Tomasz Kowalski

Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych

Wykład 24

CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE ZMIENNYCH LOSOWYCH - lista zadań

1. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie danym za pomocą tabelki:
   

	0	1	2	3

Sprawdzić, że jest to rozkład pewnej zmiennej losowej. Obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej  losowej X.

2. Dystrybuanta F zmiennej losowej X jest określona następującą tabelką:
   

x	(-∞, 1]	(1, 3]	(3, 6]	(6, +∞)
F(x)	0	0,3	0,6	1

Wyznaczyć rozkład tej zmiennej losowej. Obliczyć wartość oczekiwaną.


3. Zmienna losowa X ma rozkład:

	-1	0	2	3
	0,1	0,4	0,2	0,3

Wyznaczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej Y = 3X + 4, korzystając z odpowiednich własności wartości oczekiwanej.

4. Zmienna losowa X ma rozkład:

	-2	-1	0	1	2
	0,25	0,2	0,1	0,2	0,25

Wyznaczyć wartości oczekiwane zmiennych losowych: a) X, b) Y = 3X + 4, c)
.


5. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie danym za pomocą tabelki:
   

	0	1	2	3

Obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej  losowej X, wariancję oraz odchylenie standardowe.


6. Eksperyment polega na trzykrotnym rzucie monetą. Zmienna losowa X jest różnicą między liczbą otrzymanych orłów a liczbą otrzymanych reszek. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa oraz dystrybuantę zmiennej X. Sporządzić wykres dystrybuanty. Obliczyć wartość oczekiwaną, wariancję oraz odchylenie standardowe.
   

7. Niech X będzie zmienną losową o gęstości
   
   a) Wyznaczyć c, a następnie naszkicować wykres funkcji gęstości. b) Obliczyć
   .

8. Niech X będzie zmienną losową o gęstości
   
   Obliczyć: a)
   , b)
   .

9. Zmienna losowa X ma następującą gęstość prawdopodobieństwa:
   Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję tej zmiennej.
   

10. Zmienna losowa X ma następującą gęstość prawdopodobieństwa:
    
    Wykazać, że zmienna ta nie posiada wartości oczekiwanej.
    

11. Zmienna losowa X ma następującą gęstość prawdopodobieństwa:
    
    Naszkicować wykres gęstości. Wykazać, że zmienna ta nie posiada wartości oczekiwanej.
    

12. Zmienna losowa X ma dystrybuantę określoną wzorem:
    
    Naszkicować wykres dystrybuanty. Wyznaczyć gęstość i naszkicować jej wykres. Wykazać, że zmienna X nie posiada wartości oczekiwanej.
    

13. Zmienna losowa X ma następującą gęstość prawdopodobieństwa:
    
    Obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej X. Wykazać, że zmienna ta nie posiada wariancji.
    

14. Czy istnieje zmienna losowa X, dla której:
    a)
    , b)
    , c)
    , d)
    .
    

15. Dane są dwie niezależne zmienne losowe X i Y dla których:
    ,
    . Obliczyć
    oraz
    .

Odpowiedzi



1.
.

3.
,
. 4. a)
, b)
, c)
.

5.
,
,
.






,
,
.

7. a)
, b)
. 8. a)
, b)
. 9. a)
, b)
.

10.
. 11.
.

12.

.

13.
,
.

14. a) nie istnieje, ponieważ
dla każdej zmiennej losowej X.

b) nie istnieje, ponieważ
dla każdej zmiennej losowej X.

c) i d) istnieje np. X przyjmująca wartość 0 z prawdop. 1.

15.
,
.

2

Wykład 24: Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych.

2.

	1	3	6
	0,3	0,3	0,4




x
F(x)	0				1

6.

			1	3

---