Ciecze lepkie

Do cieczy lepkich zaliczamy ciecze izotropowe w ogólności ściśliwe, w których dewiator naprężenia jest różny od zera i jest liniową funkcją dewiatora prędkości odkształcenia.

Współczynnik lepkości postaciowej

s_ij=2*μ*e_ij^.

e_ij^.=(1/2)*((∂v_i/∂ξ_j)+(∂v_j/∂ξ_i)-(1/3)*(∂v_i/∂ξ_j)

Definicja tensora odkształcenia Eulera

σ_ij=-p*δ_ij+λ*v_l,l*δ_ij+2*μ*η_ij^.

λ-współczynnik lepkości odkształcenia objętościowego

η_ij^.-tensor prędkości deformacji

σ=-p+λ*v_l,l+(2/3)*μ*v_l,l

σ=-p+λ'*v_l,l

λ'-współczynnik lepkości objętościowej

λ'=λ+(2/3)*μ

Równania Navera-Stokesa

ρ*(dv_i/dt)=-p_,i+ρ*x_i+(λ+μ)*v_l,li+μ*∇²*v_i -zapis wektorowy

ρ*v^.=ρ*x-gradp+(λ+μ)*graddivv+μ*∇²*v

Równania ciągłości masy Eulera

d/dt(lnρ)+v_i,i=0

d/dt(lnρ)+divv=0 -wektorowo

Ciecz lepka nieściśliwa

Moc naprężeń w jednostce objętości

σ_ij*η_ij^.=-p*v_l,l+λ*(v_l,l)²+2*η_ij^.* η_ij^.*μ

Bilans entropii

du/dt=(p/ρ)*(dρ/dt)+T*(ds_r/dt)

T*(ds_r/dt)=λ*(v_l,l)²+2*μ*η_ij^.* η_ij^.=ρ*ℵ^.

Funkcja rozproszenia energii dla ośrodka nieściśliwego

T*(ds_r/dt)=2*μ*e_ij^.*e_ij^.=ρ*ℵ^.

Z definicji przy takich samych założ. dla ośrodka nieściśliwego

s_ij=∂x₀^./∂e_ij^.

x₀^.=(1/2)*T*(ds_w/dt)=v

Przy założ. liniowości związków naprężenia mogą być zamienione na ciepło

du/dt=T*(ds_v/dt)=-q_i,i+r

T*(ds_v/dt)=ρ*c_v*(dT/dt)

Równanie przewodnictwa - prawo Fonera

-q_l,l=λ_T*∇²*T

ρ*c_v*(dT/dt)=λ_T*∇²*T+2*μ*e_ij^.*e_ij^.

Kinematyczny współczynnik lepkości

ν=μ/ρ

Równanie przewodnictwa cieplnego

dT/dt=Η*∇²*T+(ν/c_v)*v_i,j*v_i,j

Równanie ruchu nie zawiera divergencji bo div=0

| dv_i/dt=x_i-(1/ρ₀)*p_,i+ν*∇²*v_i

| ρ=ρ₀=const

| v_i,i=0

Jeżeli μ=μ(T) - funkcja temperatury

dv_i/dt=x_i-(1/ρ₀)*p_,i+ν*∇²*v_i+2*ν'*e_ij^.*T_,j

ν'=(1/ρ₀)*dμ/dT

Równanie elipsy

(e_ij)²/(e_ij^.)²=(s_ij)²/(2*μ*ω*e_ij^.)=1

Pole elipsy

F=π*2*μ*ω*e_ij^.*e_ij^.

Praca wykonana na jeden cykl

F=2*π*μ*ω*(e_ij^.)²

Ciało stałe sprężyste

Ciałem doskonale sprężystym nazywamy ośrodek dla którego stan naprężenia w danej chwili t zależy tylko i wyłącznie od stanu odkształcenia w tej samej chwili w danym punkcie.

1.Zakładamy że ośrodek jest jednorodny

2.Jest izotropowy

3.Przyjmujemy teorię małych odkształceń

u_i,j-odkształcenie

|u_i,j|<<1

4.Σ(m) ρ*ℵ_m^.=0

5.Bilans entropii

T*(ds./dt)=(du/dt)-σ_ij*ε_ij^.=-q_l,l

(du/dt)=σ_ij*ε_ij^.-q_l,l

(du/dt)-T*(ds/dt)=σ_ij*ε_ij^.

Energia Hoholca

Ψ=u-T*s

dΨ/dt=σ_ij*ε_ij^.-s*T^.

Funkcja stanu

∂Ψ/∂ε_ij=σ_ij ; ∂Ψ/∂T=-s

s-entropia

Postać rozwinięta z uwzględnieniem temperatury

Ψ=(1/2)*λ*e²+μ*ε_ij*ε_ij+a₁*Θ+a₂*Θ²

σ_ij=2*μ*ε_ij+(λ*e+a₁*Θ)*δ_ij

Moduł odkształcenia objętościowego K

K=λ+(2/3)*μ

Równanie przewodnictwa cieplnego

∇²*Θ-a*e^.=(1/Η)*Θ^.

A=(3*λ_T*k*T₀)/(ρ*c_v*Η)

Η=λ_T*ρ*c_v

Opis Lagrange'a bo małe przemieszczenia

σ_ij,j+ρ*x_i=ρ_ii

ε_ij=(1/2)*(u_i,j+u_j,i)

Układ sprzężonej termosprężystości Dahameta-Neumana

μ*∇²*u_i+(λ+μ)*e_,i+ρ*x_i=ρ*u_i^..+k*Θ_i k=3*α_T*K

μ*∇²*u+(λ+μ)*graddivu+ρ*x=ρ*u^..+k*gradΘ

Szczególne przypadki liniowej teorii sprężystości

Układ sprzężonej sprężystości

| μ*∇²*u_i+(λ+μ)*e_,i+ρ*x_i=ρ*u_i^..+k*Θ_,i

| ∇²*Θ-a*e^.=(1/Η)*Θ^.

Układ sprężony

-pomijamy e

∇²*Θ=(1/Η)*Θ^.

Równanie przemieszczeniowe Nawera

μ*∇²*u_i+(λ+μ)*e_,i+ρ*x_i=0

Prawo Hooka bez wpływu temperatury

σ_ij=2*μ*ε_ij+λ*δ_ij*ε_kk

Wektor kulisty

σ=k*e=(λ+(2/3)*μ)*e

Ośrodki liniowo lepkosprężyste

Ciało Kalvina-Voigta

-związki fizyczne są takie same, zmieniają się tylko związki fizyczne

-w związkach fizycznych jest zależność od czasu

ε_ij=(1/2)*(u_i,j+u_j,i)

Reologia

Bada ośrodki gdzie związki fizyczne są funkcjami czasu

Pełzanie

| s_ij=2*G*e_ij+2*η_k*e_ij^.=2*G*(e_ij+τ_k*e_ij^.)

| σ=K*(e-3*α_T*Θ)

τ_k-czas opóźnienia pełzania

τ_k=η_k/G

Prawo Hooka

σ_ij=2*G*(ε_ij+τ_k*ε_ij^.)+[(K-(2/3)*G)*e-(2/3)*G*τ_k*e^.-3*α_T*K*Θ]*δ_ij

Równanie przewodnictwa cieplnego

Θ^.=Η*∇²*Θ-Η*a*e^.+(ν/c_v)*e_ij^.*e_ij^.

Równanie postaciowe

μ*∇²*u_i+η_k*∇²*u_i^.+(λ+μ)*e_,i+(1/3)*η_k*e_ij^.-ρ*x_i=ρ*u_i^..+k*Θ_,i

Pozbywając się temperatury dochodzimy do

μ*∇²*u_i+η_k*∇²*u_i^.+(λ+μ)*e_,i+(1/3)*η_k*e_,i^.+ρ*x_i=0

Zagadnienie statyczne (nie ma bezwładności)

s_ij=2*G*e_ij+2*η_k*e_ij^. σ=k*e

σ_ij=2*G*(ε_ij+τ_k*ε_ij^.)+(λ*e-(2/3)*G*τ_k*e^.)*δ_ij

Charakterystyka

e_ij(t)=(s_ij^./2*G)*[1-e^-t/τk]

Ciało Maxwella

Model mechaniczny

| s_ij=2*G*e_ij(s)

| s_ij=2*η_M*e_ij^.(l)

Dewiatorowe odkształcenie

e_ij=e_ij(s)+e_ij(l)

Prawo Hooka z temperaturą

σ=k*(e-3*α*Θ)

Ogólna zależność

2*η_M*ε_ij^.=σ_ij+τ_M*σ_ij^.-[σ-((2*η_M/3*k)-τ_M)*σ^.+2*η_M*α_T*Θ^.]*δ_ij

τ_M-czas relaksacji

Charakterystyka

s_ij(t)=2*G*e_ij^.*e^-t/τM

Równanie przewodnictwa cieplnego

∇²Θ-a*e^.=(1/Η)*Θ^.

A=(3*α_T*k*T₀)/(ρ*c_v*Η)

Η=λ_T*ρ*c_v

Opis Lagrangea bo małe przemieszczenia

σ_ij,j+ρ*x_i=ρ_ii

ε_ij=(1/2)*(u_i,j+u_j,i)

Układ sprzężonej termosprężystości

μ*∇²*u_i+(λ+μ)*e_,i+ρ*x_i=ρ*u_i^..+k*Θ_i

k=3*α_T*K

Dohemeta-Neumana

μ*∇²*u=(λ+μ)*graddivu+ρ*x=ρ*u^..+k*gradΘ

Funkcja relaksacji

Ψ(t)=s(t)/e₀

Ψ(t)=∫(0-∞) G(τ)*exp(-t/τ)dτ

s=2*∫(-∞-t) Ψ(t-ω)*(de(ω)/dω)*dω

Funkcja pełzania

ϕ(t)=e(t)/s₀

ϕ(t)=∫(0-∞) g(t)*[1-exp(-t/τ)]*dτ

Analogia

σ_ij=2*μ*ε_ij+λ*δ_ij*ε_kk

σ_ij=2*μ_k*(ε_ij+τ_k*ε_ij^.)+[(K-(2/3)*μ)*e-(2/3)*μ*τ_k*e^.]*δ_ij

σ_ij+τ_M*σ_ij^.=2*η_M*ε_ij^.+[K*e+(τ_M*K-(2/3)*η_M)*e^.]*δ_ij

Transformata Laplaca

f(s)=∫(0-∞) f(t)*e^-st*dt

Transformata funkcji pełzania

σ_ij=2*μ_k*(ε_ij+τ_k*s*ε_ij)+[(K-(2/3)*μ)*e-(2/3)*μ*τ_k*s*e]*δ_ij

σ_ij+τ_M*σ_ij=2*η_M*ε_ij+[K*e+s*(τ_M*K-(2/3)*η_M)*e]*δ_ij

σ_ij=ε_ij*(2*μ_k+2*μ_k*τ_k*s)+e*[K-(2/3)*μ-(2/3)*μ*τ_k*s]*δ_ij

Transformata odwrotna

f(t)=(1/2*π*i)*∫(χ-i*ω - χ+i*ω) f(s)*s^st*ds

Transformata odwrotna funkcji pełzania

σ_ij=P_k(s)*ε_ij+Q_k(s)*e*δ_ij

σ_ij=P_M(s)*ε_ij+Q_M(s)*e*δ_ij

P_k(s)=2*μ*(1-s*τ_k)

Q_k(s)=K-(2/3)*μ*(1-sτ_k)

P_M(s)=(2*η_M*s)/(1+τ_M*s)

Q_M(s)=(K*(1+τ_M*s)-(2/3)*η_M*s)/(1+τ_M*s)

---