Rafał Burz	Podstawy automatyki - laboratorium	Data oddania: 16.04.2008
II RD Gr. RD41 Tydzień A 10^15	Temat: Charakterystyka częstotliwościowa	Data przyjęcia:

1. Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z pojęciem charakterystyki częstotliwościowej, praktycznym sposobem jej rejestracji oraz wykorzystania do identyfikacji własności dynamicznych badanego elementu.

2. Podstawy teoretyczne

Charakterystyki częstotliwościowe zawierają pełną informację o dynamice układów regulacji, dlatego też zajmują bardzo ważne miejsce za równo w teorii jak i praktyce sterowania automatycznego. Są one określane w zasadzie dla układów liniowych, choć mogą być również z powodzeniem stosowane dla pewnych klas układów zlinearyzowanych.

Zasada wyznaczania charakterystyk częstotliwościowych oparta jest na następującym rozumowaniu:

Na wejściu badanego obiektu, układu lub elementu podawane jest wymuszenie harmoniczne o postaci

Jeżeli badany obiekt jest liniowy i nie działają na niego żadne dodatkowe wymuszenia i zakłócenia, wówczas na wejściu obiektu w stanie ustalonym pojawia się sygnał wyjściowy y(t) opisany zależnością

Układ pomiarowy wykorzystany przez nas jest przyrządem specjalizowanym. Składa się z generatora przebiegów harmonicznych z bardzo dokładnie nastawioną częstotliwością ω, oraz mierników wzmocnienia k(ω) i y(ω).

W ramach praktycznej realizacji ćwiczenia należało wykonać pomiary charakterystyki amplitudowo-fazowej zadanego czwórnika elektrycznego. Rolę specjalizowanego przyrządu spełniał analizator transmitancji typu 272A.Przyrząd ten zawiera w jednej obudowie trzy oddzielne układy funkcjonalne: operator fali sinusoidalnej trójkątnej lub kwadratowej oraz dwa miliwoltomierze fazowe, z których jeden mierzy składową rzeczywistą, a drugi składową urojoną badanego sygnału. Pomiary rozpoczynamy od najmniejszej częstotliwości, dla której jest jeszcze możliwy pomiar. Dla ustalonej częstotliwości ωi odczytujemy wartości, P(ωi), Q(ωi)

Teoretyczną podstawę charakterystyk częstotliwościowych stanowi transmitancja widmowa, którą definiujemy:

lub, co jest jednoznaczne

gdzie:
-jest wartością zespoloną składowej ustalonej odpowiedzi układu wywołanej wymuszeniem sinusoidalnym, a
-wartością zespoloną tego wymuszenia. Podstawiając za
i
parę odpowiadających sobie funkcji harmonicznych zapisanych w postaci wykładniczej:

otrzymujemy

gdzie M(ω) = y₀(ω)/x₀(ω) jest modułem charakterystyki częstotliwościowej (stosunkiem amplitud odpowiedzi do wymuszenia).

Wykres G(jω) nazywa się charakterystyką amplitudowo-fazową lub zespoloną charakterystyką częstotliwościową, lub wykresem transmitancji widmowej. Wykres ten jest miejscem geometrycznym końców wektorów, których długość reprezentuje stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia, a kąt - przesunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem. Zamiast wykresu G(jω) można podać oddzielnie wykresy jego współrzędnych biegunowych M(ω) i
(ω). Nazywają się one

M(ω) =
amplitudowa charakterystyka częstotliwościowa (wykres modułu charakterystyki częstotliwościowej).

fazowa charakterystyka częstotliwościowa (wykres argumentu charakterystyki

Ponieważ G(jω) jest funkcją zespoloną, można rozłożyć ją na część rzeczywistą
i część urojoną (współrzędne prostokątne G(jω))

gdzie:

P(ω) = Re[G(jω)] - część rzeczywista G(jω),

Q(ω) = Im[G(jω)] - część urojona G(jω).

Pomiędzy charakterystykami rzeczywistą i urojoną, a charakterystykami amplitudową M(ω) i fazową
(ω) istnieją następujące zależności:

oraz

- logarytmiczna charakterystyka amplitudowa

3. Cześć praktyczna

Tabela pomiarów:

Lp	f	xo	yo	φ(ω)
-	[Hz]	[mV]	[mV]	[μs]
1	40	720	680	1000
2	50	720	680	1000
3	60	720	680	1000
4	70	720	680	900
5	75	720	640	900
6	80	720	640	900
7	90	720	600	900
8	100	720	600	900
9	110	720	600	900
10	120	720	560	900
11	150	720	520	800
12	200	720	480	600
13	230	720	440	600
14	250	720	400	600
15	280	720	360	600
16	330	720	320	500
17	370	720	300	480
18	450	720	240	440
19	550	720	200	400
20	750	720	150	280
21	1000	720	120	240
22	1500	720	80	160
23	2000	720	60	120
24	2500	720	48	100
25	3000	720	40	80
26	3500	720	36	60
27	4000	720	30	55
28	4500	720	28	50
29	5000	720	24	48
30	6000	720	20	40
31	7000	720	18	32
32	8000	720	15	28

Skorzystano z wzorów:

P(ω)= M(ω)*cos(φ(ω))

Q(ω)= M(ω)*sin(φ(ω))

Tabela wyników:

Lp	ω	M(ω)	T	φ(ω)	P(ω)	Q(ω)	20log(M)
-	rad/s	-	s	rad	-	-
1	251,3274	0,944444	0,025	-0,25133	0,914773	-0,234874	48,0048
2	314,1593	0,944444	0,02	-0,31416	0,89822	-0,291849	49,943
3	376,9911	0,944444	0,016666667	-0,37699	0,878122	-0,347673	51,52662
4	439,823	0,944444	0,014285714	-0,39584	0,871413	-0,364163	52,86556
5	471,2389	0,888889	0,013333333	-0,42412	0,810136	-0,365791	53,46482
6	502,6548	0,888889	0,0125	-0,45239	0,799471	-0,388547	54,0254
7	565,4867	0,833333	0,011111111	-0,50894	0,727719	-0,406042	55,04845
8	628,3185	0,833333	0,01	-0,56549	0,703607	-0,446522	55,9636
9	691,1504	0,833333	0,009090909	-0,62204	0,677245	-0,485575	56,79145
10	753,9822	0,777778	0,008333333	-0,67858	0,605471	-0,488204	57,54722
11	942,4778	0,722222	0,006666667	-0,75398	0,526477	-0,494395	59,48542
12	1256,637	0,666667	0,005	-0,75398	0,485979	-0,456365	61,9842
13	1445,133	0,611111	0,004347826	-0,86708	0,395423	-0,465937	63,19815
14	1570,796	0,555556	0,004	-0,94248	0,326547	-0,449454	63,9224
15	1759,292	0,5	0,003571429	-1,05558	0,246364	-0,435092	64,90676
16	2073,451	0,444444	0,003030303	-1,03673	0,226241	-0,382552	66,33388
17	2324,779	0,416667	0,002702703	-1,11589	0,183073	-0,374293	67,32763
18	2827,433	0,333333	0,002222222	-1,24407	0,106981	-0,315699	69,02785
19	3455,752	0,277778	0,001818182	-1,3823	0,05205	-0,272858	70,77085
20	4712,389	0,208333	0,001333333	-1,31947	0,05181	-0,201788	73,46482
21	6283,185	0,166667	0,001	-1,50796	0,010465	-0,166338	75,9636
22	9424,778	0,111111	0,000666667	-1,50796	0,006977	-0,110892	79,48542
23	12566,37	0,083333	0,0005	-1,50796	0,005233	-0,083169	81,9842
24	15707,96	0,066667	0,0004	-1,5708	4,08E-18	-0,066667	83,9224
25	18849,56	0,055556	0,000333333	-1,50796	0,003488	-0,055446	85,50602
26	21991,15	0,05	0,000285714	-1,31947	0,012434	-0,048429	86,84496
27	25132,74	0,041667	0,00025	-1,3823	0,007808	-0,040929	88,0048
28	28274,33	0,038889	0,000222222	-1,41372	0,006084	-0,03841	89,02785
29	31415,93	0,033333	0,0002	-1,50796	0,002093	-0,033268	89,943
30	37699,11	0,027778	0,000166667	-1,50796	0,001744	-0,027723	91,52662
31	43982,3	0,025	0,000142857	-1,40743	0,004066	-0,024667	92,86556
32	50265,48	0,020833	0,000125	-1,40743	0,003388	-0,020556	94,0254

4. Wykresy otrzymanych charakterystyk:

Wnioski:

---