TRANSFORMACJA LORENTZA

1887 r . doświadczenie Michelsona - Morley'a (M-M)

sprawdzanie natury eteru świetlnego i wyznaczenie prędkości światła

względem niego.

Wynik doświadczenia:

Prędkość światła c jest niezmiennicza; tzn. prędkość światła jest taka sama, niezależnie od tego czy jest ona mierzona przez obserwatora znajdującego się w układzie stacjonarnym , czy też przez obserwatora znajdującego się w układzie poruszającym się ze stałą prędkością względem źródła światła.

Wnioski te były podstawą teorii względności Einsteina.

Założenia prowadzące do Transformacji Lorentza (TL):

(patrz rys 1.1 Mechanika Klasyczna)

Układ S₁ jest w spoczynku,

Układ S₂ porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym wzdłuż osi x-ów z prędkością
,

W chwili początkowej
ze wspólnego początku obu układów

wysłany zostaje błysk światła. Światło jest falę kulistą, której czoło fali jest sferą o promieniu zwiększającym się z prędkością światła

w układzie
:

(2.1a)

w układzie
:

(2.1b)

Równanie czoła fali ma postać:

W układzie
:

(2.2a)

w układzie
:

(2.2b)

Korzystamy z TG , wyrażenia na współrzędne z równania (1.6a-c) wstawiamy do równania (2.2b), otrzymujemy wówczas:

(2.3)

Jak widać równanie (2.3) nie jest identyczne z równaniem (2.2a) czoła fali w układzie.

Wniosek

TG przestaje być słuszna, jeżeli prawdziwa jest zasada niezmienniczości prędkości światła

Szukamy transformacji, która spełnia następujące warunki:

• Przechodzi w TG gdy
  

• Zmienia wyrażenie (2.2b) w wyrażenie (2.2a)

Transformacja ta musi spełniać następujące założenia:

1. być prosta dla
   i
   , bo
   oraz
   przechodzi odpowiednio w
   oraz
   

2. być liniowa względem
   i
   , ponieważ musimy otrzymać sferyczne czoło fali rozszerzające się ze stałą prędkością
   

3. czas musi również podlegać transformacji, o ile wyrazy
   mają zniknąć w równaniu (2.3), czyli
   

Zastosujmy transformację:

(2.4a-d)

Transformację (2.4a-d) wstawiamy do wzoru (2.2b) i otrzymujemy:

(2.5)

Żądamy spełnienia warunku:

(bo transformacja powinna być liniowa względem
oraz
), stad dostajemy wyrażenie na nieznaną wielkość
:

, wówczas transformacja czasu ma postać:

(2.6)

Wstawiamy (2.6) do (2.5) i otrzymujemy:

(2.7)

Równanie (2.2b) przejdzie w równanie czoła fali (2.2a) gdy przyjęta zastanie następująca transformacja:

(2.8a-d)

Równania (2.8a-d) stanowią Transformację Lorentza (TL). TL zachowuje niezmienniczość prędkości światła.

Dla
TL przechodzi w TG.

Standardowa forma zapisu TL:

Stosujemy podstawienia:

Wówczas TL jest zapisana w następującej postaci:

(2.9a-d)

Transformacja odwrotna ma postać:

(2.10a-d)

Zasada Korespondencji (odpowiedniości) Bohra sformułowana w 1932r.

Każda nowa teoria w fizyce musi sprowadzić się do dobrze ugruntowanej odpowiedniej teorii klasycznej, jeśli stosuje się ją w specjalnej sytuacji, gdy wiadomo, że mniej ogólna teoria jest słuszna. Innymi słowy TL
TG dla

Konsekwencje TL:

1. Kontrakcja przestrzeni: np. skrócenie długości

Przykład: oznaczmy przez
długość pręta mierzoną wzdłuż osi x-ów gdy pręt jest w spoczynku w układzie

przez
długość pręta mierzoną w układzie
, który porusza się względem
ruchem jednostajnym prostoliniowym wzdłuż osi x-ów z prędkością

W układzie
długość pręta wynosi:

(2.11)

natomiast w układzie
:

(2.12)

Górne wskaźniki odnoszą się do układów współrzędnych

Uwaga: pomiary wykonujemy w tym samym czasie,

We wzorze (2.11) wykorzystujemy TL przedstawioną równaniem

(2.10a-d) i wówczas otrzymujemy:

(2.13)

Podstawiając równanie (2.12) do (2.13) otrzymujemy:

(2.14a)

Lub w równoważnym zapisie:

(2.14b)

Z równań (2.14a-b) wynika ,że
. Jest to tzw. skrócenie Lorentza- Fitzgeralda pręta poruszającego się równolegle do swojej długości.

2. Dylatacja czasu jest zjawiskiem polegającym na wydłużeniu odstępów czasu mierzonych przez zegar będący w ruchu

Przykład: Zegar znajduje się w układzie
w spoczynku w początku układu współrzędnych
(
). Układ
jest układem własnym dla zegara, a wynik pomiaru odstępu czasu
nazywa się czasem własnym. Układ
porusza względem
wzdłuż osi x-ów z prędkością
.

Zgodnie ze wzorem (2.9d) mamy:

(2.15a)

Lub w równoważnym zapisie:

(2.15b)

Ze wzorów (2.15a,b) wynika, że
. Poruszające się zegary mierzą wydłużone przedziały czasowe w porównaniu z zegarami będącymi w spoczynku.

Lorentzowskie dodawanie prędkości -transformacja prędkości Lorentza

Przypomnienie:

Def. Prędkości:

(2.16)

składowe prędkości

(2.17a-c)

Korzystamy z TL wzór (2.8a-d) , następnie wyliczamy różniczki kolejnych współrzędnych a potem ich pochodne po czasie.

(2.18a-d)

Szukamy:
;
;

Dzieląc obustronnie równania (2.18a-c) przez (2.18d) otrzymujemy transformację prędkości Lorentza w następującej postaci:

(2.19a-c)

Ze związków (2.19a-c) wynika, że mimo iż ruch układu
względem
odbywa się wzdłuż osi x-ów to składowe prędkości
oraz
zależą również od
. Dla
transformacja prędkości Lorentza (2.19a-c). przechodzi w transformację prędkości Galileusza.

(2.20a-c)

Z równań (2.19a-c) można wyprowadzić odwrotną TL prędkości:

(2.21a-c)

Przykład (R1):

Ciało
porusza się w układzie
wzdłuż osi
z prędkością
,

Układ
porusza się względem
wzdłuż osi
z prędkością

Wyliczamy prędkość ciała w układzie

Zgodnie z TG prędkość ta wynosi:

(R1.1a-c)

Zgodnie z TL prędkość ta wynosi:

(R1.2a-c)

Rozważamy przypadek dużych prędkości
, wówczas zgodnie z równaniem (R1.1a-c) z TG otrzymujemy:

(R1.3a-c)

Wynik wskazuje, że TG nie spełnia zasady niezmienniczości prędkości światła

Natomiast zgodnie z równaniem (R1.2a-c) z TL otrzymujemy:

(R1.4a-c)

Wynik wskazuje, że TL spełnia zasadę niezmienniczości prędkości światła.

DYNAMIKA RELATYWISTYCZNA

Niezmienniczość praw fizyki względem transformacji Lorentza.

1. Pęd

Rozważając szczególny przypadek zderzeń można wykazać, że pęd newtonowski (nierelatywistyczny)
nie jest zachowany przy zderzeniach cząstek mających prędkości v duże, tzn, że
nie zmierza do zera.

Przykład:

Zderzenie dwóch kul o masach m₁ oraz m₂

(szczegóły są podane w aneksie A1, przygotowane zostały w oparciu o: „Mechanika” C. Kittel i współautorzy)

Wyrażenie na pęd musi ulec modyfikacji, żeby pęd był niezmienniczy względem TL. Korzystając się ze wzoru na dylatację czasu, otrzymuje się wyrażenie na pęd relatywistyczny w postaci:

(2.22)

lub w postaci:

(2.23)

Została wprowadzona masa relatywistyczna:

(2.24)

gdzie
jest masą bezwładną, która jest atrybutem ciała w mechanice klasycznej.

Zgodnie ze wzorem (2.24) masa relatywistyczna zależy od prędkości ciała.

Zależność ta została potwierdzona eksperymentalnie, stwierdzono również, że dla
można przyjąć, że
.

Pęd relatywistyczny można zapisać w postaci:

(2.25)

Dla
,
i wyrażenie na pęd relatywistyczny przechodzi w wyrażenie na pęd klasyczny

2. Siła

Zgodnie z zasadami dynamiki Newtona siła jest zdefiniowana:

(2.26a)

(2.26b)

Dla zjawisk relatywistycznych (
) drugi składnik wyrażenia (2.26b):
, gdyż masa
zależy od prędkości
. Ponieważ rozważamy przypadek, gdy na ciało działa siła
, to wówczas
nie jest stałe w czasie;
jest równe
. Tak więc
jest różne od zera. Przyjmujemy, że ciało o masie
jest związane z układem
, na ciało działa siła
wzdłuż osi x-ów:
, oznacza to, że układ
, a zarazem ciało porusza się względem
ze zmienną prędkością
. Wówczas zgodnie z zapisem (2.26b) oraz z uwzględnieniem masy relatywistycznej
otrzymamy:

(2.27)

Po wyliczeniu pochodnej wyrażenie (2.27) przyjmuje postać:

(2.28)

Gdzie:

(przyspieszenie) obserwowane w układzie
, gdy przyjąć, ze układ
był związany z cząstką poruszająca się względem
z prędkością

Dla
, wówczas związek (2.28) przechodzi w znany z mechaniki klasycznej wzór na siłę:

3.Energia kinetyczna

Korzystamy z definicji energii kinetycznej
:

(2.29)

Zakładamy, ze siła
działająca na ciało o masie
jest równoległa do wektora wodzącego tego ciała
. Wówczas wyrażenie na energię kinetyczną będzie miało postać:

(2.30a)

Wykorzystując zależność:
, otrzymujemy:

(2.30b)

Po scałkowaniu :

(2.31a)

Lub, korzystając z definicji masy relatywistycznej:

(2.31b)

Ażeby sprawdzić, czy spełniona jest zasada korespondencji, tzn. czy wzór na energię kinetyczną dla cząstki relatywistycznej przejdzie w znany związek mechaniki klasycznej
należy wyrażenie (2.31a) rozwinąć w szereg przyjmując, że
.

Przekształcamy równanie (2.31a):

(2.32)

Zajmujemy się wyrażeniem

korzystamy z rozwinięcia dwumianu

(2.33)

wprowadzamy następujące oznaczenia:

(2.34)

(2.35)

Wykorzystujemy oznaczenia (2.34) oraz (2.35) i wówczas z dokładnością do wyrazów pierwszego rzędu ze względu na x, wzór (2.33) przyjmuje postać:

(2.36)

Podstawiamy wyrażenie (2.36) do wzoru (2.32) i otrzymujemy:

(2.37)

Wzór (2.37) stanowi wyrażenie na energię kinetyczną w mechanice klasycznej.

4. Energia całkowita

Praca potrzebna do zmiany prędkości ciała od
do
równa się zmianie energii kinetycznej tego ciała. Prędkości
odpowiada masa relatywistyczna
, natomiast prędkości
masa relatywistyczna
.

(2.38a)

(2.38b)

(2.38c)

gdzie

Związek (2.38c) oznacza, że zmiana energii kinetycznej jest równa zmianie masy relatywistycznej.

Zakładamy, że ciało porusza się w polu sił zachowawczych, którego energię potencjalną oznaczymy przez
, wówczas zgodnie z zasadą zachowania energii mamy:

(2.39)

Przekształcamy wzór (2.39) i korzystamy ze związku (2.38c), otrzymujemy :

(2.40)

Stąd mamy:

(2.41)

gdzie

Całkowitą energię relatywistyczną można również zapisać w postaci :

(2.42)

Gdzie
jest energię masy spoczynkowej:

(2.43)

Podstawiamy (2.43) do (2.42) i wówczas wzór (2.42) przyjmuje postać:

(2.44)

Wzór (2.44) oznacza równoważność masy i energii. Równoważność ta jest jedną z najważniejszych konsekwencji szczególnej teorii względności (teorii relatywistycznej). Oznacza to, że, zamiast zasady zachowania energii, należy stosować zasadę zachowania masy-energii :

Energia spoczynkowa + Energia kinetyczna + Energia potencjalna = const.

Korzysta się również z innego zapisu energii na energię całkowitą:

(2.45)

Gdzie
jest pędem relatywistycznym

Dla cząstki poruszającej się z prędkością
musi być spełniony warunek, że jej masa spoczynkowa
, gdyż inaczej, zgodnie ze wzorem (2.24) masa relatywistyczna takiej cząstki

W tym przypadku wyrażenie na energię całkowitą ma postać:

(2.46a)

(2.46b)

Energia całkowita jest równa energii kinetycznej:

(2.47)

Cząstki o tak dużych prędkościach (
) noszą nazwę cząstek skrajnie relatywistycznych (ultrarelatywistyczne).

PODSUMOWANIE SZCZEGÓLNEJ TEORII WZGLĘDNOŚCI