I zasada termodynamiki (postać globalna)
Q.+L.=Ek.+U.⇔dQ/dt+dL/dt=dEk/dt+dU/dt
Q-ilość ciepła w V
Prędkość zmian całkowitej energii mechanicznej musi być równoważna mocy sił zewnętrznych i zmianę ciepła przez powierzchnię otaczającą ośrodek.
I zasada termodynamiki (postać lokalna)
dU/dt=u.=σij*εij.-qi,i
u.-opisuje zmiany energii wewnętrznej niezależnie od drogi w której te zmiany zachodzą
σij*εij.-dotyczy energii odwracalnej
-qi,i-dotyczy zmian nieodwracalnych
Dewiator stanu naprężenia
Odpowiada za wszystkie zmiany nieodwracalne
σij*εij.=(sij+s*σij)*(eij.+e.*δij)=sij*eij.+sij*e.*δij+s*eij.*δij+3*s*e.=sij*eij.+3*s*e.
I zasada termodynamiki (za pomocą dewiatora)
dU/dt=sij*eij.-qi,i+(p/ρ)*(dρ/dt)
Pojęcie entropii (funkcja zmiany stanu)
s=∫(V) ρ*s'*dV
s'-entropia właściwa
s-entropia wydzielona z ośrodka objętości V
Zmiana entropii zewnętrznej (równanie globalne)
dsz/dt=(1/T)*dQ/dt=-∫(V) (1/T)*qi,i*dV
T*(dsz/dt)=-qi,i
II zasada termodynamiki (narzucone ograniczenia na sw)
dsw/dt≥0 -Clauriusa-Duhema
prędkość zmian entropii wewnętrznej jest nieujemna
=0 -dla przemian odwracalnych
>0 -dla przemian nieodwracalnych
Bilans entropii
Warunek całkowitego rozproszenia mocy dewiatora naprężenia
sij*eij.=Σ(m) ρ*ℵm.
Prawo Founera (przewodzenie ciepła)
qi=-λT*T,i
λT-współczynnik przewodzenia ciepła
Równania bilansu entropii
Globalne
ds/dt+∫(A) (qi/T)ni*dA=-∫(V) (qi*T,i/T2)*dV+∫(V) V*dV+
+Σ(m)∫(V) (1/T)*ρ*ℵm.*dV≥0
Lokalne
ds/dt+(qi/T),i=(-qi*T,i/T2)+r+(1/T)*Σ(m) ρ*ℵm.
T*(ds/dt)=ρ*cv*(dT/dt)=du/dt-σij*εij.+Σ(m) ρ*ℵm.+Tr
T*(ds/dt)=du/dt-(p/ρ)*(ds/dt)-(sij*eij.-Σ(m) ρ*ℵm.)+Tr
Szczególna postać
1. r=0 sij=o ℵm.=0
otrzymujemy ciecz doskonałą
T*(ds./dt)=du/dt-(p/ρ)*(dρ/dt) -równanie Gibbsa
2. sij*eij.= Σ(m) ρ*ℵm.
otrzymujemy ciecz idealnie lepką
dsw/dt=(1/T)* Σ(m) ρ*ℵm.+r
3. sx.=0
T*(ds/dt)=T*(dsz/dt)=du/dt-σij*εij.
dsz/dt=0 -adiabatyczna wymiana ciepła z otoczeniem
(bez rozproszenia energii)
du/dt=σij*εij.=ϕ. -równanie Voipta
T*(ds/dt)=du/dt-(p/ρ)*(dρ/dt)+Tr -z rozproszeniem energii
Przemiana izotermiczna
Proces ten nie zależy od temperatury, temperatura jest stała dla tego zjawiska.
dT/dt=0
T*(dsz/dt)=Σ(m) ρ*ℵm.+Tr
σij*εij.=du/dt-T*(dsz/dt)
Energia swobodna Helnocholca (izotermiczny potencjał termiczny)
Ψ=u-Tsz
Równanie na przemiany izotermiczne
σij*εij.=Ψ.
Założenie r=0
Mechanicznej entropii nie ma
Σ(m) ρ*ℵm.=sij*eij.=qi,i
wydziela się ciepło qi,i
Równanie na podstawie którego można wyznaczyć temperaturę
ρ*cv*(dT/dt)= Σ(m) ρ*ℵm.
Stałe wyznaczamy z danych doświadczalnych
Tυo=ρ*ℵo.(eij.,eij..,...,T) -odkształcenia
Tυn=ρ*ℵn.(sij.,sij..,...,T) -naprężenia
Stan jest bliski stanu równowagi termodynamicznej tzn. że zmiany są niewielkie
Tυn=0
Uogólnione strumienie i uogólnione siły
Tr=Σ(l) Fl*fl
fl=Σ(k) clk*Fk
Fk=Σ(l) mkl*fl
Zasada symetrii tensorowej Curie
Dowolna siła uogólniona może wywołać wiele strumieni jeżeli tylko ich współrzędne tworzą tensory o tej samej walencji co przyczyna.
Tυ=Σ(m) ρ*ℵm.+Σ(l) Fl*fl=Σ(i,k) cik*Fi*Fk=Σ(i,k) m,k*fi*fk
Zasada Onsagera
Elementy macierzy współczynników w związkach
fl=Σ(k) clk*Fk
Fk=Σ(l) mkl*fl
są symetryczne tzn.
cij=cji
mkl=mlk
Równania konsutytutywne
Założenia i ograniczenia
ϕ=ϕ(I1,I2,I3,T)
ϕ-adiabatyczny potencjał sprężysty
| σij=∂ϕ/∂εij |
Zakładamy że przemiana jest adiabatyczna
ϕ=ϕ(I1,I2,T)
εij*εij=I12*2*I2
ϕ=(1/2)*λ*εll2+μ*εij*εij
Prawo Hoocka (bez zmian termicznych)
σij=2*μ*εij+λ*δij*εll
Klasyfikacja ośrodków
Ośrodki klasyczne
-ciecze i gazy doskonałe
-ciecze lepkie
-liniowe ośrodki sprężyste
-liniowe ośrodki lepko-sprężyste
Cieczami nazywamy ciała w których dewiator stanu naprężenia dąży do zera w dostatecznie dużym przedziale czasu, gdy prędkości dewiatora stanu odkształcenia równają się zero.
Ciałami stałymi nazywamy takie ciała w których pod wpływem stałego w czasie dewiatorowego stanu odkształcenia nie znikają dewiatory stanu naprężenia chociaż przedział czasu był dowolnie duży.
Ciecze i gazy doskonałe
Ciecze i gazy doskonałe to ośrodki w których nie zachodzi rozproszenie energii w trakcie ich zmiany stanu. Przy dowolnym odkształceniu ośrodka wszystkie współrzędne dewiatora stanu naprężenia równają się zero.
σij=σ*δij=-p*δij
σ11=σ22=σ33=p
σ=-p
Równania ruchu (Euler)
∂σij/∂ξi+ρ*xi=ρ*(dυi/dt)
ρ*(dυi/dt)= ρ*xi-∂p/∂ξi | (1)
ρ*v.=ρ*x-gradp |
dρ/dt+ρ*χi,i=0 | (2)
1.ciecz doskonała nieściśliwa
ρ=ρo=const
ρo*(dυi/dt)=ρo*xi-(∂p/∂ξi)
υi,i=0
2.ciecz doskonała barotropowa
c2=(dp/dρ)>0
c=√(dp/dρ)
(dc/dρ)≥0
p=po*(ρ/po)χ | (3)
Równanie ciągłości masy
(1/c2)*(dP/dt)+υi,i=0
Gaz Klaperjona
Zależność ciśnienia od temperatury
P=R*ρ*T
Energia wewnętrzna
U=ρ*cυ*T
cυ=3k/2m
R=k/m
Z definicji Eulera
du/dt=σij*(dηij/dt)-qij
η-tensor stanu odkształcenia Eulera
| du/dt=-p*υl,l-ql,l |
Prawo Forrena
Qi=-λT*T,i
Równanie przewodnictwa cieplnego
ρ*cυ*(dT/dt)-λT*∇2*T+p*υl,l=0
∇2=(∂/∂ξi)*(∂/∂ξi)
Przy dużych prędkościach strumienia czasami można powiązać przewodnictwo cieplne i wtedy jest adiabatyczna.
p*υl,l=(p/ρ)*(dρ/dt)=0
I zasada termodynamiki (postać globalna)
Q.+L.=Ek.+U.⇔dQ/dt+dL/dt=dEk/dt+dU/dt
Q-ilość ciepła w V
Prędkość zmian całkowitej energii mechanicznej musi być równoważna mocy sił zewnętrznych i zmianę ciepła przez powierzchnię otaczającą ośrodek.
I zasada termodynamiki (postać lokalna)
dU/dt=u.=σij*εij.-qi,i
u.-opisuje zmiany energii wewnętrznej niezależnie od drogi w której te zmiany zachodzą
σij*εij.-dotyczy energii odwracalnej
-qi,i-dotyczy zmian nieodwracalnych
Dewiator stanu naprężenia
Odpowiada za wszystkie zmiany nieodwracalne
σij*εij.=(sij+s*σij)*(eij.+e.*δij)=sij*eij.+sij*e.*δij+s*eij.*δij+3*s*e.=sij*eij.+3*s*e.
I zasada termodynamiki (za pomocą dewiatora)
dU/dt=sij*eij.-qi,i+(p/ρ)*(dρ/dt)
Pojęcie entropii (funkcja zmiany stanu)
s=∫(V) ρ*s'*dV
s'-entropia właściwa
s-entropia wydzielona z ośrodka objętości V
Zmiana entropii zewnętrznej (równanie globalne)
dsz/dt=(1/T)*dQ/dt=-∫(V) (1/T)*qi,i*dV
T*(dsz/dt)=-qi,i
II zasada termodynamiki (narzucone ograniczenia na sw)
dsw/dt≥0 -Clauriusa-Duhema
prędkość zmian entropii wewnętrznej jest nieujemna
=0 -dla przemian odwracalnych
>0 -dla przemian nieodwracalnych
Bilans entropii
Warunek całkowitego rozproszenia mocy dewiatora naprężenia
sij*eij.=Σ(m) ρ*ℵm.
Prawo Founera (przewodzenie ciepła)
qi=-λT*T,i
λT-współczynnik przewodzenia ciepła
Równania bilansu entropii
Globalne
ds/dt+∫(A) (qi/T)ni*dA=-∫(V) (qi*T,i/T2)*dV+∫(V) V*dV+
+Σ(m)∫(V) (1/T)*ρ*ℵm.*dV≥0
Lokalne
ds/dt+(qi/T),i=(-qi*T,i/T2)+r+(1/T)*Σ(m) ρ*ℵm.
T*(ds/dt)=ρ*cv*(dT/dt)=du/dt-σij*εij.+Σ(m) ρ*ℵm.+Tr
T*(ds/dt)=du/dt-(p/ρ)*(ds/dt)-(sij*eij.-Σ(m) ρ*ℵm.)+Tr
Szczególna postać
1. r=0 sij=o ℵm.=0
otrzymujemy ciecz doskonałą
T*(ds./dt)=du/dt-(p/ρ)*(dρ/dt) -równanie Gibbsa
2. sij*eij.= Σ(m) ρ*ℵm.
otrzymujemy ciecz idealnie lepką
dsw/dt=(1/T)* Σ(m) ρ*ℵm.+r
3. sx.=0
T*(ds/dt)=T*(dsz/dt)=du/dt-σij*εij.
dsz/dt=0 -adiabatyczna wymiana ciepła z otoczeniem
(bez rozproszenia energii)
du/dt=σij*εij.=ϕ. -równanie Voipta
T*(ds/dt)=du/dt-(p/ρ)*(dρ/dt)+Tr -z rozproszeniem energii
Przemiana izotermiczna
Proces ten nie zależy od temperatury, temperatura jest stała dla tego zjawiska.
dT/dt=0
T*(dsz/dt)=Σ(m) ρ*ℵm.+Tr
σij*εij.=du/dt-T*(dsz/dt)
Energia swobodna Helnocholca (izotermiczny potencjał termiczny)
Ψ=u-Tsz
Równanie na przemiany izotermiczne
σij*εij.=Ψ.
Założenie r=0
Mechanicznej entropii nie ma
Σ(m) ρ*ℵm.=sij*eij.=qi,i
wydziela się ciepło qi,i
Równanie na podstawie którego można wyznaczyć temperaturę
ρ*cv*(dT/dt)= Σ(m) ρ*ℵm.
Stałe wyznaczamy z danych doświadczalnych
Tυo=ρ*ℵo.(eij.,eij..,...,T) -odkształcenia
Tυn=ρ*ℵn.(sij.,sij..,...,T) -naprężenia
Stan jest bliski stanu równowagi termodynamicznej tzn. że zmiany są niewielkie
Tυn=0
Uogólnione strumienie i uogólnione siły
Tr=Σ(l) Fl*fl
fl=Σ(k) clk*Fk
Fk=Σ(l) mkl*fl
Zasada symetrii tensorowej Curie
Dowolna siła uogólniona może wywołać wiele strumieni jeżeli tylko ich współrzędne tworzą tensory o tej samej walencji co przyczyna.
Tυ=Σ(m) ρ*ℵm.+Σ(l) Fl*fl=Σ(i,k) cik*Fi*Fk=Σ(i,k) m,k*fi*fk
Zasada Onsagera
Elementy macierzy współczynników w związkach
fl=Σ(k) clk*Fk
Fk=Σ(l) mkl*fl
są symetryczne tzn.
cij=cji
mkl=mlk
Równania konsutytutywne
Założenia i ograniczenia
ϕ=ϕ(I1,I2,I3,T)
ϕ-adiabatyczny potencjał sprężysty
| σij=∂ϕ/∂εij |
Zakładamy że przemiana jest adiabatyczna
ϕ=ϕ(I1,I2,T)
εij*εij=I12*2*I2
ϕ=(1/2)*λ*εll2+μ*εij*εij
Prawo Hoocka (bez zmian termicznych)
σij=2*μ*εij+λ*δij*εll
Klasyfikacja ośrodków
Ośrodki klasyczne
-ciecze i gazy doskonałe
-ciecze lepkie
-liniowe ośrodki sprężyste
-liniowe ośrodki lepko-sprężyste
Cieczami nazywamy ciała w których dewiator stanu naprężenia dąży do zera w dostatecznie dużym przedziale czasu, gdy prędkości dewiatora stanu odkształcenia równają się zero.
Ciałami stałymi nazywamy takie ciała w których pod wpływem stałego w czasie dewiatorowego stanu odkształcenia nie znikają dewiatory stanu naprężenia chociaż przedział czasu był dowolnie duży.
Ciecze i gazy doskonałe
Ciecze i gazy doskonałe to ośrodki w których nie zachodzi rozproszenie energii w trakcie ich zmiany stanu. Przy dowolnym odkształceniu ośrodka wszystkie współrzędne dewiatora stanu naprężenia równają się zero.
σij=σ*δij=-p*δij
σ11=σ22=σ33=p
σ=-p
Równania ruchu (Euler)
∂σij/∂ξi+ρ*xi=ρ*(dυi/dt)
ρ*(dυi/dt)= ρ*xi-∂p/∂ξi | (1)
ρ*v.=ρ*x-gradp |
dρ/dt+ρ*χi,i=0 | (2)
1.ciecz doskonała nieściśliwa
ρ=ρo=const
ρo*(dυi/dt)=ρo*xi-(∂p/∂ξi)
υi,i=0
2.ciecz doskonała barotropowa
c2=(dp/dρ)>0
c=√(dp/dρ)
(dc/dρ)≥0
p=po*(ρ/po)χ | (3)
Równanie ciągłości masy
(1/c2)*(dP/dt)+υi,i=0
Gaz Klaperjona
Zależność ciśnienia od temperatury
P=R*ρ*T
Energia wewnętrzna
U=ρ*cυ*T
cυ=3k/2m
R=k/m
Z definicji Eulera
du/dt=σij*(dηij/dt)-qij
η-tensor stanu odkształcenia Eulera
| du/dt=-p*υl,l-ql,l |
Prawo Forrena
Qi=-λT*T,i
Równanie przewodnictwa cieplnego
ρ*cυ*(dT/dt)-λT*∇2*T+p*υl,l=0
∇2=(∂/∂ξi)*(∂/∂ξi)
Przy dużych prędkościach strumienia czasami można powiązać przewodnictwo cieplne i wtedy jest adiabatyczna.
p*υl,l=(p/ρ)*(dρ/dt)=0
I zasada termodynamiki (postać globalna)
Q.+L.=Ek.+U.⇔dQ/dt+dL/dt=dEk/dt+dU/dt
Q-ilość ciepła w V
Prędkość zmian całkowitej energii mechanicznej musi być równoważna mocy sił zewnętrznych i zmianę ciepła przez powierzchnię otaczającą ośrodek.
I zasada termodynamiki (postać lokalna)
dU/dt=u.=σij*εij.-qi,i
u.-opisuje zmiany energii wewnętrznej niezależnie od drogi w której te zmiany zachodzą
σij*εij.-dotyczy energii odwracalnej
-qi,i-dotyczy zmian nieodwracalnych
Dewiator stanu naprężenia
Odpowiada za wszystkie zmiany nieodwracalne
σij*εij.=(sij+s*σij)*(eij.+e.*δij)=sij*eij.+sij*e.*δij+s*eij.*δij+3*s*e.=sij*eij.+3*s*e.
I zasada termodynamiki (za pomocą dewiatora)
dU/dt=sij*eij.-qi,i+(p/ρ)*(dρ/dt)
Pojęcie entropii (funkcja zmiany stanu)
s=∫(V) ρ*s'*dV
s'-entropia właściwa
s-entropia wydzielona z ośrodka objętości V
Zmiana entropii zewnętrznej (równanie globalne)
dsz/dt=(1/T)*dQ/dt=-∫(V) (1/T)*qi,i*dV
T*(dsz/dt)=-qi,i
II zasada termodynamiki (narzucone ograniczenia na sw)
dsw/dt≥0 -Clauriusa-Duhema
prędkość zmian entropii wewnętrznej jest nieujemna
=0 -dla przemian odwracalnych
>0 -dla przemian nieodwracalnych
Bilans entropii
Warunek całkowitego rozproszenia mocy dewiatora naprężenia
sij*eij.=Σ(m) ρ*ℵm.
Prawo Founera (przewodzenie ciepła)
qi=-λT*T,i
λT-współczynnik przewodzenia ciepła
Równania bilansu entropii
Globalne
ds/dt+∫(A) (qi/T)ni*dA=-∫(V) (qi*T,i/T2)*dV+∫(V) V*dV+
+Σ(m)∫(V) (1/T)*ρ*ℵm.*dV≥0
Lokalne
ds/dt+(qi/T),i=(-qi*T,i/T2)+r+(1/T)*Σ(m) ρ*ℵm.
T*(ds/dt)=ρ*cv*(dT/dt)=du/dt-σij*εij.+Σ(m) ρ*ℵm.+Tr
T*(ds/dt)=du/dt-(p/ρ)*(ds/dt)-(sij*eij.-Σ(m) ρ*ℵm.)+Tr
Szczególna postać
1. r=0 sij=o ℵm.=0
otrzymujemy ciecz doskonałą
T*(ds./dt)=du/dt-(p/ρ)*(dρ/dt) -równanie Gibbsa
2. sij*eij.= Σ(m) ρ*ℵm.
otrzymujemy ciecz idealnie lepką
dsw/dt=(1/T)* Σ(m) ρ*ℵm.+r
3. sx.=0
T*(ds/dt)=T*(dsz/dt)=du/dt-σij*εij.
dsz/dt=0 -adiabatyczna wymiana ciepła z otoczeniem
(bez rozproszenia energii)
du/dt=σij*εij.=ϕ. -równanie Voipta
T*(ds/dt)=du/dt-(p/ρ)*(dρ/dt)+Tr -z rozproszeniem energii
Przemiana izotermiczna
Proces ten nie zależy od temperatury, temperatura jest stała dla tego zjawiska.
dT/dt=0
T*(dsz/dt)=Σ(m) ρ*ℵm.+Tr
σij*εij.=du/dt-T*(dsz/dt)
Energia swobodna Helnocholca (izotermiczny potencjał termiczny)
Ψ=u-Tsz
Równanie na przemiany izotermiczne
σij*εij.=Ψ.
Założenie r=0
Mechanicznej entropii nie ma
Σ(m) ρ*ℵm.=sij*eij.=qi,i
wydziela się ciepło qi,i
Równanie na podstawie którego można wyznaczyć temperaturę
ρ*cv*(dT/dt)= Σ(m) ρ*ℵm.
Stałe wyznaczamy z danych doświadczalnych
Tυo=ρ*ℵo.(eij.,eij..,...,T) -odkształcenia
Tυn=ρ*ℵn.(sij.,sij..,...,T) -naprężenia
Stan jest bliski stanu równowagi termodynamicznej tzn. że zmiany są niewielkie
Tυn=0
Uogólnione strumienie i uogólnione siły
Tr=Σ(l) Fl*fl
fl=Σ(k) clk*Fk
Fk=Σ(l) mkl*fl
Zasada symetrii tensorowej Curie
Dowolna siła uogólniona może wywołać wiele strumieni jeżeli tylko ich współrzędne tworzą tensory o tej samej walencji co przyczyna.
Tυ=Σ(m) ρ*ℵm.+Σ(l) Fl*fl=Σ(i,k) cik*Fi*Fk=Σ(i,k) m,k*fi*fk
Zasada Onsagera
Elementy macierzy współczynników w związkach
fl=Σ(k) clk*Fk
Fk=Σ(l) mkl*fl
są symetryczne tzn.
cij=cji
mkl=mlk
Równania konsutytutywne
Założenia i ograniczenia
ϕ=ϕ(I1,I2,I3,T)
ϕ-adiabatyczny potencjał sprężysty
| σij=∂ϕ/∂εij |
Zakładamy że przemiana jest adiabatyczna
ϕ=ϕ(I1,I2,T)
εij*εij=I12*2*I2
ϕ=(1/2)*λ*εll2+μ*εij*εij
Prawo Hoocka (bez zmian termicznych)
σij=2*μ*εij+λ*δij*εll
Klasyfikacja ośrodków
Ośrodki klasyczne
-ciecze i gazy doskonałe
-ciecze lepkie
-liniowe ośrodki sprężyste
-liniowe ośrodki lepko-sprężyste
Cieczami nazywamy ciała w których dewiator stanu naprężenia dąży do zera w dostatecznie dużym przedziale czasu, gdy prędkości dewiatora stanu odkształcenia równają się zero.
Ciałami stałymi nazywamy takie ciała w których pod wpływem stałego w czasie dewiatorowego stanu odkształcenia nie znikają dewiatory stanu naprężenia chociaż przedział czasu był dowolnie duży.
Ciecze i gazy doskonałe
Ciecze i gazy doskonałe to ośrodki w których nie zachodzi rozproszenie energii w trakcie ich zmiany stanu. Przy dowolnym odkształceniu ośrodka wszystkie współrzędne dewiatora stanu naprężenia równają się zero.
σij=σ*δij=-p*δij
σ11=σ22=σ33=p
σ=-p
Równania ruchu (Euler)
∂σij/∂ξi+ρ*xi=ρ*(dυi/dt)
ρ*(dυi/dt)= ρ*xi-∂p/∂ξi | (1)
ρ*v.=ρ*x-gradp |
dρ/dt+ρ*χi,i=0 | (2)
1.ciecz doskonała nieściśliwa
ρ=ρo=const
ρo*(dυi/dt)=ρo*xi-(∂p/∂ξi)
υi,i=0
2.ciecz doskonała barotropowa
c2=(dp/dρ)>0
c=√(dp/dρ)
(dc/dρ)≥0
p=po*(ρ/po)χ | (3)
Równanie ciągłości masy
(1/c2)*(dP/dt)+υi,i=0
Gaz Klaperjona
Zależność ciśnienia od temperatury
P=R*ρ*T
Energia wewnętrzna
U=ρ*cυ*T
cυ=3k/2m
R=k/m
Z definicji Eulera
du/dt=σij*(dηij/dt)-qij
η-tensor stanu odkształcenia Eulera
| du/dt=-p*υl,l-ql,l |
Prawo Forrena
Qi=-λT*T,i
Równanie przewodnictwa cieplnego
ρ*cυ*(dT/dt)-λT*∇2*T+p*υl,l=0
∇2=(∂/∂ξi)*(∂/∂ξi)
Przy dużych prędkościach strumienia czasami można powiązać przewodnictwo cieplne i wtedy jest adiabatyczna.
p*υl,l=(p/ρ)*(dρ/dt)=0