Do opisu ruchu ciała przyjmuje się założenia:

1.Przestrzeń fizyczna jest trójwymiarową przestrzenią euklidesową z kartezjańskim układem współrzędnych.

2.Rozpatrywane ciało wypełnia zajmowany obszar w przestrzeni w sposób ciągły (środek znajduje się w dowolnie małej objętości obszaru zajmowanego przez ciało).

3.Czas jest absolutną jednakową dla wszystkich obserwatorów miarą odległości zdarzeń. Istnieje inercjalny układ odniesienia z siatką kartezjańską. Ruch ciała-zmiana położenia ciała w przestrzeni, a deformacja-zmiana odległości między cząstkami ciała. Ciału przypisujemy masę i położenie w przestrzeni fizycznej.

Wektor-wielkość, która każdemu kierunkowi przyporządkowuje liczbę.

Przyporządkowanie-operator liniowy.

Tensor II rządu-wielkość, która każdemu kierunkowi przyporządkowuje wektor.

Tensor rzędu n-wielkość, która każdemu kierunkowi przyporządkowuje tensor rzędu n-1.

Operacje na tensorach:

1.Transformacja składowych

x_l^'=x_m*cos(x_l^',x_m)=x_m*α_lm

cos(x_l^',x_m)=α_lm

x_m=α_lm*x_l^'

T_mk^'=α_ml*α_kj*T_ij

T_ij=α_mi*α_kj*T_mk^'

i,j=1,2,3

2.Dodawanie

dodajemy tensory tego samego rzędu

3.Iloczyn

1.Iloczyn zewnętrzny tensorów T_n i P_m rzędów odpowiednio n i m nazywamy tensor rzędu n+m.

_Tn*Pm=Wn+m

Diada-iloczyn zewnętrzny dwóch tensorów

2.Iloczyn wewnętrzny tensorów otrzymujemy w wyniku kontrakcji (zwężania) iloczynu zewnętrznego względem pary wskaźników, z których jeden należy do jednego tensora, a drugi do drugiego tensora.

T_n*Pm=Wn+m-2

4.Kontrakcja (zwężanie tensora) polega na sumowaniu składowych tensora względem wybranej pary składowych; rząd otrzymanego tensora jest niższy o 2 od tensora zwężanego.

Ślad tensora-zwężanie tensora II rzędu daje skalar.

tr(T)=Tij*δij=Tii=T11+T22+T33

| 1, i=j

δij=|

| 0, i≠j

Dewiator-tensor II rzędu dla którego ślad=0.

T=D+P=D+1/3*tr(T)*I

P-część kulista

I-macierz jednostkowa

5.Potęga tensora II rzędu

Kwadrat tensora II rzędu-tensor II rzędu o składowych: iloczyn wewnętrzny tensora T przez siebie).

(T2)ij=Tik*Tkj

(Tn)ij=(Tn-1)ik*Tkj

Symetria

1.Tensor symetryczny

Tij=Tji, TT=T

2.Tensor antysymetryczny

Tij=-Tji, TT=-T

Iloczyn wewnętrzny tensora symetrycznego i antysymetrycznego jest równy 0.

Tensor odwrotny

(T-1)ij*Tjk=δik

Tensor ortogonalny

T-1=TT - R

det2(R)=1

Symbol permutacyjny (Leviego-Civitty)

|+1

εijk=| -1

| 0

własności:

εijk=-εjik=εjki=-εkji=εkij=-εikj

εikm*εikm=6

εikm*εjkm=2*δij

εijm*εikn=δjk*δmn-δjn*δmk

det(Aij)=1/6*εijk*εrst*Air*Ajs*Akt

Wskaźnik permutacyjny-pseudo tensor

Równanie charakterystyczne

λ3-I1*λ2+I2*λ-I3=0

I1=Tii=tr(T)

I2=1/2(Tik*Tki-Tii*Tkk)=1/2[tr(T2)-tr2(T)]

I3=det(T)

I1,I2,I3-niezmienniki

Pole tensorowe-funkcja tensorowa określona na podzbiorze przestrzeni euklidesowej E3. Pole tensorowe jest dane, jeżeli każdemu punktowi P podzbioru przestrzeni E3 przyporządkowany jest jednoznacznie tensor.

Ym=Ym(P)

Pole tensorowe m-tego rzędu-w ustalonym układzie współrzędnych jest reprezentowane zbiorem 3m funkcji rzeczywistych trzech zmiennych rzeczywistych, które są zmiennymi punktu P.

Yij...k=Yij...k(x1,x2,x3)

Pole skalarne-jest reprezentowane jedną funkcją trzech zmiennych

ϕ=ϕ(x1,x2,x3)=ϕ(xk)

Pole wektorowe-jest reprezentowane przez trzy funkcje trzech zmiennych

vi=vi(x1,x2,x3)=Vi(xk)

Pole tensorowe nazywamy stacjonarnym-jeżeli nie zależy od czasu

Yij...k(xm,t)=Yij...k(xm)

Pole tensorowe nazywamy jednorodnym-jeżeli nie zależy od współrzędnych

Yij...k(xm,t)=Yij...k(t)

Różniczkowanie po czasie

Yij...k(t)

(dYm(t))/dt=lim(Δt-0) (Ym(t+Δt)-Y(t))/Δt

Różniczkowanie po współrzędnych

∇=ik*(δ/δxk)=i1*(δ/δx1)+ i₂*(δ/δx₂)+ i₃*(δ/δx₃)

ϕ=ϕ(xk)=ϕ(x1,x2,x3)

∇ϕ=gradϕ=ik(δϕ/δxk)=ik*ϕ,k

Powierzchnia ekwipotencjalna-powierzchnia, przy których funkcja ϕ przyjmuje stałą wartość.

Gradient pola wektorowego-operator Nabla działając na pole wektorowe vi przyporządkowuje mu wielkość dwu indeksową

P=gradv=∇v

Gradient pola wektorowego jest tensorem I rzędu.

Divergencja pola tensorowego-zwężanie gradientu pola wektorowego

tr(P)=Pii=vi,i

divv=vi,i=∇v=v1,1+v2,2+v3,3

divv=divgradϕ=∇2*ϕ=ϕ,ii

Rotacja pola wektorowego

rotv=∇×v

(rotv)i=εijk*Pjk=εijk*vk,j

Pole wektorowe v-pole potencjalne, jeżeli w obszarze jego określoności istnieje pole skalarne ϕ takie, że w każdym punkcie tego obszaru v=gradϕ

Pole wektorowe v:

Pole bezwirowe-jeżeli w każdym punkcie należącym do obszaru określoności rotv=0

Pole bezźródłowe-jeżeli w każdym punkcie obszaru należącym do obszaru określoności divv=0

Pole solenoidalne-jeżeli w każdym punkcie obszaru należącym do obszaru określoności istnieje pole wektorowe v=rotu

Całkowanie pól tensorowych

Twierdzenie Gaussa-Ostrogradzkiego

∫(v) divv*dv=∫(s) n*v*ds

∫(v) vi,i*dv=∫(s) ni*vi*ds

Twierdzenie Greena

∫(v) T_ij...k,r*dv=∫(s) n_r*T_ij...k*ds

∫(s) Tij...k,r*ds=nr*Tij...k*ds

Twierdzenie Stoke'sa

∫(c) v*dx=∫(s) n*rotv*ds

∫(c) v_i*dx_i=∫(s) ε_ijk*v_k,j*n_i*ds

Opis Lagrange'a

u_i=ξ_i-x_i

ξ_i=x_i+u_i(x_j,t)

Opis Eulera

x_i=ξ_i-u_i(ξ_j,t)

Do opisu ruchu ciała przyjmuje się założenia:

1.Przestrzeń fizyczna jest trójwymiarową przestrzenią euklidesową z kartezjańskim układem współrzędnych.

2.Rozpatrywane ciało wypełnia zajmowany obszar w przestrzeni w sposób ciągły (środek znajduje się w dowolnie małej objętości obszaru zajmowanego przez ciało).

3.Czas jest absolutną jednakową dla wszystkich obserwatorów miarą odległości zdarzeń. Istnieje inercjalny układ odniesienia z siatką kartezjańską. Ruch ciała-zmiana położenia ciała w przestrzeni, a deformacja-zmiana odległości między cząstkami ciała. Ciału przypisujemy masę i położenie w przestrzeni fizycznej.

Wektor-wielkość, która każdemu kierunkowi przyporządkowuje liczbę.

Przyporządkowanie-operator liniowy.

Tensor II rządu-wielkość, która każdemu kierunkowi przyporządkowuje wektor.

Tensor rzędu n-wielkość, która każdemu kierunkowi przyporządkowuje tensor rzędu n-1.

Operacje na tensorach:

1.Transformacja składowych

x_l^'=x_m*cos(x_l^',x_m)=x_m*α_lm

cos(x_l^',x_m)=α_lm

x_m=α_lm*x_l^'

T_mk^'=α_ml*α_kj*T_ij

T_ij=α_mi*α_kj*T_mk^'

i,j=1,2,3

2.Dodawanie

dodajemy tensory tego samego rzędu

3.Iloczyn

1.Iloczyn zewnętrzny tensorów T_n i P_m rzędów odpowiednio n i m nazywamy tensor rzędu n+m.

_Tn*Pm=Wn+m

Diada-iloczyn zewnętrzny dwóch tensorów

2.Iloczyn wewnętrzny tensorów otrzymujemy w wyniku kontrakcji (zwężania) iloczynu zewnętrznego względem pary wskaźników, z których jeden należy do jednego tensora, a drugi do drugiego tensora.

T_n*Pm=Wn+m-2

4.Kontrakcja (zwężanie tensora) polega na sumowaniu składowych tensora względem wybranej pary składowych; rząd otrzymanego tensora jest niższy o 2 od tensora zwężanego.

Ślad tensora-zwężanie tensora II rzędu daje skalar.

tr(T)=Tij*δij=Tii=T11+T22+T33

| 1, i=j

δij=|

| 0, i≠j

Dewiator-tensor II rzędu dla którego ślad=0.

T=D+P=D+1/3*tr(T)*I

P-część kulista

I-macierz jednostkowa

5.Potęga tensora II rzędu

Kwadrat tensora II rzędu-tensor II rzędu o składowych: iloczyn wewnętrzny tensora T przez siebie).

(T2)ij=Tik*Tkj

(Tn)ij=(Tn-1)ik*Tkj

Symetria

1.Tensor symetryczny

Tij=Tji, TT=T

2.Tensor antysymetryczny

Tij=-Tji, TT=-T

Iloczyn wewnętrzny tensora symetrycznego i antysymetrycznego jest równy 0.

Tensor odwrotny

(T-1)ij*Tjk=δik

Tensor ortogonalny

T-1=TT - R

det2(R)=1

Symbol permutacyjny (Leviego-Civitty)

|+1

εijk=| -1

| 0

własności:

εijk=-εjik=εjki=-εkji=εkij=-εikj

εikm*εikm=6

εikm*εjkm=2*δij

εijm*εikn=δjk*δmn-δjn*δmk

det(Aij)=1/6*εijk*εrst*Air*Ajs*Akt

Wskaźnik permutacyjny-pseudo tensor

Równanie charakterystyczne

λ3-I1*λ2+I2*λ-I3=0

I1=Tii=tr(T)

I2=1/2(Tik*Tki-Tii*Tkk)=1/2[tr(T2)-tr2(T)]

I3=det(T)

I1,I2,I3-niezmienniki

Pole tensorowe-funkcja tensorowa określona na podzbiorze przestrzeni euklidesowej E3. Pole tensorowe jest dane, jeżeli każdemu punktowi P podzbioru przestrzeni E3 przyporządkowany jest jednoznacznie tensor.

Ym=Ym(P)

Pole tensorowe m-tego rzędu-w ustalonym układzie współrzędnych jest reprezentowane zbiorem 3m funkcji rzeczywistych trzech zmiennych rzeczywistych, które są zmiennymi punktu P.

Yij...k=Yij...k(x1,x2,x3)

Pole skalarne-jest reprezentowane jedną funkcją trzech zmiennych

ϕ=ϕ(x1,x2,x3)=ϕ(xk)

Pole wektorowe-jest reprezentowane przez trzy funkcje trzech zmiennych

vi=vi(x1,x2,x3)=Vi(xk)

Pole tensorowe nazywamy stacjonarnym-jeżeli nie zależy od czasu

Yij...k(xm,t)=Yij...k(xm)

Pole tensorowe nazywamy jednorodnym-jeżeli nie zależy od współrzędnych

Yij...k(xm,t)=Yij...k(t)

Różniczkowanie po czasie

Yij...k(t)

(dYm(t))/dt=lim(Δt-0) (Ym(t+Δt)-Y(t))/Δt

Różniczkowanie po współrzędnych

∇=ik*(δ/δxk)=i1*(δ/δx1)+ i₂*(δ/δx₂)+ i₃*(δ/δx₃)

ϕ=ϕ(xk)=ϕ(x1,x2,x3)

∇ϕ=gradϕ=ik(δϕ/δxk)=ik*ϕ,k

Powierzchnia ekwipotencjalna-powierzchnia, przy których funkcja ϕ przyjmuje stałą wartość.

Gradient pola wektorowego-operator Nabla działając na pole wektorowe vi przyporządkowuje mu wielkość dwu indeksową

P=gradv=∇v

Gradient pola wektorowego jest tensorem I rzędu.

Divergencja pola tensorowego-zwężanie gradientu pola wektorowego

tr(P)=Pii=vi,i

divv=vi,i=∇v=v1,1+v2,2+v3,3

divv=divgradϕ=∇2*ϕ=ϕ,ii

Rotacja pola wektorowego

rotv=∇×v

(rotv)i=εijk*Pjk=εijk*vk,j

Pole wektorowe v-pole potencjalne, jeżeli w obszarze jego określoności istnieje pole skalarne ϕ takie, że w każdym punkcie tego obszaru v=gradϕ

Pole wektorowe v:

Pole bezwirowe-jeżeli w każdym punkcie należącym do obszaru określoności rotv=0

Pole bezźródłowe-jeżeli w każdym punkcie obszaru należącym do obszaru określoności divv=0

Pole solenoidalne-jeżeli w każdym punkcie obszaru należącym do obszaru określoności istnieje pole wektorowe v=rotu

Całkowanie pól tensorowych

Twierdzenie Gaussa-Ostrogradzkiego

∫(v) divv*dv=∫(s) n*v*ds

∫(v) vi,i*dv=∫(s) ni*vi*ds

Twierdzenie Greena

∫(v) T_ij...k,r*dv=∫(s) n_r*T_ij...k*ds

∫(s) Tij...k,r*ds=nr*Tij...k*ds

Twierdzenie Stoke'sa

∫(c) v*dx=∫(s) n*rotv*ds

∫(c) v_i*dx_i=∫(s) ε_ijk*v_k,j*n_i*ds

Opis Lagrange'a

u_i=ξ_i-x_i

ξ_i=x_i+u_i(x_j,t)

Opis Eulera

x_i=ξ_i-u_i(ξ_j,t)

---