Ćw. 1

POMIARY OSCYLOGRAFICZNE PRZEBIEGÓW ZMIENNOPRĄDOWYCH

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest : obserwacja na oscyloskopie przebiegów sinusoidalnych prądów i napięć w obwodach zawierających elementy R, L,C : badanie szeregowego układu rezonansowego oraz pomiary oscylograficzne przebiegów łączeniowych w obwodach z cewką indukcyjną lub kondensatorem.

2. Zakres ćwiczenia.

Zakres ćwiczenia obejmuje następujące zagadnienia szczegółowe:

• poznanie danych technicznych i sposobu posługiwania się oscyloskopem dwukanałowym,

• obserwację przebiegów sinusoidalnych prądów i napięć w obwodach zawierających elementy R,L,C,

• wyznaczanie częstotliwości rezonansowej dla danego układu szeregowego L,C metodą analityczną i doświadczalną oraz obserwacja stanu rezonansu na oscyloskopie,

• badanie przebiegów łączeniowych w obwodach z cewką indukcyjną lub kondensatorem oraz wyznaczanie metodą i analityczną stałych czasowych badanych układów

• opracowanie w postaci wykresów czasowych i wektorowych wszystkich obserwowanych przebiegów i wyciągnięcie wniosków z przeprowadzonych badań.

3. Pytanie kontrolne.

1. Zdefiniować podstawowe pojęcia charakteryzujące wielkości sinusoidalnie zmienne: wartość chwilowa, amplituda, okres, częstotliwość, faza początkowa, przesunięcie fazowe.

2. Co to jest wartość skuteczna i wartość średnia prądu przemiennego.

3. Elementy idealne L,R,C w obwodach prądu przemiennego.

4. Podać warunek powstania rezonansu w gałęzi szeregowej R,L,C oraz objaśnić zjawiska zachodzące w stanie rezonansu.

5. Zdefiniować wielkości charakteryzujące obwód rezonansowy.

6. Przebiegi łączeniowe w obwodach z cewką indukcyjną lub kondensatorem.

4. Literatura.

Przeździecki F. : Elektronika i Elektrotechnika

Koziej E. , Sochoń B. : Elektronika i Elektrotechnika.

PWN, Warszawa 1975r.

1. WIADOMOŚCI WPROWADZAJĄCE

1. Wytwarzanie napięcia przemiennego

W elektroenergetyce żródłami napięcia sinusoidalnego są prądnice prądu przemiennego. Najstarszym modelem takiej prądnicy jest zwój wirujący w polu magnetycznym równomiernym ze stałą prędkością kątową / rys. 1 /

Rys. 1. Wirowanie zwoju w równomiernym polu magnetycznym

Największy strumień przenika zwój wówczas , gdy znajduje się on w położeniu prostopadłym do linii pola magnetycznego

gdzie: B - indukcja magnetyczna , l i d - wymiary zwoju.

W dowolnym położeniu zwoju działa nań strumień

gdyż : α=ω*t

Zgodnie z ogólnym prawem indukcji elektromagnetycznej w zwoju indukuje się siła elektromotoryczna

oznaczając
otrzymamy

Skutkiem zaindukowanej sem na zaciskach zwoju pojawi się napięcie

gdzie : e , u - wartości chwilowe sem i napięcia,

,
- wartości maksymalne / amplitudy / sem i napięcia

Wzory powyższe są słuszne również gdy wiruje pole magnetyczne a zwój jest nieruchomy.

2. Przedstawienie wielkości sinusoidalnie zmiennych w postaci wykresów czasowych i wektorowych.

Dowolną wielkość sinusoidalnie zmienną można przedstawić jako wektor wirujący ze stałą prędkością kątową ω wokół swego punktu początkowego / rys. 2 / . Moduł tego wektora równy jest amplitudzie funkcji sinusoidalnej . Osią odniesienia dla wektora wirującego jest oś odciętych , dodatni kierunek wirowania jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara.

Rys.2. Funkcja sinusoidalnie zmienna jako wektor wirujący.

Wektory wirujące nie są wektorami w sensie fizycznym jak np. prędkość czy natężenie pola , lecz są wektorami geometrycznymi na płaszczyżnie zmieniającymi swój kierunek z czasem. Dlatego często nazywa się je wektorami czasowymi , wskazami lub fazorami. Rzut końca wektora na oś rzędnych wyraża wartość chwilową funkcji sinusoidalnej.

Zaletą wektorowej interpretacji funkcji sinusoidalnych jest możliwość przejrzystego przedstawiania na jednym wykresie różnych wielkości elektrycznych i magnetycznych zmieniających się sinusoidalnie z jednakową pulsacją ω , oraz ułatwia wykonywanie operacji matematycznych.

3. Parametry charakteryzujące wielkości sinusoidalnie zmienne

Jednemu obrotowi zwoju odpowiada pełny cykl zmian siły elektromototycznej. Przyjmując , że pełny obrót zwoju odbywa się w czasie T można zapisać

2Π = ω T stąd

gdzie : ω - prędkość kątowa zwoju odpowiadająca pulsacji napięcia przemiennego , w [rad/s]

T - okres funkcji czyli czas trwania pełnego cyklu zmian , po którym przebieg powtarza się

identycznie , w [ s ]

Przyjmując
można wyrażenie
zapisać ω = 2Πf

f - częstotliwość wyrażająca liczbę cykli w jednostce czasu w [ Hz ].

1. Faza początkowa , przesunięcie fazowe.

Zapis
oznacza , że rozpoczynamy obserwację przebiegu funkcji sinusoidalnej w chwili t = 0 gdy u = 0 .

Chwila początkowa , której rozpoczynamy obserwację może nastąpić przy dowolnej wartości funkcji . Stąd konieczność wprowadzenia pojęcia fazy początkowej / lub kąta fazowego / .

Przy analizie funkcji sinusoidalnych różnych wielkości fizycznych niezbędne jest wprowadzenie pojęcia przesunięcia fazowego / rys. 3 /.

Rys . 3 . Faza początkowa prądu i napięcia oraz kąt przesunięcia fazowego.

Podane na rys. 3 przebiegi napięcia i prądu zapisujemy :

,

gdzie :

- faza początkowa / lub kąt fazowy / napięcia .

- faza początkowa / lub kąt fazowy / prądu .

Przesunięcie fazowe prądu względem napięcia jest równe różnicy argumentów napięcia i prądu

O dwóch wielkościach , których przesuniecie fazowe ϕ = 0 mówimy , że są ze sobą w fazie tzw. w tej samej chwili osiągają wartości maksymalne , oraz punkty zerowe .

1.3.2.Wartość skuteczna i wartość średnia

Zmienność sinusoidalną napięć i prądów w czasie różnego rodzaju obliczenia praktyczne . Dlatego też wprowadzono pewne wielkości zastępcze równoważnego prądu stałego . Zależnie od celu obliczeń posługujemy się wartościami skutecznymi i średnimi .

Wartość skuteczną prądu przemiennego nazywamy wartość zastępczego prądu stałego równoważnego prądowi przemiennemu pod względem przenoszonej energji elektrycznej .

czyli :

stąd

i odpowiednio

Wartość średnia prądu przemiennego jest to wartość zastępcza prądu stałego , który w ciągu połowy okresu przenosi taki sam ładunek elektryczny co prąd przemienny .

czyli :

Iśr

Iśr. =

Iśr. =

i odpowiednio Uśr. =

Eśr. =

Stosunek wartości skutecznej do średniej nazywa się współczynnikiem kształtu
.

Dla przebiegów sinusoidalnych wynosi on :

2. ELEMENTY R , L, C W OBWODACH PRĄDU PRZEMIENNEGO .

W analizie obwodów prądu przemiennego dowolny odbiornik można scharakteryzować trzema parametrami : rezystancją R , indukcyjnością L , i pojemnością C . W układach praktycznych parametry te występują łącznie . W rozważaniach teoretycznych wygodnie jest modelować dowolny układ praktyczny , za pomocą odpowiedniego połączenia idealnych elementów R , L , C .

Elementy R , L , C są nazwane idealnymi w tym seansie , że każdy z nich jest wolny od właściwości dwóch pozostałych .

2.1.Opornik idealny R

Rys.4.Opornik idealny w obwodzie prądu przemiennego:

1. schemat połączenia, b) wykres czasowy napięcia i prądu, c) wykres wektorowy

Jeżeli do zacisków o napięciu
zostanie włączony idealny element rezystancji /rys.4 / , to zgodnie z prawem Ohma w obwodzie popłynie prąd

, który ma tę samą fazę początkową co wywołujące go napięcie. Amplituda prądu
, zaś jego wartość skuteczna
. Iloczyn U=IR nazywa się rezystancyjnym spadkiem napięcia lub napięciem czynnym .

2. Cewka idealna L

Rys.5. Cewka idealna w obwodzie prądu przemiennego:

1. schemat połączeń , b) wykres czasowy prądu i napięcia , c) wykres wektorowy

Jeżeli do zacisków o napięciu
zostanie włączona idealna cewka / rys.5 / to przy przepływie prądu i w indukcyjności L będzie się indukować sem samoindukcji

Ponieważ w obwodzie nie występuje rezystancja R , to zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa

zatem
stąd

.

Przebieg prądu jest opóźniony względem napięcia o kąt

.

Wielkość ωL nazywa się reaktancją indukowaną / oporem biernym indukcyjnym /

[ Ω ] .

Ze wzorów powyższych wynika , że

czyli przechodząc do wartości skutecznych

stąd
jest reaktancyjnym spadkiem napięcia / napięcie bierne indukcyjne /.

3. Kondensator idealny C.

Rys.6. Kondensator idealny w obwodzie prądu przemiennego:

1. schemat połączeń , b) wykres czasowy , c) wykres wektorowy

Jeżeli do zacisków o napięciu
włączony zostanie kondensator idealny / rys.6a / to jego okładziny będą na przemian ładowane i rozładowywane. Zmiany ładunku na okładzinach kondensatora wyrażone wzorem

dq = C d u

spowodują przepływ prądu przemiennego

.

Z powyższego otrzymuje się
stąd

.

Prąd płynący w obwodzie wyprzedza napięcie o kąt fazowy
.

Amplituda tego prądu wynosi
.

Zaś wartość skuteczna
.

Wyrażenie
nazywa się reaktancją pojemnościową / oporem biernym pojemnościowym / . Iloczyn
jest napięciem biernym pojemnościowym .

4. Szeregowe połączenia elementów R , L , C .

Wartość chwilowa napięcia na zaciskach połączenia szeregowego R , L ,C równa sumie wartości chwilowych napięć na poszczególnych elementach czyli :

.

Jeżeli przyjmiemy , że prąd płynący przez obwód ma fazę początkową równą zeru

to napięcie przyłożone będzie również funkcją sinusoidalną

.

Wartość skuteczną napięcia oraz kąt przesunięcia fazowego pomiędzy prądem i napięciem można wyznaczyć wykreślnie posługując się wykresem wektorowym / rys.7 / .

Rys.7. Szeregowe połączenie elementów R , L , C :

1. schemat połączeń , b) wykres wektorowy , c) trójkąt oporności

Napięcie wypadkowe zgodnie z wykresem będzie :

lub
.

Wielkość
nazywa się impedancją lub oporem pozornym

gałęzi szeregowej R , L , C . Prawo Ohma dla tego obwodu przybiera postać :

.

Reaktancja gałęzi wynosi

,

a kat przesunięcia fazowego

.

Łatwo zauważyć , że wszystkie wektory napięcia są proporcjonalne do prądu I płynącego w gałęzi szeregowej .

Jeżeli więc wektory napięcia podzielić przez prąd i to powstanie nowy trójkąt / rys.7c / przedstawiający w nowej skali gałęzi .

W zależności od znaku reaktancji rozróżnia się trzy przypadki :

1. X > 0 ,
   - obwód ma charakter indukcyjny , napięcie wyprzedza prąd

2. X < 0 ,
   - obwód ma charakter pojemnościowy , prąd wyprzedza napięcie

3. X = 0 ,
   - obwód ma charakter rezystancji , prąd i napięcie są ze sobą w fazie występuj zjawisko rezonansu szeregowego .

2.5.Rezonans szeregowy .

Rezonansem szeregowym nazywamy taki stan obwodu /rys.7a / , w którym reaktancja jest równa zeru, czyli
, wówczas
. Przyjmując ,że
otrzymamy

stąd pulsacja rezonansowa

.

Rys. 8. Wykres wskazowy i czasowy obwodu szeregowego połączenia elementów R , L , C będącego w stanie rezonansu

Ze względu na to , że w stanie rezonansu szeregowego połączenia elementów R , L , C mamy
, czyli występuje równoważenie się napięć na cewce i kondensatorze , rezonans w tym obwodzie nazywa się rezonansem napięć .

Przy pewnych wartościach rezystancji R , indukcyjności L i pojemności C napięcia
i
mogą przybierać stosunkowo duże wartości , mimo że napięcie U zasilające układ jest niewielkie . Mówimy wówczas , że w obwodzie występują przepięcia .

W celu analizy zjawisk energetycznych w cewce i kondensatorze przyjmujemy , że w rozpatrywanym połączeniu płynie prąd
. Wartość chwilowa energii zawartej w polu magnetycznym cewki

.

Napięcie na kondensatorze jest opóźnione względem prądu o
, wobec czego

,

a wartość chwilowa energii zawartej w polu elektrycznym kondensatora

Suma energii
i
w stanie rezonansu rozpatrywanego obwodu

bowiem

.

Ponieważ w stanie rezonansu suma energii
i
jest wielkością stałą , więc energia
wzrasta gdy maleje
i odwrotnie , energia
maleje gdy
wzrasta . Oznacza to , że w stanie rezonansu występuje wymiana energii między polem magnetycznym cewki , a polem elektrycznym kondensatora .

Z warunku rezonansu /
/ wynika , że układ można doprowadzić do stanu rezonansu poprzez regulację częstotliwości napięcia zasilającego , albo zmianę parametrów L lub C .

Rys.9. Charakterystyki częstotliwości X_L , X_C , Z , R , I .

Wielkościami charakteryzującymi obwód rezonansowy są impedancja falowa ρ , dobroć obwodu Q oraz współczynniki rozstrojenia bezwzględnego ξ i względnego δ .

Dobrocią obwodu Q nazywamy stosunek napięcia indukcyjnego lub pojemnościową do napięcia na zaciskach obwodu .

ponieważ

czyli

.

Uwzględniając impedancję falową otrzymamy :

.

Z czego wynika , że dobroć obwodu rezonansowego jest tym większa im rezystancja jest mniejsza .

Należy się wówczas liczyć ze zjawiskiem przepięciowymi , ponieważ napięcia na elementach reaktancyjnych znacznie przewyższają napięcie zasilające .

3. STANY NIEUSTALONE W OBWODACH Z CEWKĄ INDUKCYJNĄ LUB KONDENSATOREM / PROCESY ŁĄCZENIOWE / .

Cechą charakterystyczną zjawisk opisanych w poprzednich rozdziałach instrukcji była sinusoidalna zmienność napięć i prądów w obwodach , wymuszona przez generatory napięć przemiennych . Tego rodzaju stan obwodów nazywamy ustalonym .

W obwodach elektrycznych różnego rodzaju zaburzenie wywołane czynnikami zewnętrznymi , jak zamkniecie lub otwarcie wyłącznika , zwarcie części obwodu itp. . Wskutek działania takich czynników obwód zostaje wyprowadzony ze stanu równowagi - mówimy wówczas , że w obwodzie wystąpił stan nieustalony / lub przejściowy / . Przykładami takich stanów nieustalonych mogą być przebiegi łączeniowe w obwodach z cewką indukcyjną lub kondensatorem .

1. Przebiegi łączeniowe w obwodzie z kondensatorem .

Rys. 10 . Ładowanie /pozycja 1 przełącznika P. / i rozładowanie / pozycja 2 przełącznika P. / kondensatora .

Włączenie kondensatora C za pośrednictwem rezystancji R do sieci prądu stałego o napięciu U / rys. 10 / / poz. 1-P. / powoduje przepływ prądu ładowania / rys. 11 / .

dzięki czemu na okładzinach kondensatora gromadzi się ładunek q.

Ze wzrostem ładunku wzrasta na kondensatorze napięcie
skierowane przeciwnie do U . Z chwilą gdy
osiągnie wartość U /
= U /, prąd przestaje płynąć .

Prąd ładowania jest proporcjonalny do prędkości zmian napięcia na kondensatorze

z równań powyższych wynika , że :

Rozwiązując powyższe równania i przyjmując , że w chwili t = 0 ,
= 0 otrzymuje się

Prąd ładowania kondensatora

Podczas ładowania kondensatora prąd w obwodzie maleje od wartości początkowej i = U / R / przy t = 0 / do i = 0 / przy t =
/ , a następnie na kondensatorze rośnie od wartości
=0 / przy t = 0 / do wartości
= U / przy t =
/ . Naładowany kondensator stanowi przerwę w obwodzie .

Rys. 11 . Przebiegi napięcia i prądu podczas ładowania kondensatora .

Zmieniając położenie przełącznika P. / poz. 2 - P. / powodujemy rozładowanie kondensatora przez rezystancję R .

Prąd rozładowania / rys. 12 /

i = - C

znak `' - `' oznacza , że ładunek maleje .

Napięcie na kondensatorze przy poz. 2- P. przełącznika jest

Z równań powyższych otrzymuje się

Rozwiązując powyższe równania mamy :

Zarówno prąd jak i napięcie jest opisane zanikającą funkcją wykładniczą.

Rys . 12 . Przebieg napięcia i prądu podczas rozładowania kondensatora .

Czas ładowania i rozładowania jest zależny od rezystancji i pojemności obwodu i jest wyrażony przez

stałą czasową
.

Stałą czasową można wyznaczyć graficznie rysując styczną do krzywej wykładniczej .

3 .2. Przebiegi łączeniowe w obwodzie z cewką indukcyjną .

Rys. 13 . Zał. / poz. 1 - P. / i wyłączanie / poz. 2 - P. / obwodu z indukcyjnością .

Jeżeli do obwodu zawierającego szeregowe połączenie R L /rys . 13 / przyłączymy źródło napięcia

/ poz. 1 - P. / to po pewnym czasie natężenie prądu ustali się na poziomie

Prąd nie osiąga tej wartości od razu ponieważ jego narastaniu przeciwstawia się sem samoindukcji

.

Z drugiego prawa Kirchhoffa wynika , że :

Rozwiązaniem tego równania jest

gdzie :
- stała czasowa obwodu , która wynosi

Po załączeniu zasilania obwodu z indukcyjnością prąd narasta wykładniczo tym szybciej im mniejsza jest stała czasowa obwodu /rys. 14a / .

Jeżeli obwód zostanie zwarty /poz. 2 - P. / to należy przyjąć U = 0 , a wówczas

Uwzględniając , że t = 0 ,

rozwiązaniem równania powyższego jest :

Oznacza to , że w zwartym obwodzie z cewką indukcyjną prąd nie zanika natychmiast lecz maleje według krzywej wykładniczej /Rys. 14b./

Rys . 14 . Przebiegi łączeniowe w obwodzie z indukcyjnością.

1. narastanie prądu przy włączaniu napięcia, b) zanikanie prądu przy zwarciu obwodu

Z powyższych rozważań wynika , że indukcyjność L przeciwstawia się gwałtownej zmianie prądu w obwodzie , tak jak pojemność C przeciwstawia się gwałtownej zmianie napięcia.

4. WYKONANIE ĆWICZENIA

4.1 Obserwacja przebiegów sinusoidalnych prądów i napięć w obwodach zawierających elementy

R , L , C / rys. 15 / .

Obwód z rezystancją R.

Rys. 15. Schemat ideowy układu połączeń do obserwacji przebiegów na rezystancji.

Zewrzeć zworami punkty 3-4 i 5-6 obwodu.

Ustawić częstotliwość napięcia generatora akustycznego f = 500Hz.

Kanał A oscyloskopu - obserwacja napięcia.

Kanał B oscyloskopu - obserwacja prądu / ponieważ oscyloskop posiada tylko wejścia napięciowe więc przebiegi prądu modeluje się spadkiem na rezystancji pamiętając , że jest on w fazie z prądem /.

Obwód z cewką indukcyjną / rys. 16 /

Rys. 16 . Schemat ideowy układu połączeń do obserwacji przebiegów na indukcyjność

Zewrzeć zworą punkty 3 - 4 obwodu.

Ustawić częstotliwość f = 500Hz.

Obwód z pojemnością C /rys. 17 / .

Rys. 17 . Schemat ideowy układu połączeń do obserwacji przebiegów na pojemność.

Zewrzeć zworą punkty 5 -6

Ustawić częstotliwość f = 500Hz.

Obwód R , L , C .

Powtórzyć pomiary jak wyżej bez zwierania elementów

Badanie obwodu rezonansowego L , C / rys. 18 / .

Rys. 18. Schemat ideowy układu połączeń do obserwacji i pomiarów zjawiska rezonansu.

a) Dokonać obserwacji przebiegów napięć i prądu / przełączając kanał B na zaciski 7 - 8 / przy częstotliwościach:

f = 2000Hz i f = 500Hz

b) Obliczyć częstotliwość rezonansową gałęzi szeregowej L C

f

Ustawić obliczoną częstotliwość f
i dokonać obserwacji przebiegów napięć U
.

c) Regulując częstotliwość napięcia generatora akustycznego doprowadzić do pełnego rezonansu.

Porównać częstotliwość fr i fc i wyciągnąć wnioski .

d) Obliczyć spadki napięć na cewce i kondensatorze .

w stanie rezonansu , porównać je z napięciem zasilającym i wyciągnąć wnioski.

Rezystancja cewki
.

4.2 Przebiegi łączeniowe w obwodach z cewką indukcyjną lub kondensatorem

Obwód z cewką indukcyjną L / rys.19 /

Przełączniki / 30 / i / 42 / oscyloskopu ustawić w pozycji DC.

kanał A - obserwacja napięcia, kanał B - obserwacja prądu, GFP - generator fali prostokątnej

Rys.19. Schemat ideowy układu do obserwacji procesów łączeniowych z indukcyjnością.

Przed połączeniem powyższego układu uruchomić GFP, połączyć wyjście generatora z dowolnym kanałem oscyloskopu , ustawić
oraz tak zsynchronizować oscyloskop, aby na ekranie widoczne były około dwa okresy impulsów prostokątnych.

Dokonać obserwacji i obliczeń dla danych przedstawionych w tablicy.

	f gen	L	R	τ	τ'	skala
Pomiar	Hz	H	Ω	s	s	kanał A	kanał B	zakres podstawy czasu
						V/cm	V/cm	czas/cm
1	100	0,5	100
2	100	0,5	500
3	100	0,5	100

τ- stała czasowa obliczona ze wzoru τ=

τ'- stała czasowa wyznaczona metodą graficzną.

Obwód z kondensatorem C / rys. 23 /

kanał A - obserwacja napięcia, kanał B - obserwacja prądu

Rys. 23 . Schemat ideowy układu do obserwacji procesów łączeniowych z kondensatorem.

Dokonać obserwacji i obliczeń dla następujących danych:

	f gen	L	R	τ	τ'	skala
Pomiar	Hz	H	Ω	s	S	kanał A	kanał B	zakres podstawy czasu
						V/cm	V/cm	czas/cm
1	100	0,5	10
2	100	0,5	2
3	100	0,1	10

τ - stała czasowa obliczona ze wzoru τ = RC

τ'- stała czasowa wyznaczona metodą graficzną .

Wszystkie obserwowane przebiegi należy przedstawić w postaci wykresów czasowych i wektorowych narysowanych w odpowiedni przyjętej skali.

Politechnika Warszawska - Instytut IMUR w Płocku, Laboratorium Elektrotechniki

6

---