W Y K Ł A D 5

UKŁADY TRÓJFAZOWE

(13.1)

.

Układ trójfazowy, w którym napięcia fazowe e_A, e_B, e_C opisane są równaniem (13.1), nosi nazwę układu kolejności zgodnej.

.

(13.2)

(13.3)

E_A + E_B + E_C = 0.

Rys.13.1. Napięcia źródłowe wytwarzane w symetrycznej prądnicy trójfazowej: a) przebiegi chwilowe dla poszczególnych faz; b) wykres wektorowy

W zależności od skojarzenia generatora i odbiornika rozróżniamy układ trójfazowy: gwiazda - gwiazda, trójkąt - gwiazda, gwiazda - trójkąt, trójkąt - trójkąt.

13.1. Analiza układu trójfazowego gwiazda - gwiazda

Rys.13.2. Układ trójfazowy gwiazda-gwiazda bez przewodu zerowego

Napięcia E_A, E_B, E_C nazywamy napięciami fazowymi generatora, a napięcia U_A, U_B, U_C nazywamy napięciami fazowymi odbiornika. Prądy płynące w fazach generatora i odbiornika w tym przypadku nazywamy prądami liniowymi (fazowymi) I_A, I_B, I_C. Impedancje Z_A, Z_B, Z_C, tworzą gwiazdę impedancji odbiornika. Napięcia między przewodami fazowymi nazywamy napięciami międzyfazowymi lub napięciami liniowymi i oznaczamy je przez U_AB, U_BC, U_CA.

(13.4)

Rys.13.3. Wykres wektorowy napięć fazowych

i napięć międzyfazowych symetrycznego

generatora trójfazowego

I_A = Y_A U_A, I_B = Y_B U_B, I_C = Y_C U_C.

U₀ (Y_A+Y_B+Y_C) =Y_AE_A + Y_BE_B + Y_CE_C , stąd
. (13.9)

Jeżeli Y_A=Y_B=Y_C=Y, to

.

Układ trójfazowy, dla którego U₀ = 0, nosi nazwę układu symetrycznego.

Rys.13.4. Wykres wektorowy napięć fazowych generatora i odbiornika oraz prądów dla układu trójfazowego symetrycznego trójprzewodowego przy połączeniu gwiazda-gwiazda

Mocy czynna odbiornika

P_O = P_OA + P_OB + P_OC = U_A I_A cosϕ_OA + U_B I_B cosϕ_OB + U_C I_C cosϕ_OC ,

gdzie: ϕ_OA, ϕ_OB, ϕ_OC - oznaczają kąty fazowe pomiędzy napięciem fazowym odbiornika a prądem fazowym odbiornika dla poszczególnych faz.

Moc symboliczna odbiornika

. (13.13)
Moc bierna odbiornika

Q_O = Q_OA + Q_OB. + Q_OC = U_AI_Asinϕ_OA + U_BI_Bsinϕ_OB. + U_CI_Csinϕ_OC .(13.15)

. (13.18)

Rys.13.5. Układ trójfazowy gwiazda-gwiazda z przewodem zerowym (neutralnym)

Jeżeli Y_A ≠ Y_B ≠ Y_C, to mamy układ niesymetryczny i wówczas

I_A + I_B + I_C = I₀ . (13.19)

Jeżeli impedancja przewodu neutralnego jest równa zero (Y₀ = ∞ ), to U₀ = 0 i odpowiednie napięcia fazowe źródła i odbiornika są sobie równe. Jeżeli mamy do czynienia z układem symetrycznym, tzn. gdy spełniony jest warunek Y_A = Y_B = Y_C = Y, to bez względu na to, czy istnieje przewód zerowy, czy nie, to dla prądów spełniona jest zależność

I_A + I_B + I_C = 0 . (13.20)
Równania mocy dla układu przedstawionego na rys.13.5 mają postać:

• dla odbiornika

, (13.21)

, (13.22)

. (13.22a)

13.3. Analiza układów mieszanych

Rys.13.7. Układ trójfazowy mieszany: generator połączony w gwiazdę, odbiornik w trójkąt

(13.25)

Prądy przewodowe obliczamy jako różnicę odpowiednich prądów fazowych

(13.26)

13.4. Pomiar mocy czynnej biernej i pozornej w układach trójfazowych

13.4.1. Pomiary w układach symetrycznych

Rys.13.9. Pomiar mocy czynnej w układzie trójfazowym symetrycznym czteroprzewodowym

Dla rozpatrywanego układu spełnione są również równości:

, (13.35)

. (13.36)

Rys. 13.10. Wykres wektorowy prądów i napięć dla układu trójfazowego symetrycznego

.
,

Moc pozorną pobieraną przez odbiornik wyznaczymy z zależności

. (13.43)

13.4.2. Pomiary w układach trójfazowych niesymetrycznych

Rys.13.14. Pomiar mocy czynnej w układzie trójfazowym niesymetrycznym czteroprzewodowym

. (13.44)

. (13.45)
+

Rys.13.16. Pomiar mocy czynnej w układzie trójfazowym trójprzewodowym za pomocą dwóch watomierzy (układ Arona)

. (13.50)

, jak również
, stąd
. (13.51)

, (13.52)
gdzie:

Re{S} = P = P₁ + P₂ =U_ACI_Acos< (U_AC, I_A) +U_BCI_Bcos< (U_BC, I_B), (13.53)

Im{S} = Q = Q₁ + Q₂ =U_ACI_Asin< (U_AC, I_A) +U_BCI_Bsin< (U_BC, I_B). (13.54)

Rys.13.17. Wykres wektorowy prądów i napięć dla układu z rys.13.16

Rys.13.18. Wykres wektorowy prądów i napięć dla układu z rys.13.16 przy założeniu, że ZA=ZB=ZC

,
.

. (13.57)

Rys.13.19. Przebiegi względnych (odniesieniu do iloczynu
) wskazań watomierzy P₁ i P₂ oraz ich sumy
w funkcji kąta fazowego φ odbiornika symetrycznego

.
, a stąd
.

(13.60)

. (13.61)

TRANSFORMATORY

1.1. Transformator jednofazowy

1.1.1. Zasada działania

Rys.1.1. Transformator jednofazowy

 otrzymuje się

.

. (1.1)

(1.1a)

. (1.1b)

U₁ = E₁, a U₂ = E₂.

. (1.2)

.

Ponieważ
oraz
, stwierdzamy, że

. (1.3)

1.1.2. Budowa transformatora

Rys.1.2. Rodzaje transformatorów: a) transformator rdzeniowy, b) transformator płaszczowy

Rys.1.3. Uzwojenia: a) cylindryczne, b) krążkowe; 1 - uzwojenie górnego napięcia, 2 - uzwojenie dolnego napięcia

Na tabliczce znamionowej transformatora podaje się:

• przekładnię ϑ, jako stosunek napięcia górnego do dolnego,

• prądy znamionowe I_1n oraz I_2n,

• znamionową moc pozorną S_n,

• napięcie zwarcia u_z%.

1.1.3. Stan jałowy transformatora

Stan jałowy występuje przy wyłączonych odbiornikach. Wtedy prąd w uzwojeniu wtórnym równy jest zeru (I₂ = 0).

U₁ = E₁ , U₂ = E₂ .

I₀ = I_μ + I_Fe .

Składowa bierna I_μ jest związana z wytwarzanym w rdzeniu strumieniem magnetycznym, a składowa czynna I_Fe z pobieraną w stanie jałowym mocą czynną.

Moc ta zużywana jest głównie na pokrycie strat w rdzeniu ferromagnetycznym, spowodowanych histerezą i prądami wirowymi. Straty mocy w uzwojeniach (tzw. straty w miedzi ΔP_Cu) są w stanie jałowym pomijalnie małe z uwagi na małą wartość prądu jałowego.

Straty mocy w żelazie ΔP_Fe są natomiast niezależne od obciążenia i praktycznie są takie same w stanie jałowym, jak i przy obciążeniu transformatora.

Prawie cała moc P₀ pobierana przez transformator w stanie jałowym zużywana jest na pokrycie strat w żelazie, zatem

. (1.6)

Moc ta dzieli się na straty na histerezę i straty na prądy wirowe

, (1.7)

gdzie: f - częstotliwość,

B_m - wartość maksymalna

indukcji magnetycznej,

k₁, k₂ - stałe współczynniki.

Rys.1.4. Wykres wektorowy stanu jałowego transformatora

1.1.4. Stan obciążenia transformatora

Rys.1.5. Stan obciążenia transformatora

oraz
, (1.8)

oraz
, (1.9)

. (1.10)

. (1.11)

Rzeczywisty model obwodowy transformatora można przedstawić za pomocą schematu zastępczego (rys.1.6).

Rys.1.6. Schemat zastępczy transformatora w stanie obciążenia

, (1.12)

Podobnie sprowadza się na stronę pierwotną pozostałe wielkości strony wtórnej:

• napięcie

, (1.13)

• prąd

, (1.14)

• spadki napięcia

, (1.15)

gdzie

(1.16)
, (1.17)

. (1.18)

Rys.1.7. Schemat zastępczy transformatora z wielkościami obwodu wtórnego sprowadzonymi na stronę pierwotną: R_Fe - rezystancja strat w żelazie,
; X_μ - reaktancja związana ze strumieniem głównym Φ, w której indukuje się siła elektromotoryczna

Sprowadzenie parametrów obwodu wtórnego na stronę pierwotną bardzo upraszcza sporządzenie wykresu wektorowego transformatora. Na rys.1.8 przedstawiono taki wykres dla najczęściej występującego obciążenia o charakterze rezystancyjno-indukcyj-nym. (Trójkąty spadków napięć po stronie pierwotnej i wtórnej ze względu na czytelność wykresu są narysowane przesadnie duże. W rzeczywistym układzie transformatora są nieporównywalnie mniejsze).

Rys.1.8. Wykres wektorowy transformatora dla

obciążenia rezystancyjno - indukcyjnego

Wykres wektorowy rysuje się rozpoczynając od wektorów
i
przesuniętych względem siebie o kąt ϕ₂, zależny od rodzaju obciążenia. Następnie, zgodnie z równaniem (1.11) należy dodać do wektora
wektory spadków napięć

oraz
. Obydwa te spadki napięć tworzą trójkąt spadków napięć strony wtórnej. W ten sposób wyznacza się
. Z kolei prostopadle do
, z kątem opóźnienia π/2, kreśli się wektor Φ. Równolegle do Φ rysuje się prąd I_μ , prostopadle I_Fe. Prąd I₀ zgodnie z równaniem (1.5) jest sumą I_μ oraz I_Fe. Wektor prądu I₁ znajduje się jako sumę I₀ i
. Teraz do E₁ należy dodać spadki napięć
oraz jX_r1 I₁ (które tworzą trójkąt spadków napięć strony pierwotnej), aby wyznaczyć wektor U₁ zgodnie z równaniem (1.10).

Na wykresie tym nie zachowano również właściwych proporcji, jeśli chodzi o moduły wektorów prądów. W rzeczywistości
.

Ze schematu zastępczego (rys.1.7) wynika, że

. (1.19)

Każda zmiana prądu
wywołana zmianą obciążenia transformatora pociąga za sobą proporcjonalną zmianę prądu I₁ przy niezmienionej wartości prądu I₀. Przy dużym obciążeniu transformatora prąd jałowy jest pomijalnie mały w stosunku do prądów I₁ i
, można więc przyjąć, że
. Dzięki stałości prądu I₀ wartość strumienia magnetycznego Φ jest stała i praktycznie niezależna od obciążenia.

Przy zasilaniu transformatora napięciem o stałej wartości skutecznej U₁ = const wskutek występowania omówionych spadków napięć zmienia się napięcie wtórne
w zależności zarówno od wartości prądu obciążenia, jak i charakteru obciążenia, określonego współczynnikiem mocy cosϕ₂. Jak łatwo zauważyć na wykresie (rys.1.8), dla obciążenia rezystancyjno-indukcyjnego występuje spadek napięcia wtórnego. Można udowodnić, że analogiczne zależności występują dla obciążenia rezystancyjnego, natomiast przy obciążeniu rezystancyjno-pojemnościowym (a także pojemnościowym) występuje wzrost napięcia wtórnego.

Zależności te przedstawiają (rys.1.9) charakterystyki zewnętrzne transformatora
przy cosϕ₂ = const, a także U₁ = const i f = const. Przy obciążeniu znamionowym (prąd I_2n) spadek lub wzrost napięcia U₂ jest rzędu kilku procent wartości znamionowej U_2n.

Rys.1.9. Charakterystyki zewnętrzne transformatora

1.1.5. Stan zwarcia transformatora

Stan zwarcia transformatora występuje wtedy, gdy jedno z uzwojeń zasilane jest ze źródła energii, a zaciski drugiego są bezpośrednio zwarte. Odpowiada to wartości Z_od = 0 (rys.1.5).

Jeżeli uzwojenie pierwotne jest równocześnie zasilane napięciem o wartości znamionowej
, to takie zwarcie jest zwarciem awaryjnym. W obu uzwojeniach popłyną wtedy duże prądy zwarciowe I_1z i I_2z wielokrotnie przekraczające wartości znamionowe I_1n i I_2n. Zwarcie awaryjne jest niebezpieczne dla transformatora, gdyż duża ilość ciepła - proporcjonalna do kwadratu prądu, wydzielana w uzwojeniach może spowodować jego zniszczenie (spalenie).

Do celów pomiarowych stan zwarcia realizuje się obniżając znacznie wartość napięcia przyłożonego do uzwojenia zasilanego, tak aby prądy w obu uzwojeniach nie przekraczały wartości znamionowych. Dokonuje się wtedy pomiaru ważnego parametru transformatora, jakim jest napięcie zwarcia U_z.

Napięciem zwarcia transformatora nazywa się napięcie, które należy doprowadzić do jednego z uzwojeń przy zwarciu uzwojenia drugiego, aby w uzwojeniu zasilanym płynął prąd znamionowy.

Napięcie zwarcia jest wyrażane zwykle w procentach napięcia znamionowego

. (1.20)

Napięcie zwarcia można określać dla każdej ze stron transformatora, przy czym procentowe wartości napięcia zwarcia są dla obu stron jednakowe.

Napięcie zwarcia jest jednym z charakterystycznych parametrów transformatora, podawanym w katalogach i na tabliczkach znamionowych transformatorów. Od jego wartości zależy wartość prądu przy zwarciu, spadek napięcia przy obciążeniu transformatora, jak również przydatność do pracy równoległej z innymi transformatorami.

Napięcie zwarcia wynosi od kilku do kilkunastu procent napięcia znamionowego.

Przy zwarciu awaryjnym prąd zwarcia I_z jest tyle razy większy od prądu znamionowego transformatora, ile razy napięcie znamionowe jest większe od napięcia zwarcia. Przykładowo, dla uzwojenia pierwotnego

. (1.21)

. (1.22)

Pomiar mocy czynnej pobieranej przez transformator w stanie zwarcia pozwala na wyznaczenie strat w uzwojeniach transformatora, nazywanych stratami w miedzi ΔP_Cu. Ponieważ napięcie jest wtedy znacznie obniżone, więc strumień, a zatem i indukcja w żelazie rdzenia są niewielkie. Zatem straty ΔP_Fe proporcjonalne do kwadratu indukcji są pomijalnie małe. Cała moc P_z pobierana przez transformator w stanie zwarcia zużywana jest więc na pokrycie strat ΔP_Cu

. (1.23)

Podana zależność (1.23), uwzględniająca znamionowe wartości prądów I_1n i I_2n, dotyczy znamionowej wartości strat w uzwojeniach ΔP_Cun , co ma miejsce przy zasilaniu transformatora napięciem zwarcia U_z1. Przy zasilaniu napięciem niższym popłyną mniejsze prądy i wartość strat ΔP_Cu będzie odpowiednio mniejsza. Straty w uzwojeniach transformatora są zależne od obciążenia.

1.1.6. Sprawność transformatora

, (1.24)

czyli stosunek mocy czynnej pobieranej z uzwojenia wtórnego do mocy czynnej dostarczonej do uzwojenia pierwotnego. Uwzględniając omówione w p.1.1.3 oraz w p.1.1.5 straty w żelazie ΔP_Fe i straty w miedzi ΔP_Cu otrzymuje się

. (1.24a)

Z uwagi na niewystępowanie w transformatorach strat mechanicznych oraz strat wzbudzenia ich sprawność jest bardzo wysoka. Zawiera się w granicach od 0,92 dla transformatorów małej mocy, do 0,99 dla transformatorów o mocy S_n = 100 MV⋅A. Pozwala to na stosowanie w układach elektroenergetycznych wielokrotnej transformacji.

Aby transformator miał maksymalną sprawność przy średnim obciążeniu, należy odpowiednio dobrać stosunek ΔP_Fe/ΔP_Cu. Warunek ten jest spełniony, jeżeli przy średniej wartości prądu obciążenia ΔP_Fe ≈ ΔP_Cu.

1.3. Autotransformator

W przypadkach gdy przekładnia transformatora mało różni się od 1, a nie zachodzi potrzeba odizolowania od siebie uzwojeń pierwotnego i wtórnego, ekonomiczne jest zastosowanie autotransformatora.

Autotransformator jest to taki transformator, w którym uzwojenie dolnego napięcia stanowi część uzwojenia górnego napięcia.

Autotransformator ma tylko jedno uzwojenie, z którego są wyprowadzone na zewnątrz trzy zaciski: dwa z końców uzwojenia, a trzeci z dobranego odpowiednio do żądanego napięcia punktu ze środka uzwojenia (rys.1.14).

Rys.1.14. Autotransformator: a) obniżający napięcie (U₂<U₁), b) podwyższający napięcie (U₂>U₁)

Autotransformator może służyć zarówno do podwyższania, jak i obniżania napięcia, w zależności od tego, do których zacisków jest doprowadzone napięcie zasilające. W układzie na rys.1.14a napięcie U₁ doprowadzane jest do zacisków AB połączonych z końcami uzwojenia, a odbiornik przyłączony do zacisków CB. Jeżeli liczba zwojów między zaciskami AB wynosi z₁, a między zaciskami CB - z₂, to podobnie jak w transformatorze dwuuzwojeniowym
. Oszczędność w budowie autotransformatorów polega na tym, że występuje tu tylko jedno uzwojenie, a ponadto przez część tego uzwojenia płynie tylko różnica prądów pierwotnego i wtórnego, więc może ono być wykonane z przewodu o mniejszym przekroju. W układzie z rys.1.14a dopływający z sieci prąd I₁ przepływa przez część uzwojenia o liczbie zwojów (z₁ - z₂), a przez część o liczbie zwojów z₂ przepływa prąd (I₁ - I₂).

Ponadto wymiary rdzenia są mniejsze niż w transformatorze dwuuzwojeniowym o tej samej mocy znamionowej.

W laboratoriach powszechnie używa się specjalnego typu autotransformatora, w którym, wykonany jako ruchomy, punkt C ślizga się po uzwojeniu pozbawionym w tym celu izolacji na pewnej niezbędnej powierzchni. Pozwala to na uzyskiwanie płynnie regulowanego napięcia na wyjściu z autotransformatora.

Autotransformatory wykonuje się również jako trójfazowe.

1

15

i_A(t) + i_B(t) + i_C(t) = 0

I_A + I_B + I_C = 0 .

U_A = E_A - U_N'N = E_A - U₀ ,

U_B = E_B - U_N'N = E_B - U₀ ,

U_C = E_C - U_N'N = E_C - U_{0 .}

---