensatorów:

-ceramiczne

-ferroelektryczne

-monolityczne

-mikowe

-zwijane

-papierowe

-styrofleksowe

-poliestrowe

Ładowanie kondensatora odbywa się przez dołączenie stałego źródła napięcia o sile elektromotorycznej ε do obwodu zawierającego szeregowo połączone: opornik o oporze R i kondensator o pojemności C. W dowolnym momencie procesu ładowania na okładkach znajduje się ładunek q, a w obwodzie płynie prąd o natężeniu I. Zgodnie z II prawem Kirchhoffa spadki potencjału na kondensatorze i na oporniku są kompensowane przez siłę elektromotoryczną źródła:

ε = IR +

Po uwzględnieniu zależności: I =
i zróżniczkowaniu otrzymujemy równanie:
+
I = 0, którego rozwiązanie ma postać: I = I
e
. W początkowej chwili ładowania t = 0 napięcie na kondensatorze U
= 0, a prąd wtedy wynosi: I
=
. Napięcie na kondensatorze w dowolnej chwili wynosi U
= ε - IR i zmienia się w czasie według równania: U
= ε ( 1 - e
). Natomiast ładunek zmienia się według zależności: q = q
( 1 - e
). Po dostatecznie długim czasie t

: U


, I
0, q
C
i uważamy, że kondensator jest naładowany.

Rozładowanie kondensatora odbywa się przez odłączenie źródła ε = 0, gdy okładki naładowanego kondensatora połączymy bezpośrednio opornikiem o oporze R. Wówczas przez opornik popłynie prąd w kierunku przeciwnym niż przy ładowaniu a II prawo Kirchhoffa w tej sytuacji przyjmuje postać:

0 = IR +

Uwzględniając I =
, wtedy powyższe równanie ma postać: R
+
= 0.

Rozwiązaniem tego równania jest funkcja: q = q
e
, gdzie q
=
C. Natężenie prądu podczas rozładowania kondensatora znajdujemy ze wzoru:

I =
= -
e
, natomiast napięcie na kondensatorze w dowolnej chwili procesu rozładowania opisuje funkcja: U
=
e
.

W chwili t = 0, ładunek na kondensatorze wynosi: q
=
C, a początkowa różnica potencjałów dla całkowicie naładowanego kondensatora wynosiła
. Po dostatecznie długim czasie t

: U

0, I
-
, q
0, uważamy wtedy, że kondensator jest rozładowany.

W równaniach opisujących ładowanie i rozładowanie kondensatora występująca wielkość RC ma wymiar czasu, nazywamy ją stałą czasową układu. Wielkość ta określa szybkość zarówno ładowania, jak i rozładowania kondensatora.

Stała czasowa obiektu - jest to powtarzający się (ustalony) czas trwania odpowiedzi obiektu na zakłócenie (czas, w którym wciąż zmienia się regulowany parametr).

Przez stałą czasowa τ rozumiemy czas, który jest potrzebny żeby ładunek osiągnął 63,2% (1- e-1) maksymalnego napięcia.

1. Metodologia wykonania pomiarów

1. Połączyć obwód według schematu: w zależności od położenia klucza K obwód służy do ładowania lub rozładowania kondensatora.

2. Naładować kondensator (przełącznik K w pozycji 1). Ustawić taką wartość oporu R, aby natężenie prądu osiągnęło maksymalną, możliwą do odczytu wartość przy pomocy zastosowanego amperomierza,
   dla
   .

3. Ustawić przełącznik K w pozycji 2 i jednocześnie włączyć sekundomierz. Zmierzyć czas, po którym natężenie prądu osiągnie wartości
   ,
   ,
   , ...,
   . Wartość
   ustalić z prowadzącym ćwiczenia.

U	R	I0	t	I	Q	C
[ V ]	[ kΩ ]	[ mA ]	[ s ]	[ mA ]	[ μC ]	[ μF ]	[ s ]
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6	40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40	150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150	1,45 3,11 4,91 6,31 9,69 10,86 13,06 15,96 19,06 22,62 27,63 33,38 41,96 56,61 93,33	140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 2	2922,5 2922,5 2922,5 2922,5 2922,5 2922,5 2922,5 2922,5 2922,5 2922,5 2922,5 2922,5 2922,5 2922,5 2922,5	487 487 487 487 487 487 487 487 487 487 487 487 487 487 487	19,48 19,48 19,48 19,48 19,48 19,48 19,48 19,48 19,48 19,48 19,48 19,48 19,48 19,48 19,48

I=f(t)

t(s)

ln I=f(t)

t(s)

III. Obliczenia:

Wyznaczamy pojemność kondensatora

Pojemność badanego kondensatora wynosi :

Stała czasowa obwodu = R C jest równa wartości bezwzględnej z odwrotności współczynnika nachylenia prostej

a - współczynnik nachylenia prostej obliczony metodą najmniejszych kwadratów :

możemy ją także obliczyć znając rezystancję R i pojemność C

,więc

Błędy mierników :

bezwzględny :

względny procentowy :

gdzie k - klasa dokładności miernika (w naszym przypadku 0,5)

ZP - zakres pomiarowy miernika (woltomierz 7,5 ; amperomierz 150)

XM - wartość mierzona

Błąd pomiaru napięcia:

Błąd pomiaru prądu :

Błąd bezwzględny pomiaru czasu określamy jako czas reakcji wykonującego pomiar

błąd względny :

Szacowanie błędu w obliczeniach ładunku :

Ładunek zgromadzony na okładkach kondensatora obliczamy jako sumę pól trapezów :

gdzie i = 1,2,..15 ( punkty pomiarowe ), więc całkowity ładunek obliczamy jako : ,

błąd bezwzględny :

ostatecznie :

błąd względny :

Błąd obliczeń pojemności :

bezwzględny :

ostatecznie

względny :

Q=2923±104 [μC]

C=487±21 [μF]

Wnioski:

Pojemność badanego kondensatora C = 487 20, 49stała czasowa = 19,48 s.

Stała czasowa obliczona ze wzoru
niewiele się różni od wyznaczonego metodą najmniejszych kwadratów co świadczy o dobrych obliczeniach pojemności.

Wyznaczanie pojemności w sposób przedstawiony w ćwiczeniu jest dość kłopotliwe, gdyż czasochłonne jest obliczanie ładunku zgromadzonego w kondensatorze jako pola pod krzywą rozładowania I = f(t). Jak widać na w obwodzie rozładowania kondensatora prąd maleje asymptotycznie do 0. Teoretycznie prąd nigdy nie osiągnie wartości 0 ( w nieskończoności ), w praktyce nastąpi to po kilku stałych czasowych.

---