Statystyka zajmuje się ilościowymi metodami badania zjawisk masowych, tj. takich, w których występuje duża liczba jednostek.

Przedmiotem badania jest:

Populacja (zbiorowość statystyczna), tj. zbiór elementów podobnych (jednostek statystycznych), odznaczających się pewnymi właściwościami (cechami).

Najczęściej jednak badającemu dostępna jest:

Próba (zbiorowość próbna), tj. podzbiór populacji obejmujący wybrane w określony sposób elementy (losowy, celowy). Własności tego podzbioru są badane w uogólniane na całą populację.

Badania statystyczne można podzielić na:

• całkowite (pełne), gdy obejmuje wszystkie elementy populacji, np. spis powszechny, sprawozdawczość finansowa

• częściowe (niepełne), gdy dostępna badaczowi jest jedynie próba np. badania analityczne, monograficzne, reprezentacyjne

Etapy badania statystycznego:

1. przygotowanie badania (ustalenie celu i metody badania)

2. obserwacja statystyczna (ustalenie wartości cech jednostek)

3. opracowanie materiału statystycznego (grupowanie i zliczanie)

4. prezentacja materiału (tablice i wykresy)

5. wnioskowanie statystyczne (uogólnianie wyników badań próby na całą zbiorowość statystyczną) lub opis elementów w próbie za pomocą miar statystycznych

Rodzaje cech (reprezentowanych przez zmienne)

• jakościowe (niemierzalne) np. płeć, wykształcenie, zawód

• ilościowe (mierzalne) np. płaca, wartość produkcji

• skokowe - przyjmują wartości ze skończonego zbioru wartości np. liczba studentów w grupie, liczba dzieci itp.

• ciągłe - przyjmują wartości z nieprzeliczalnego zbioru wartości wynika to z dokładania pomiaru np. wzrost, waga, wartość spadku

Szeregi statystyczne

• szczegółowe (wyliczające): x₁, x₂, x₃, ..., x_n

• rozdzielcze:

- dla cechy skokowej			- dla cechy ciągłej
Wartość cechy	Liczebność		Wartość cechy	Liczebność
x1	n1		x1- x2	n1
x2	n2		x2 - x3	n2
...	...		...	...
xk	nk		xk - xk + 1	nk
razem			razem

Miary służące do opisu cech jednostek statystycznych należących do próby:

• miary pieniężne (średnie) charakteryzują średnią wartość cechy dla jednostek w próbie

• zróżnicowanie (zmniejszenie) charakteryzująca stopień zróżnicowania jednostki w próbie

• miara asymetrii (skośność) pokazuje czy więcej jednostek ma wartość cechy większą lub mniejszą od średniej

Średnia arytmetyczna

• dla szeregu szczegółowego:




• dla szeregu rozdzielczego cechy skokowej (o „k” wartościach)




• dla szeregu rozdzielczego cechy ciągłej (dla „k” przedziałów)




Średnia harmoniczna:




Średnia geometryczna:




Dominanta (moda) to wartość cechy, która występuje najczęściej, jest typowa:

• szereg szczegółowy - wartość występująca najczęściej

• szereg rozdzielczy dla cechy skokowej - wartość o największej liczebności:




gdzie:

x_D - dolna granica

n_D - liczba przedziału

n_D-1 - liczba przedziału poprzedniego

n_D+1 - liczba przedziału następnego

i_D - szerokość przedziału dominanty

Przykład 1.

Xi	Ni	Xi	Xi * Ni	Wi	Wisk
0-1000 1000-2000 2000-3000 3000-4000 4000-5000	8 18 12 8 4	500 1500 2500 3500 4500	4000 27000 30000 28000 18000	16% 36% 24% 16% 8%	16% 52% 76% 92% 100%
Ogółem:	50	-	107000	100%	-




Typowa wielkość oszczędności to 1625zł.

Kwantyle - dzielą uporządkowany rosnąco (lub malejąco) wg wartości określonej cechy zbiór jednostek na odpowiednią liczbę części:

• 
  kwartyle - podział na 4 części

Q₁ (kwartyl pierwszy) - dzieli jednostki na 2 części: 25% z nich ma wartości cechy mniejsze od niego, zaś 75% - większe

Me (mediana) - dzieli jednostki na dwie równe części

Q3 (kwartyl trzeci) - dzieli jednostki na 2 części: 75% z nich ma wartości cechy mniejsze od niego, zaś 25% - większe

• decyle - podział na 10 części

• centyle - podział na 100 części

Mediana

1. szereg szczegółowy - należy uporządkować rosnąco i obliczyć:


, gdy n jest parzyste


, gdy n jest nieparzyste

2. szereg rozdzielczy dla cechy skokowej - należy skumulować liczebności (lub częstości względne) i znaleźć wartości dla której częstość ≥ 50%

3. szereg rozdzielczy dla cechy ciągłej - skumulować liczebności i znaleźć przedział, w którym częstość względna ≥ 50% oraz wykorzystać wzór:




gdzie:

X_Me - dolna granica przedziału mediany

n_Me - liczebność przedziału mediany

i_Me - szerokość przedziału mediany

n - liczebność próby

Ad. Przykład 1.




Połowa osób ma na koncie mniej niż 1944zł, a połowa powyżej.

Kwartyl I


Kwartyl III


Miary statystyczne

1. klasyczne

Wymagają one znajomości wszystkich wartości cechy, tj. aby wszystkie przedziały były domknięte. Są obiektywne, ale bardzo wrażliwe na błędy oraz tzw. wartości oddalone

Np. średnia arytmetyczna

2. pozycyjne

Nie wymagają znajomości wszystkich wartości cechy, tj. niektóre przedziały mogą być otwarte. Ich wartość wynika z położenia w szeregu, co oznacza, że są subiektywne. Nie są jednak wrażliwe na błędy, wartości oddalone

Np. mediana

Koncepcja sposobu oceny stopnia zróżnicowania




Miary zróżnicowania

Wariancja

• dla szeregu szczegółowego







gdzie m₂ i m₁ to tzw. drugi i pierwszy moment zwykły

Moment zwykły rzędu „k” to:

• dla szeregu szczegółowego:




• dla szeregu rozdzielczego




Miary Pozycyjne Zróżnicowania

1. Rozstęp (obszar zmienności)




2. Odchylenie ćwiartkowe




Miary Pozycyjne Względne

1) Współczynnik zmienności







Miary Asymetrii (Skośności)

1. Wskaźnik asymetrii (mówi o kierunku asymetrii)

• klasyczny




• pozycyjny




W_S > 0 - asymetria prawostronna

W_S = 0 - symetria

W_S < 0 - asymetria lewostronna

2. Współczynnik asymetrii (mówi o kierunku i o sile asymetrii)

• klasyczny




lub




A_S > 0 - asymetria prawostronna

A_S = 0 - symetria

A_S < 0 - asymetria lewostronna

S - odchylenie standardowe

M₃ - trzeci moment centralny (wariancja drugi moment)




• pozycyjny




Wykresy:





Dane są źle zebrane - nie powinno się nic dalej robić

A_S <-1,1> silna asymetria albo lewo- albo prawostronna (jeżeli bliżej -1 lub 1)

A_S <-0,3;0,3> umiarkowana asymetria

(powyżej 0,3 lub poniżej -03 asymetria dosyć wyraźna

Koncentracja kurtoza (w Excelu)

Korelacja i regresja

1. Współczynnik korelacji liniowej Pearsona:







gdzie:

cor(x,y) to kowariacja - miara wspózmienności

przyjmująca wartości z: przedziału: [-s(x)s(y), +s(x)s(y)].

Współczynnik korelacji mówi nam o kierunku i sile między zmiennymi.

Przyjmuje wartości: r ∈ [-1, 1]

Wartość współczynnika mówi o sile związku. Im jest bliższa zera - tym słabszy związek, im bliżej 1 lub -1 tym silniejszy. Wartość |1| oznacza idealny związek liniowy.

Znak współczynnika korelacji mówi o kierunku związku:

„+” - oznacza związek dodatni, tj. wzrost (spadek) wartości jednej cechy powoduje wzrost (spadek) wartości drugiej


„-” - oznacza ujemny kierunek, tj. wzrost (spadek) wartości jednej cechy powoduje spadek (wzrost) wartości drugiej.


do 0,3 - słaba

od 0,3 do 0,5 - średnia

powyżej 0,5 - wyraźna

Wykres rozrzutu (diagram korelacyjny) wykres x,y (w Excelu)



Jakich związków „r” nie wykryje?

- nieliniowych

Linia (Model) Regresji (II Rodzaju)

1. „Y” względem „X” (wpływ „X” na „Y”)




• gdzie metodą najmniejszych kwadratów (MNK) można wyznaczyć wartości parametrów „a” i „b”


bezpośrednia




Parametr „a” można także obliczyć korzystając z wzoru:


pośrednia

Interpretacja parametru „a”:

a > 0 - wzrost „x” o 1 jednostkę powoduje wzrost „y” średnio o „a” jednostek

a < 0 - wzrost „x” o 1 jednostkę powoduje spadek „y” średnio o „a” jednostek

„a” i „r” zawsze mają te same znaki

2. „X” względem „Y” (wpływ „Y” na „X”)













Pomiędzy współczynnikami prostych regresji „a” i „c” zachodzi związek:




Dokładność Funkcji Regresji

Ocena dopasowania modelu do danych empirycznych: jej pomiar opiera się na obliczeniu „reszt”, tj. różnic




gdzie:


- wartość empiryczna cechy „y”


wartość


Renta określa niedokładność szacunku i-tej wartości cechy.

Syntetycznym miernikiem jakości modelu jest tzw. wariacja resztkowa

• która ocenia rozproszenie wartości empirycznych wokół teoretycznych.

S(u) to odchylenie standardowe reszt, które mówi o tym, jakie jest przeciętne odchylenie wartości empirycznych od wartości teoretycznych. Im bliższe zeru, tym lepsza funkcja regresji (modelu)

Współczynnik zbieżności

• 
  przyjmuje wartości z przedziału [0, 100%]. Ocenia: w jakiej części zmiany cechy „y” nie są wyjaśnione zmianami cechy „x”. Im bliżej „0”, tym lepsza funkcyjna regresja (modelu).


Współczynnik determinacji

• przyjmuje wartości z przedziału [0, 100%]. Informuje o tym, jaka część zmian cechy „y” jest wyjaśniona przez funkcję regresji. Im bliżej 100%, tym lepsza model.

Tablica Korelacyjna

	Cecha Y
Cecha X		Y1	...	Yt
		X1	N11	...	N1t	N1k
		X2	N21	...	N2t	N2k
		...	...	...	...	...
		Xs	Ns1	...	Nst	Nsk
			Nk1	...	Nkt	N

W kolumnach znajdują się wartości (lub przedziały wartości) cechy Y, a w wierszach wartości (lub przedziały wartości) cechy X. Wewnątrz tablicy są liczebności. Przy czym:




Tablica korelacyjna opisuje:

• 2 rozkłady brzegowe (rozkład cechy X oraz rozkład cechy Y)

• „s + t” rozkładów warunkowych

Charakterystyka rozkładów brzegowych:

• cecha „X”







• cecha „Y”







Charakterystyka rozkładów warunkowych:

Rozkład warunkowy opisuje zachowanie jednej cechy, pod warunkiem, że druga cecha przyjęła określoną wartość (X/Y = y_j lub Y/X = x_i)

• cecha „X” (tyle rozkładów, ile wartości cechy „Y”)







• cecha „Y” (tyle rozkładów, ile wartości cechy „X”)







Współczynnik korelacji liniowej Pearsona (miara symetryczna)




gdzie:




Współczynnik korelacji liniowej Pearsona (miara niesymetryczna)

Charakter siły związku zarówno liniowego, jak i nieliniowego (nie kierunek) przyjmuje wartości z przedziału <0,1>







Im wartość bliższa „1”, tym związek korelacyjny jest silniejszy. Wartość „1” oznacza związek, przy czym:





,

to tzw. relacje międzygrupowe.

Wskaźniki krzywoliniowości

Oceniają „stopień” nieliniowości związku między X i Y. Przyjmują wartości z przedziału <0,1>.







m ≤ 0,2 to związek można uznać za liniowy

m > 0,2 to związek można uznać za liniowy

Niezależność stochastyczna

• „X” jest niezależne stochastycznie od „Y” jeśli:







• „Y” jest niezależne stochastycznie od „Y” jeśli:







Niezależność korelacyjna

• „X” jest niezależne korelacyjnie od „Y” jeśli:




• „Y” jest niezależne korelacyjnie od „Y” jeśli:




Ocena kierunku związku

• jeśli wraz ze wzrostem (spadkiem) wartości jednej cechy rosną (spadają) średnie warunkowej drugiej, to związek jest dodatni

• jeśli wraz ze wzrostem (spadkiem) wartości jednej cechy spadają (rosną) średnie warunkowej drugiej, to związek jest ujemny

Regresja I rodzaju

Jest to przyporządkowanie wartościom jednej cechy średnich warunkowych drugiej. Jej reprezentacją graficzną jest „empiryczna linia regresji”, która powstaje poprzez połączenie punktów o współrzędnych:

• „X” względem „Y”
  

• „Y” względem „X”
  

Przybliżeniem funkcji regresji I rodzaju jest funkcja regresji II rodzaju, np. liniowa y = ax + b

Badanie związków cech jakościowych

1. Cechy nominalne

Tablica kontyngencji

• taka sama jak tablica korelacyjna

• cecha y - nazwy i cecha x - nazwy, wewnątrz tablicy liczebności

Miarą siły związku jest statystyka di-kwadrat:


,

gdzie:
to tzw. liczebności teoretyczne,

ponadto:


Przyjmuje ona wartość z przedziału:




przy czym:

„0” oznacza niezależność stochastyczną cech „X” i „Y”


związek funkcyjny

Miara ta jest trudna do interpretacji, ponieważ jest nieunormowana, tj. jej wartość rośnie wraz ze wzrostem liczby kolumn i wierszy (wariantów wartości cech) oraz liczebności próby. Zwykle zakłada się, że liczebności empiryczne nie są mniejsze niż 5 dla każdej komórki w tabeli.

Miary unormowane

• współczynnik Czuprowa


<0,1>

0 - oznacza niezależność stochastyczną

1 - oznacza zależność funkcyjną

• współczynnik Cramera


<0,1>

• im bliżej „1” - tym silniejsza zależność cech „X” i „Y”

• Cechy porządkowe (np. ocena, wykształcenie)

• współczynnik korelacji rang Spearmana


<-1,1>

• informuje ona o sile i kierunku związku, gdzie:

d_i - oznacza różnicę między rangami odpowiadającymi wartościom cech „X” oraz „Y”

(d_i = x_i - y_i)

Analiza dynamiki (badanie zmian w czasie)

Szereg czasowy

y₁, y₂, y₃,…, y₄

• to szereg szczegółowy, uporządkowany ze względu na czas, który reprezentują kolejne numery: 1,…, n

y_t to wartość badanej cechy w okresie lub momencie „t”

Wskaźniki dynamiki (indeksy)

• ogólny wzór:




gdzie:

y_t to wartość cechy w okresie badanym

y₀ to wartość cechy w okresie bazowym, podstawowym (branym jako punkt odniesienia)

• interpretacja:

i > 100% oznacza wzrost wartości cechy w okresie badanym w porównaniu z okresem podstawowym o: i - 100%

i = 100% oznacza brak zmian w okresie badanym w porównaniu z okresem podstawowym

i < 100% oznacza spadek wartości cechy w okresie badanym w porównaniu z okresem podstawowym o: 100% - i

Rodzaje indeksów:

1. o podstawie stałej (jednopodstawowe) okresem bazowym jest y₁:




• pokazują zmiany w kolejnych okresach (momentach) w porównaniu z okresem (momentem) podstawowym (jest ich „n”, tj. tyle, ile elementów szeregu czasowego)

• łańcuchowe




• pokazują zmiany w kolejnych okresach (momentach) czasu w porównaniu z okresem (momentem) poprzednim (jest ich „n-1”, tj. brak jest pierwszego)

Średnie tempo zmian

• to średnia geometryczna z indeksów łańcuchowych, którą w skrócie można zapisać jako:




• określa poszczególne zmiany wartości cechy z okresu (momentu) na okres (moment):

jeżeli:
to oznacza przeciętny wzrost


to oznacza przeciętny spadek

WIG - Warszawski Indeks Giełdowy

Od 1993r jego wartość jest liczona według formuły kapitałowej:




gdzie:

t oznacza badany okres (sesję giełdową)

M(t) wartość rynkowa (kapitalizacja) wszystkich spółek notowanych na giełdzie

K(0) kapitalizacja wszystkich akcji w dniu 16.04.1991r (I sesja giełdy), która wynosiła 57 140 000 starych złotych

K(t) współczynnik korygujący dla okresu badanego (uwzględnia dywidendy i pobory)

Indeksy Indywidualne

• pozwalają analizować zmiany cen (p), ilość (q) i wartość (qp) pojedynczych produktów (wyrobów)

• cen




• ilości





• wartości




Indeksy Zespołowe (Agregatowe)

• pozwalają analizować zmiany wartości cen oraz ilości zbioru grupy) produktów (wyrobów, artykułów), które nie są jednorodne, np.: „nabiał” oznacza zarówno mleko, sery, jak i jajka, mierzone w zupełnie inny sposób

• wartości




• ilości Laspeyresa




mówi o przeciętnym wzroście (spadku) ilości określonego zbioru wyrobów w okresie badanym w porównaniu z okresem podstawowym, przy założeniu, że cena w okresie badanym była na poziomie z okresu podstawowego (cena stała z okresu podstawowego)

• ilości Paaschego




mówi o przeciętnym wzroście (spadku) ilości określonego zbioru wyrobów w okresie badanym w porównaniu z okresem podstawowym, przy założeniu, że cena w okresie podstawowym była na poziomie z okresu badanego (cena stała z okresu badanego)

• cen Laspeyresa




mówi o przeciętnym wzroście (spadku) cen określonego zbioru wyrobów w okresie badanym w porównaniu z okresem podstawowym, przy założeniu, że ilość w okresie podstawowym była na poziomie z okresu badanego

• ilości Fishera




mówi o przeciętnym wzroście (spadku) ilości określonego zbioru wyrobów w okresie badanym w porównaniu z okresem podstawowym

• cen Fishera




mówi o przeciętnym wzroście (spadku) cen określonych zbiorów wyrobów w okresie badanym w porównaniu z okresem podstawowym.

Wahania sezonowe

Zmiany zjawisk zależą także od działania czynników o charakterze sezonowym. Źródłem tych zmian jest cykl przyrodniczy (pory roku rolnictwo), technologiczny (budownictwo), instytucjonalny (budżet), zwyczajowy (moda ubrania).

Aby wyodrębnić działanie czynników sezonowych obliczamy tzw. Wskaźniki sezonowości za pomocą jednej z dwóch formuł:

• gdy efekt działania czynników sezonowych jest proporcjonalny do funkcji trendu (model multiplikatywny)




gdzie:


oznacza wartość trendu dla okresu „t”


liczba wystąpień i-tego okresu (kwartału, itp.)

• gdy efekt działania czynników sezonowych jest stały w poszczególnych okresach (model addytywny)





absolutna wielkość wahań sezonowych (to nie jest wskaźnik)

W praktyce jednak trudno ocenić rodzaj wahań (tylko na podstawie wykresu), stąd najczęściej przyjmuje się model multiplikatywny.

Jeśli spełnia się zależności:


lub


to oznacza to, że wskaźniki sezonowości są „czyste”, tj. wolne od wahań przypadkowych. W przeciwnym wypadku, w każdym z nich należy zastosować współczynniki korygujące:


lub


Korekty dokonujemy odpowiednio:


lub


gdzie:


oraz
„surowe” wskaźniki sezonowości

Wahania przypadkowe (losowe)

Na zmiany zjawisk wpływają czynniki losowe (przypadkowe), które można wyodrębnić porównując rzeczywistą wartość badanej cechy „y”, z jej teoretyczną wartością skorygowaną o wahania sezonowe:




lub




Wpływ wahań losowych można ocenić za pomocą wariancji:




Kiedy przygotowana jest prognoza na podstawie posiadanego modelu zmian w czasie, należy oszacować przewidywaną wielkość wahań losowych za pomocą wzoru:




gdzie:

n długość szeregu czasowego

t_prog numer okresu, dla którego dokonywana jest prognoza

Praca pochodzi z serwisu www.e-sciagi.pl

1




Xmin

Xmax

25%

25%

25%

25%

Q₁

Me

Q₃










Me

Me

D

D

n_i

n_i

x_i

x_i

Lewostronna

Prawostronna

Symetria

x_i

n_i

D

Me




x_i

x_i

n_i

n_i

Skrajna Asymetria Prawostronna

Skrajna Asymetria Lewostronna







pamiętając o odpowiedniej liczebności próby

r=1

r=+0,76

r=+0,14

r=-0,69

Korelacje prostoliniowe

r=0

r=0










---