FIZYKA (S2 W1 prof. Lidia Maksymowicz)

1.) Statystyki kwantowe.

2.)Fale materii.

3.) Doświadczenie Davissona - Germera .

4.) Zasada komplementarności Nilsa Bohra .

5.) Równanie Schrodingera . Zasada nieoznaczoności (Heisenberga).

6.) Cząstka swobodna.

7.) Cząstka w studni nieskończonych potencjałów.

Ad 1.) Statystyki kwantowe.

1.) Rozkład Fermiego - Diraca .

Funkcja określająca prawdopodobieństwo rozkładu F. - D. :

(1)

gdzie ε - energia, którą posiada cząstka w danej temperaturze T,

- energia Fermiego (charakterystyczna dla danego rodzaju materiału i zależna od temperatury),

- stała Boltzmana .

Wzór (1) jest funkcją rozkładu, która określa prawdopodobieństwo znalezienia fermionu (cząstka podlegająca rozkładowi F. - D.) o energii ε w temperaturze T.

Rozkład F. - D. dotyczy cząstek, które spełniają następujące założenia:

• nierozróżnialne,

• nie oddziaływujące ze sobą,

• spełniające zakaz Pauliego - w danym stanie energetycznym, określonym przez zespół liczb kwantowych, może znajdować się tylko jedna cząstka. Liczby kwantowe dla konkretnego zjawiska, scharakteryzowanego przez potencjał, są wyznaczone z funkcji falowej przy zadanych warunkach brzegowych.

Przykład:

Badamy jak będzie się zachowywała funkcja rozkładu w temperaturze zera bezwzględnego.

1. T = 0 [°K], ,

2. T = 0 [°K], ,

Dla T = 0, dla wszystkich , prawdopodobieństwo obsadzenia przez fermiony równa się 1.

- poziom odcięcia dla T = 0.

Def. Energia Fermiego:

Dla jest to tzw. poziom odcięcia, tzn., że wszystkie stany energetyczne mniejsze od energii Fermiego są na pewno obsadzone przez fermion, a wszystkie większe od są nie obsadzone (puste), f(ε) = 0. Dla energia Fermiego jest zdefiniowana jako energia poziomu, którego prawdopodobieństwo obsadzenia wynosi .

2.)Rozkład Bosego - Einsteina .

(2)

gdzie μ - potencjał chemiczny

ε - energia bozonu w temperaturze T.

Wzór (2) określa prawdopodobieństwo obsadzenia poziomu ε w temperaturze T przez bozony.

Rozkład B. - E. dotyczy cząstek, które spełniają następujące założenia:

• nierozróżnialne,

• nie oddziaływujące ze sobą,

• nie podlegają zakazowi Pauliego, tzn., że w danym stanie energetycznym może znajdować się nieskończenie wiele bozonów.

Rozkładowi B. - E. podlegają (fermiony):

• fotony (kwant energii fali elektromagnetycznej),

• fotony (kwant energii fali sprężystej w krysztale),

• hel - 4

Spin zgodnie ze wskazówkami zegara, przeciwnie.

Ad 2.) Fale materii.

1924 r. - hipoteza de'Broglie (29 Nobel), że z ruchem cząstek materii jest stowarzyszony ruch falowy, czyli, że korpuskularno - falowe zachowanie się jest również cechą materii.

Z ruchem cząstki o pędzie jest stowarzyszona fala o długości , będąca w następującej relacji z pędem :

gdzie h - stała Plancka

(3)

Energia cząstki będzie związana z częstotliwością stowarzyszoną z ruchem cząstki fali :

(4)

Przykład:

Piłka o masie 1 [kg] porusza się z prędkością 10 [m/s]. Zgodnie z hipotezą (3) liczymy długość fali związanej z ruchem piłki.

Elektron o energii 100 [eV] i masie

Ad 3.) Doświadczenie Davissona - Germera

Zarejestrowano zjawisko wzmocnienia wskutek naładowania sił fal stowarzyszonych z ruchem wiązki elektronów emitowanych. Cechy falowe wykazują również wiązki atomów wodoru i helu, gdzie zjawiska dyfrakcji i interferencji obserwuje się podczas rozproszenia tych związków. Zaobserwowano również fale stowarzyszone z ruchem powolnych elektronów w zjawisku rozproszenia chlorku sodu. Cechy korpuskularne stają się bardzo wyraźne gdy badamy zjawiska emisji lub absorpcji (efekt fotoelektryczny) natomiast cechy falowe stają się dominujące gdy badamy procesy rozchodzenia się (propagacji) materii i promieniowania.

Ad 4.) Zasada komplementarności Nilsa Bohra .

Modele falowe i korpuskularne wzajemnie się uzupełniają. Jeśli dany pomiar dostarcza dowodu falowego to w tym samym pomiarze nie da się wykryć cech korpuskularnych i na odwrót.

W obrazie falowym natężenie jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy, średnią wartością wektora Poytinga :

dla ruchu falowego (fali elektromagnetycznej)

W obrazie fotonowym fali :

gdzie N - średnia liczba fotonów przechodzących w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni prostopadłej do kierunku ruchu fotonu.

Einstein zasugerował, że średnią , która w teorii elektromagnetyzmu jest proporcjonalna do energii przypadającej na jednostkę objętości (wektor Poytinga), można interpretować jako miarę średniej liczby fotonów na jednostkę objętości.

Ad 5.) Równanie Schrodingera . Zasada nieoznaczoności (Heisenberga) .

lub

- wektor falowy,

Czy można określić w tym samym momencie przeprowadzając odpowiedni pomiar zarówno pęd jak i położenie cząstki materialnej lub promieniowania ?

Nie można określić ich dokładniej niż na to pozwala zasada Heisenberga

Nie wynika z metody pomiarowej i nie wynika z niedokładności przyrządów - wynika z natury zjawiska

Przykład:

Rozważamy pocisk o masie 50 [g] i elektron o masie [g] poruszające się z prędkością 300 [m/s]. Szukamy :

błąd względny

Poszukujemy równanie falowe, którego rozwiązaniem ma być fala ψ i które musi spełniać założenia:

musi uwzględniać postulaty de Broglie i Einsteina

równanie to musi być zgodne ze związkiem

gdzie V - energia potencjalna,

równanie musi być liniowe, tzn., że jeśli oraz jest rozwiązaniem tego równania, to także rozwiązaniem musi być , gdzie - kombinacja liniowa. Żądanie liniowości zapewnia, że będziemy mogli dodawać do siebie funkcje falowe, czyli będą zachodzić interferencje.

energia potencjalna V jest funkcją czasu .

Równanie falowe Schrodingera zależne od czasu :

Dla trzech wymiarów :

- operator energii.

Funkcja musi spełniać następujące warunki :

musi być ciągłą z pierwszą pochodną,

musi być jednoznaczna,

iloczyn musi dawać gęstość prawdopodobieństwa spotkania cząstki w jednostce objętości.

W przypadku gdy potencjał V jest niezależny od czasu możemy :

; V = V(x)

gdy podstawimy :

gdzie E - energia cząstki (wartość własna równania)

- r. bezczasowe Schrodingera

(1)

(2)

z (1) i (2)

Z powyższych równań otrzymujemy :

- funkcja własna równania.

Wartości własne rozwiązania równania Schrodingera są to te wielkości fizyczne, które obserwujemy w doświadczeniu.

Ad 6.) Cząstka swobodna (V(x) = 0 - potencjał).

Korzystamy z równania bezczasowego Schrodingera :

Rozwiązanie będzie mieć postać (postulujemy) :

- równanie fali bieżącej (nałożenie dwóch fal o różnych amplitudach)

Przykład :

Ad 7.) Cząstka w studni nieskończonych potencjałów.

, dla

dla

Postulujemy, że fala stowarzyszona z cząstką w studni potencjałów będzie miała postać :

- fala stojąca, funkcja klasy

gdzie , dla i

i aby była ciągła

; - brak cząstki

Możliwości :

1. i

2. i

lub

gdzie n - określa dozwolone stany pędu cząstki

Liczbę n nazywamy główną liczbą kwantową, wynika to z ograniczenia obszaru i założenia ciągłości funkcji falowej (klasa )

- rozkład prawdopod. wystąpienia cząstki

Cząstka wrzucona do studni potencjałów nie może mieć wartości zerowej. Minimalna wartość energii takiej cząstki wynosi (n = 1). Wynika to z zasady nieoznaczoności Heisenberga .

i

musi być większa od

Podsumowanie :

- funkcje własne, E - wartości własne

Konkretny przypadek :

warunki brzegowe (opisują prawdopodobieństwo znalezienia cząstki poza rozważanym obszarem)

równanie i (w pewnych przypadkach pojawiają się liczby kwantowe)

dozwolone wartości (wartości falowe na wektor falowy)

relacja pomiędzy k i E (relacja dyspersji)

warunki na dozwolone wartości

W przypadku wielowymiarowym (elektron w atomie) mamy więcej liczb kwantowych (dla elektronu w atomie równa 4), więcej energii skwantowanych .

FIZYKA (S2 W2 prof. Lidia Maksymowicz)

1.) Struktura kryształu.

2.) Wiązania w krysztale.

Ad 1.) Struktura kryształu.

Doskonały kryształ składa się z uporządkowanych atomów w sieci krystalicznej, opisanej przez trzy podstawowe wektory translacji ,,, tak, że układ atomów pozostaje niezmienny, niezależnie od tego, czy obserwujemy go z punktu , czy z , gdzie .

Zbiór punktów określonych przez dla dowolnych , , definiuje nam sieć krystaliczną.

gdzie , , - liczby całkowite

- wektor translacji

Sieć krystaliczna jest regularnym i periodycznym układem punktów w przestrzeni.

Baza składać się może z jednego lub wielu atomów.

Komórka prosta sieci to równoległościan oparty na wektorach ,,.

Komórka elementarna uwzględnia własności symetrii danego kryształu. Powstaje w wyniku translacji (prostej) kryształu.

Pięć sieci dwuwymiarowych (Bravaisgo).

Sieć	Umowna komórka elementarna	Parametry sieciowe komórki elementarnej
ukośnokątna	równoległobok	,
kwadratowa	kwadrat	,
prostokątna prosta	prostokąt	,
heksagonalna	romb (60 stopni)	,
prostokątna centrowana	prostokąt	,

Czternaście rodzajów sieci trójwymiarowych (siedem układów).

Układ	Liczba sieci w układzie	Parametry sieciowe komórki elementarnej
trójskośny	1 P	,
jednoskośny	2 P, C	,
rombowy	4 P, C, I, F	,
tetragonalny	2 P, I	,
regularny	3 P, I, F	,
romboedryczny	1 R	,
heksagonalny	1 P	, ,

gdzie

P - atomy w narożach

I - przestrzennie centrowana

F - powierzchniowo centrowana

C - centrowany powierzchniowo na dolnej i górnej płaszczyźnie

Ad 2.) Wiązania w krysztale.

Polikryształ - osie krystalograficzne tworzą dowolne kąty.

Struktury amorficzne - związki upakowane.

Spójność kryształu spowodowana jest oddziaływaniami elektrostatycznymi. Energię kryształu można obliczyć wyznaczając poziomy energetyczne poszczególnych atomów. W zagadnieniu spójności kryształu porównuje się energię ciała stałego (kinetyczną, potencjalną) z energią tej samej liczby swobodnych atomów nieskończenie odległych od siebie.

Kryształ jest stabilny gdy jego całkowita energia jest mniejsza od całkowitej energii swobodnych atomów lub cząsteczek.

Energia spójności kryształu jest zdefiniowana jako energia swobodnych atomów minus energia kryształu.

Ze względu na różne źródła pola elektrostatycznego wyróżniamy cztery wiązania :

molekularne (siły van der Wallsa)
(argon)

wiązanie jonowe
(chlorek sodu)

wiązanie metaliczne
(sód)

wiązanie kowalencyjne
(diament)

Typy wiązań i ich własności

Typ wiązania	Przykład	Energia wiązania	Charakterystyczne własności
kowalencyjne	diament	710,60	twarde, małe przewodnictwo
jonowe	NaCl, LiF	762,40 1003,20	pochłanianie podczerwone, mała w niskich temperaturach, duże w wysokich
metaliczne	Na, Fe	108,68 392,92	duże przewodnictwo elektryczne i cieplne
molekularne	Ar, CH4	7,52 10,03	niska temperatura topnienia i wrzenia, duża ściśliwość

1.) Wiązanie van der Wallsa (molekularne) - gazy szlachetne.

Potencjał elektrostatyczny od kulisto - symetrycznego rozkładu elektronów w atomie znosi się na zewnątrz obojętnego atomu z potencjałem elektrostatycznym ładunku zawartego w jądrze. Wydawałoby się więc, że atomy gazów szlachetnych nie mogą krystalizować ze względu na brak źródeł pola elektrycznego. Jednakże ze względu na ruch ładunku elektrycznego wokół jądra w pewnym momencie czasowym ( lub) istnieje różny od zera moment dipolowy i ten chwilowy moment dipolowy atomu „1” wytwarza chwilowe pole elektryczne.

- w atomie „2” odległym o R od atomu „1”.

i wówczas w atomie „2” indukuje się dipolowy moment elektryczny

- w atomie „2”

gdzie

- promień atomu

W ten sposób wytworzona zostanie energia potencjalna wzajemnego oddziaływania dipolu i, która wynosi:

szacunkowo

Jeżeli przyjmiemy to

gdzie

i ta energia potencjalna nosi nazwę oddziaływania van der Wallsa - Londona lub fluktuującego pola. Dla kryptonu energia potencjalna wynosi , co odpowiada temperaturze i jest to temperatura, przy której występuje zjawisko topnienia kryształu kryptonu i w przybliżeniu jest to temperatura topnienia wszystkich gazów szlachetnych.

Nakładanie się elektronów atomów o zapełnionych powłokach może (gdy atomy zbliżają się do siebie w skutek działania siły van der Wallsa) mieć miejsce gdy elektrony są przeniesione do wyższych stanów energetycznych. Wówczas wzrasta całkowita energia układu, ale nie jest spełniony zakaz Pauliego i pojawia się oddziaływanie odpychające, którego wartość zależy również od R.

- stan energii

Nakładanie się rozkładu elektronów w przypadku wzajemnego zbliżania się. Całkowita energia potencjalna układu atomów nosi nazwę potencjału Lennarda - Jonssa i wiązanie tego typu jest wówczas stabilne, gdy potencjał L. - J. w funkcji R będzie miał minimum dla jakiejś konkretnej wartości R.

gdzie i - współczynniki znane dla danego gazu szlachetnego, które można wyliczyć.

2.) Wiązania jonowe.

W przypadku wiązań jonowych kryształy ułożone są z dodatnich i ujemnych jonów, przy czym jony te są tak rozmieszczone, że Coulombowskie siły przyciągania cząstek o przeciwnych znakach są większe od sił odpychania o tych samych znakach. Wiązanie zachodzi między atomami, których struktura energetyczna elektronów, a tym samym stopień obsadzenia orbit elektronowych, pozwala przyjąć elektron na daną ostatnią orbitę atomu „1” z atomu „2”, który stosunkowo łatwo może pozbyć się tego elektronu.

Zasadniczy wkład do energii wiązania kryształów jonowych daje oddziaływanie elektrostatyczne zwane energią Madelunga. Jeżeli przez oznaczymy energią oddziaływania między jonem i -tym i j -tym to energia całkowita jonu i -tego będzie równa :

i wówczas całkowita energia oddziaływania między jonem i -tym i j -tym będzie równa :

gdzie - zależnie czy dodatnie (przyciąganie) czy ujemne (odpychanie) oddziaływanie Coulombowskie

- energia Madelunga

- odległość między jonem i -tym a j -tym.

Wypełnione powłoki elektronowe w atomach zachowują swoją sztywność (nie ulegają odkształceniu) i przeciwdziałają nakładaniu się rozkładów elektronowych sąsiednich jonów, tym samym powstaje źródło oddziaływania odpychającego pochodzącego od pola centralnego, gdzie energia odpychania wyraża się wzorem:

- energia pola centralnego

gdzie i - współczynniki doświadczalne, wyznaczone w oparciu o współczynnik stałej sieciowej i współczynnik ściśliwości.

energia odpychania , energia Coulombowska

Przy minimum energii całkowitej może powstawać kryształ.

Wykres energii przypadającej na cząsteczkę kryształu KCl przedstawiający rozkład energii.

3.) Wiązanie kowalencyjne.

Siła wiązania kowalencyjnego jest porównywalna z jonowym, pomimo że wiązanie to występuje między atomami obojętnymi. Wiązanie kowalencyjne jest izotropowe (tzn. w każdym punkcie energia jest taka sama). Wiązanie kowalencyjne tworzą 2 elektrony po jednym z każdego atomu, elektrony te maja spiny przeciwne, inaczej można powiedzieć, że w tej samej chwili sąsiednie atomy wymieniają się elektronami o spinach przeciwnych (oddziaływanie wymienne poprzez siły wymiany). Energię tego oddziaływania można wyliczyć tylko w oparciu o mechanikę kwantową i związana jest ona z nakładaniem się funkcji falowych.

- funkcje falowe (wodór)

Przy stanie A nie może powstać kryształ gdyż brak tam minimum.

4.) Wiązanie metaliczne.

Kryształ utworzony poprzez siły wiązania metalicznego składa się z jonów dodatnich zanurzonych w morzu elektronów, które można traktować jako elektrony swobodne (posiadają jedynie energię kinetyczną, nie posiadają potencjalnej). Oznacza to, że elektrony mogą przemieszczać się w krysztale i wobec tego kryształ taki jest dobrym przewodnikiem prądu i ciepła.

Gaz Fermiego elektronów swobodnych - metale, wiązania metaliczne.

Wiele podstawowych własności fizycznych metali można wyjaśnić na podstawie elektronów swobodnych - gaz Fermiego . Elektrony walencyjne w metalach stają się nośnikami elektryczności i stąd ich nazwa elektrony przewodnictwa. W modelu tym zaniedbuje się oddziaływanie między elektronami a jonami dodatnimi, przyjmuje się, że elektrony te swobodnie poruszają się po krysztale, posiadają energie kinetyczną i nie uwzględnia się energii potencjalnej.

Założenia:

elektrony są swobodne

rozpatrujemy przypadek

Wobec czego równanie Schrodingera będzie miało postać :

(1) - przypadek stacjonarny (nie uwzględniamy czasu)

Występowanie naturalnej powierzchni kryształu narzuca warunki brzegowe na funkcję falową .

Warunki brzegowe typu

, , - nie są fizycznie poprawne, gdyż naturalna powierzchnia kryształu nie jest nieprzenikniona dla elektronu. Jest eksperymentalnie potwierdzone, że pod wpływem całego szeregu naturalnych czynników elektron może przejść poza powierzchnię kryształu (efekty tunelowe, efekty mechaniki kwantowej). Obowiązują warunki brzegowe Borna - Karmanna (zakłada się, że własności próbki skończonej nie ulegają zmianie jeśli potraktować ją jako część ośrodka nieskończonego o takiej samej strukturze i wówczas funkcja falowa będzie funkcją okresową, z tym, że jej okres będzie związany z rozmiarami kryształu.

Rozwiązaniem równania (1) jest funkcja :

Jeżeli

- sześcian

to własności fizyczne są takie same nawet poza obszarem kryształu.

(2a)

(2b)

(2c) - warunki brzegowe

Funkcje falowe, spełniające równanie Schrodingera (1) dla cząstki swobodnej z warunkiem normalizacji dla objętości

- warunek normalizacji

Ponadto funkcja musi spełniać warunki B. - K., wobec czego rozwiązania będą miały postać bieżącej fali płaskiej, pod warunkiem, że składowe wektora falowego będą spełniały warunki :

, ,

Warunki brzegowe powodują, że wektor falowy będzie przyjmował następujące wartości

gdzie n - liczba całkowita (+ lub -)

Składowe wektora są liczbami kwantowymi w rozpatrywanym zagadnieniu (określonym przez potencjał i warunki brzegowe) i wraz z liczbą spina stanowią zespół liczb kwantowych określających elektron. Stan energii czyli własności własne zgodnie z relacją dyspersji :

- wartość własna

Rozważamy układ N elektronów w temperaturze T=0. Zagadnienie rozważamy w przestrzeni fazowej (nie jest to układ kartezjański) wektora falowego czyli w układzie współrzędnym :

(3)

gdzie - poziom Fermiego

Mamy taki zbiór wektorów , dla których .

W tej przestrzeni fazowej stany obsadzone przez elektrony można przedstawić jako punkty wewnątrz kuli przestrzeni wektora . Energia (Fermiego) na powierzchni kuli (o promieniu ) wynosi :

, - równanie kuli

Z warunków kwantowania wektora :

,

wynika, że istnieje jeden dozwolony wektor falowy, tzn. jedna trójka dla minimalnego elementu objętości, który wynosi .

Maksymalna objętość kuli .

Pamiętając, że ze względu na spinową liczbę kwantową dla danego zespołu mogą być dwa elektrony, mamy następującą relację:

Całkowita liczba elektronów równa się:

całkowita objętość kuli w przest. fazowej / elementarna obj., w której znajduje się jeden elektron

i z tego związku dostajemy wyrażenie :

jest to wielkość zwana stałą materiałową, czyli dla danego kryształu o znanej strukturze krystalograficznej i stałych sieciowych możemy ją jednoznacznie określić.

Znając równanie na i korzystając z relacji dyspersji (3) możemy znaleźć wyrażenie na energię Fermiego, która jest stałą materiałową danego kryształu :

Dla większości kryształów i związków jest wyliczona i wyznaczona metodą eksperymentalną, jak również znana jest zależność temperatury dla .

Można również wyznaczyć prędkość elektronu na powierzchni korzystając z postulatu de Broglie:

Dane materiałowe.

Pierwiastek
Lit Li	4,7	1,3
Sód Na	3,1	1,1
Potas K	2,1	0,85
Miedź Cu	7,0	1,56

FIZYKA (S2 W3 prof. Lidia Maksymowicz)

1.) Przewodnictwo elektryczne.

2.) Prawo Ohma.

3.) Model pasmowy ciała stałego.

4.) Masa efektywna elektronu w krysztale.

5.) Zjawiska transportu.

6.) Gęstość prądu i gęstość strumienia energii.

Ad 1.) Przewodnictwo elektryczne.

Założenia :

rozpatrujemy powierzchnie

pole elektryczne wzdłuż osi OX .

dozwolone stany energetyczne

W stanie podstawowym, bez zewnętrznego pola (E=0),

mamy taki rozkład w przestrzeni

Gdy o składowych to wówczas na zbiór elektronów swobodnych działa siła

Zgodnie z zasadą dynamiki Newtona

czyli zgodnie z hipotezą de Broglie mamy zmianę wektora wzdłuż osi OX

czyli następuje przesunięcie (oznacza to, że pod wpływem pola E w przewodniku będzie płynął prąd).

Jeżeli włączymy zewnętrzne pole to układ elektronów powinien wrócić do stanu podstawowego. Zachodzi to poprzez przekazanie nadmiaru energii w procesie zderzeń (z atomami w węzłach sieci lub defektami).

Po usunięciu pola E układ wraca do stanu podstawowego poprzez zderzenia (stan pusty) i emituje fonon (kwant fali sprężystej) o odpowiedniej energii i wektorze falowym .

Sposób powrotu do stanu podstawowego może odbywać się drogą pośrednią.

Rozproszenie sprężyste w punkcie A na niedoskonałościach lub domieszkach w sieci może przenieść z punktu A do B na kuli o stałej energii . Następnie rozproszenie sprężyste, zmieniające rozkład obsadzonych stanów , zmniejszy do zera pęd całkowity. Procesy fononowe muszą przywrócić układ do rozkładu podstawowego.

Ad. 2.) Prawo Ohma.

- przewodnictwo

Dla miedzi . Średnia droga swobodna (droga, w której elektron nie ulega zderzeniu). Dla miedzi w temperaturze średnia droga swobodna wynosi .

1.) Opór elektryczny wywołany defektami.

Szybkość przejścia w czasie t ze stanów na przesuniętej powierzchni Fermiego do stanu podstawowego w skutek rozproszenia wynosi :

(1)

gdzie X(t) - liczba pozostających na przesuniętej pow.

P(t) - prawdopodobieństwo rozproszenia w jednostce czasu.

Przyjmuje się, że

gdzie - czas relaksacji, który jest różny dla różnych procesów.

dla t=0 przyjmujemy

- zmiana obsadzenia wzgl. czasu poziomów wzbudzonych przesuniętej powierzchni

Całkowite rozproszenie od przesuniętej powierzchni do nieprzesuniętej F jest w najprostszym przypadku sumą rozproszenia termicznego i rozproszenia na defektach

Wykorzystując związek (1) oraz zależność

i

możemy zapisać

Jeżeli te dwa procesy zdarzeń zachodzą niezależnie (na ogół tak jest) to całkowity czas relaksacji spełnia następujący warunek :

gdyż prawdopodobieństwa zajścia tych dwóch rodzajów rozproszeń się sumują i wówczas całkowity opór właściwy równy jest :

Ad 3.) Model pasmowy ciała stałego.

1.) Model Kroniga - Penneya .

Model elektronów swobodnych Fermiego nie tłumaczy tego, dlaczego pewne ciała wykazują własności półprzewodzące, a pewne są izolatorami, natomiast model Fermiego zupełnie dobrze tłumaczy zjawisko transportu elektrycznego. Jeżeli uwzględni się periodyczny potencjał wewnątrz kryształu, to wówczas otrzymujemy pasmowy rozkład stanów energetycznych, który pozwala wyjaśnić zjawiska przewodnictwa w półprzewodnikach i izolatorach. Schematycznie można to zilustrować w oparciu o następujący obraz stanów energetycznych.

1) W izolatorach udowadnia się, że wszystkie dostępne pasma są zapełnione, a wolne są bardzo odległe.

2) Następne pasmo jest do połowy zapełnione, a dalej jest puste.

Tworzenie się pasm energetycznych w krysztale jest związane z nakładaniem się energii potencjalnej elektronów sąsiadujących ze sobą atomów. Wówczas stany energetyczne są nadal skwantowane, z tym, że poziomy energetyczne grupują się w pasma i pasma te są oddzielone obszarami energetycznie wzbronionymi, zwanymi pasmami wzbronionymi.

- rozkład en. poten. elektronu w atomie

Jeżeli mam np. trzy atomy wówczas:

Wobec czego, z takiego nakładania energii, wystarczy znać rodzaj atomu i z równania Schrodingera można wyznaczyć bariery potencjalne. Oprócz modelu K. - P. przyjęto rozkład tych barier najprostszy jaki był możliwy, aby prosto rozwiązać równanie Schrodingera . W założeniu modelu K. - P. przyjmuje się periodycznie występujący w krysztale potencjał prostokątny o stałej wysokości :

Zakłada się, że istnieje pewien obszar, dla którego elektron ma energię potencjalną , - elektron swobodny. Dla tak przyjętego rozkładu potencjału stan energetyczny elektronu można opisać poprzez wykorzystanie równań Schrodingera, zapisanych dla dwóch obszarów :

1) ;

2)

;, - potencjał stały

Rozwiązaniami równania 1) i 2) dla periodycznego potencjału są funkcje Blocha :

(2)

Dla kryształu trójwymiarowego równania będą miały postać :

Zagadnienie sprowadza się do znalezienia rozwiązania na U(x) takiego, żeby funkcja U(x) spełniała równania 1) i 2) i aby równocześnie spełnione były warunki periodyczności potencjału. Wstawiając (3) do 1) i 2) dostajemy układ dwóch równań na funkcję U(x), rozwiązaniem których będą następujące funkcje :

; (4a)

; (4b)

gdzie A, B, C, D - wielkości stałe

- związane z wartością własną

- związane z potencjałem

Należy znaleźć, w oparciu o rozwiązane zagadnienie, układ równań, z których będzie można wyznaczyć stałe A, B, C, D. W tym celu wykorzystujemy własności funkcji falowych :

ciągłość funkcji
ciągłość pierwszych pochodnych (bo funkcja falowa jest klasy )
trzecie równanie uzyskamy z żądania periodyczności funkcji

z warunku periodyczności pochodnych

Po podstawieniu i do układu tych czterech równań otrzymamy układ czterech równań jednorodnych na nieznane współczynniki A, B, C, D. Wykorzystujemy sposób rozwiązania układu równań jednorodnych, czyli wyznacznik, utworzony ze współczynników przy niewiadomych A, B, C, D, musi się zerować, aby te niewiadome nie miały wartości zerowych. To prowadzi do następującego równania :

(5)

gdzie - parametr, który określa miarę energii wiązania elektronu

Potencjał , a ogólnie spełnia własności funkcji delty Diraca (funkcja członowa), oznacza to, bez względu na fakt jakie wartości przyjmuje potencjał oraz obszar działania potencjału , to zawsze musi mieć wartość skończoną. Równanie (5) jest za razem relacją dyspersji dla dowolnej wartości p.

Tłustą linią zaznaczono wartości , dla których

Lewa strona równania (5) spełnia równanie jeżeli iloczyn przyjmuje takie wartości, że lewa strona zawarta jest między -1 a +1. Obszary zmienności iloczynu , dla których spełniony jest ten warunek, odpowiadają dozwolonym pasmom energetycznym , dla których mamy rozwiązanie zagadnienia Schrodingera . Z rysunku widać, że wraz ze wzrostem , czyli ze wzrostem , szerokość dozwolonego pasma energetycznego wzrasta. Szerokość ta zależy również od parametru p i maleje wraz z jego wzrostem.

a) przypadek (pasma stają się nieskończenie wąskie - poziomy energetyczne)

z relacji dyspersji (5) wynika, że

czyli dostajemy warunek na skwantowane wartości własne :

b) przypadek (elektron swobodny)

czyli dostajemy :

,k - nie jest skwantowane

Wszystkie wartości energii są dozwolone.

c) przypadek (pośredni)

z relacji dyspersji dostajemy pasma energii dozwolonej przedzielonymi pasmami wzbronionymi. Graficznie można to przedstawić jak poniżej :

Jak wynika z relacji dyspersji (5) nieciągłości funkcji występują dla , gdzie n=1,2,3. Ponadto obserwujemy obszary zmienności wektora falowego , dla których funkcja jest ciągła. Obszary takie to strefy Brillouina .

2.) Strefy Brillouina .

Pierwsza strefa Brillouina jest dla i .

Dla wektora rozważanego w dowolnym kierunku przestrzeni, warunek nieciągłości można zapisać następująco (przypadek dwuwymiarowy) :

gdzie , - odpowiednie liczby kwantowe

,

lub ,

Na płaszczyźnie pierwsza strefa Brillouina będzie zawarta wewnątrz prostokąta o wymiarach i .

Przypadek słabego wiązania :

:

Wewnątrz np. 1 strefy Brillouina można wykreślić krzywe . Jeżeli relacja dyspersji jest kwadratowa, tzn., że (zależność paraboliczna), to krzywe są kołami (np. elektrony swobodne gazu Fermiego). Gdy elektron w danym krysztale porusza się w polu periodycznego potencjału to wówczas nie jest proporcjonalne do . Zależność jest bardziej skomplikowana i wówczas linie stałej energii wykazują odstępstwo od kół.

Przypadek wiązań silnych :

W przypadku silnego wiązania na początku pierwszej strefy Brillouina relacja dyspersji jest nadal kwadratowa, w miarę przesuwania się do końca strefy B., czyli , obserwuje się znaczące odstępstwa od kwadratowej relacji dyspersji i tym samym przestają być kołami.

Druga strefa Brillouina (przypadek dwuwymiarowy).

,

1.

2.

3.

4.

Ad 4.) Masa efektywna elektronu w krysztale.

1.) Ruch elektronów (paczki falowej) w polu elektrycznym .

Paczka falowa tych elektronów utworzona jest ze stanów energetycznych leżących w pobliżu szczególnie wybranej wartości wektora falowego w pojedynczym paśmie energetycznym (w konkretnej strefie Brillouina).

- prędkość grupowa (1)

gdzie

(2)

Do takiego układu przykładamy zewnętrzne pole E i wówczas zostanie wykonana praca równa :

(3)

(4)

Zgodnie z zasadą zachowania energii :

(5)

Jest to zgodne z wynikami, które są skutkiem hipotezy de Broglie .

Z równania (5) wynika, że w krysztale wyrażenie jest równe sile zewnętrznej. Z mechaniki klasycznej wiemy, że . Szukamy masy efektywnej elektronu poruszającego się w krysztale pod wpływem działania sił zewnętrznych. Ze wzoru (3) wynika :

(6)

(6a)

(7)

(8)

Wyrażenie jest zdefiniowane jako masa efektywna elektronu w krysztale, w wyrażeniu tym uwzględnione są siły wewnętrzne kryształu poprzez występujący w krysztale potencjał, gdyż wielkość zależy od relacji dyspersji, czyli od wartości parametru p (potencjału kryształu). Dla przypadku elektronu swobodnego, gdzie relacja dyspersji jest równa mamy:

- masa efektywna równa masie elektronu

Ad 5.) Zjawisko transportu.

Do zjawisk transportu należą :

zjawiska kinetyczne,

przewodnictwo elektryczne,

przewodnictwo cieplne,

zjawiska galwanometryczne,

zjawiska ferromagnetyczne,

zjawiska termoelektryczne

W opisie zjawisk kinetycznych uwzględnia się :

nośniki są w różnych stanach energetycznych,

w krysztale doskonałym funkcja falowa pozostaje niezmienna w dużym przedziale czasowym,

funkcja rozkładu elektronów jest niezmienna (Fermiego - Diraca)

Na układ elektronów w krysztale działają siły zewnętrzne i wówczas stan każdego elektronu w strefie Brillouina zmienia się zgodnie z równaniem :

(1)

Dla t=0 elektrony zajmowały stany wyznaczone przez funkcję rozkładu:

Dla t (działamy polem E) rozkład elektronów według stanów opisanych przez funkcję :

Czyli siły zewnętrzne prowadzą do zmiany funkcji rozkładu. Równanie określające zmianę funkcji rozkładu w czasie, tzn. jej pochodna zupełna po czasie :

(2)

Twierdzenie Liouvillea :

(3) - całkowita liczba stanów w krysztale jest wielkością stałą, czyli pochodna zupełna funkcji rozkładu po czasie jest równa zero.

Jeżeli (3) (2) to otrzymamy :

(4)

Z równania (4) zmienna funkcji rozkładu w czasie w każdym punkcie przestrzeni fazowej jest uwarunkowana ruchem cząstek w zwykłej przestrzeni i w przestrzeni wektora falowego.

Siła składa się z siły pochodzącej od pól zewnętrznych (powolne zmiany stanu cząstki) oraz z siły wewnętrznej uwarunkowanej lokalnymi zakłóceniami periodyczności pola sieci - luki, atomy i jony domieszek, drgania termiczne sieci (gwałtowne zmiany stanu cząstki). zależy od położenia elektronów, nie można uwzględnić ich wpływu na podstawie prawidłowości dynamicznych, trzeba brać pod uwagę prawidłowości statyczne.

Np. zaburzenia działające w obszarze dla wobec czego czas . Takie oddziaływanie traktujemy jak zderzenie w mechanice klasycznej. Ponieważ zderzenia prowadzą do zmiany liczby cząstek mających ruch ukierunkowany. Proces zderzeń można nazwać procesem rozproszenia.

Wzór (4) można zapisać :

(5)

definiujemy :

(6) - wyraz polowy

(7) - całka zderzeń

wówczas :

(8)

- znajduje się w oparciu o statystyczne metody opisu zjawisk fizycznych lub z wykorzystaniem przybliżenia czasu relaksacji. W wyniku zderzeń cząstka przechodzi z elementarnej długości w stanie do elementarnej długości w stanie przejście proste z prawdopodobieństwem przejścia równym . W wyniku zderzenia nie ulega gwałtownej zmianie, a nie zależy od .

Przejścia są to przejścia odwrotne.

Jeżeli - prawdopodobieństwa są równe, to dla procesów stacjonarnych z punktu widzenia rozwiązań oznacza, że . Ze wzoru (8) wynika wtedy :

Otrzymujemy :

(9)

gdzie - całka zderzeń

- obliczone statystycznie

- jednostkowa objętość w jakiej mogą znajdować się dwa elektrony

- objętość strefy Brillouina

Jest to tzw. równanie kinetyczne Boltzmana . W procesach stacjonarnych zmiany funkcji rozkładu wskutek ruchu cząstek i działania pól zewnętrznych są kompensowane zderzeniami nośników z lokalnymi zakłóceniami. Rozwiązanie równania (9) dla przypadku ogólnego jest bardzo trudne, rozwiązuje się go metodami przybliżonymi.

Metoda czasu relaksacji.

, - wyłączamy pole zewnętrzne

Funkcja rozkładu zmienia się wskutek działania zderzeń . Po wyłączeniu zewnętrznego pola zderzenia przywracają zakłócony przez pole stan równowagi. Przyjmujemy :

(10)

gdzie - funkcja rozkładu F. - D. w stanie równowagi

- współczynnik proporcjonalności w ogólności zależy od i , lecz pomijamy zależność od

Całkując równanie różniczkowe otrzymujemy . Po podstawieniu dostajemy :

(11)

gdzie - ma wymiar czasu i nosi nazwę czasu relaksacji

wskazuje jak szybko nastąpi powrót do stanu równowagi (relaksacji).

Równanie kinetyczne Boltzmana dla procesów stacjonarnych, z przybliżeniem czasu relaksacji, można zapisać :

(12)

Równanie (12) opisuje zjawiska kinetyczne w stanie równowagi, rozwiązujemy je metodą iteracyjną i rozwiązania szukamy w postaci szeregu :

(13)

W metodzie iteracyjnej każda pochodna poprawki pierwszego rzędu jest już nieskończenie małą drugiego rzędu. W przybliżeniu pierwszego rzędu :

(14)

Po wstawieniu (14) do (13) obliczamy i wiedząc, że :

(15) - funkcja rozkładu F. - D.

gdzie - zależność od r

- zależność od k

Podstawiając postulowane równanie (14) do równania kinetycznego Boltzmana w przybliżeniu czasu relaksacji (12) otrzymujemy wzór na pierwszą poprawkę, które w ogólności będzie zależne od siły zewnętrznej. W przypadku pola magnetycznego należy uwzględnić pochodne poprawki pierwszego rzędu.

Ad 6.) Gęstość prądu i gęstość strumienia energii.

Stan równowagi układu ładunków jest zakłócony, gdy chcemy uzyskać kierunkowy przepływ ładunku. W elementarnej jednostce objętości kryształu jest stanów, w których znajduje się nośników prądu o prędkości , które dają elementarną gęstość prądu :

(1)

Całkowita gęstość prądu wynosi :

(2)

Uwzględniając przybliżenie pierwszego rzędu otrzymujemy :

(3)

gdzie - w granicach symetrycznych całka z funkcji nieparzystej jest równa zero.

- funkcja parzysta ze względu na k

- funkcja nieparzysta ze względu na k

Relacja kwadratowa - iloczyn funkcji parzystej i nieparzystej.

Równanie (3) redukuje się do postaci :

(4)

Kierunkowy strumień cząsteczek powoduje przekaz energii dla każdej cząstki (np. temperatura).

Gęstość strumienia energii to ilość energii przechodzącej przez jednostkę przekroju w jednostce czasu.

(5)

FIZYKA (S2 W4 prof. Lidia Maksymowicz)

1.)Półprzewodniki.

2.)Zjawisko nadprzewodnictwa.

Ad 1.) Półprzewodniki.

Półprzewodniki to substancje, które w temperaturze nie mają elektronów w paśmie przewodnictwa. Elektrony walencyjne są słabiej związane niż w izolatorach, wystarczy wyższa temperatura i elektrony przenoszą się do pasma przewodnictwa.

W półprzewodnikach przerwa energetyczna jest mniejsza od 5[eV]

Wpływ na charakterystyczne własności półprzewodników ma :

wzbudzanie termiczna,

obce domieszki,

defekty sieci krystalicznej,

odstępstwa od stechiometrii (jeśli półprzewodnik jest związkiem chemicznym).

Opór półprzewodnika zmienia się w granicach

Dla porównania : metale

izolatory

nadprzewodniki

Oporność właściwa wynosi około 300k.

1.) Półprzewodniki samoistne.

Półprzewodnik samoistny jest doskonałym monokryształem i jest czysty - nie ma domieszek - koncentracja domieszek jest mniejsza od . Czyszczenie to topienie strefowe. Półprzewodnictwo nie zależy od domieszek, zależy jedynie od liczby elektronów, które przejdą do pasma przewodnictwa.

Mówimy o temperaturze , powyżej której półprzewodnictwo jest samoistne.

Elektron będzie miał masę efektywną .

- powinna być tensorem (zawiera regułę pól potencjalnych w krysztale)

Czy „dziura” ma masę ?

- w paśmie walencyjnym

(w paśmie walencyjnym) (w paśmie przewodnictwa)

(z pasma walencyjnego)

Dla temperatury poziom Fermiego znajduje się w połowie przerwy wzbronionej. Gdy temperatura rośnie to poziom Fermiego także idzie ku górze.

1.)

2.) (koncentracja elektronów) (koncentracja dziur) - w półprzewodniku samoistnym.

Przewodnictwo zależy od :

gdzie - ruchliwość

Ogólniej jest funkcją :

Koncentracja w półprzewodniku samoistnym równa się :

gdzie

Przykładowe półprzewodniki samoistne :

Zw. chemiczny	Grupy	Przerwa energetyczna
diament		5,33 - izolator
krzem	IV	1,14
german	IV	0,67
InSb	III-V	0,23
InAs	III-V	0,33
SiC	IV-IV	3,0
PbS		0,34-0,37
Cu2O		2,1
GaAs	III-IV

Ruchliwość nośników jest to stosunek prędkości unoszenia, wywołanej polem , do natężenia tego pola :

gdzie U - prędkość unoszenia

Rozproszenia elektronów biorą się z :

niedoskonałości sieci krystalicznych,

obcych domieszek,

ścianek krystalografów,

fononów

W niskich temperaturach ruchliwość zależy tylko od domieszek i niedoskonałości sieci krystalicznej. Największą ruchliwość ma InSb i wynosi ona .

Ruchliwość zależy także od :

- dla elektronu

- dla dziur

gdzie - czas relaksacji drogą swobodnego ruchu cząstki

A2.) Półprzewodniki domieszkowane.

Typ p - podstawowy atom z grupy III

Si

Typ n - podstawowy atom z grupy V (antymon)

Elektron przechodzi z poziomu donorowego do poziomu przewodnictwa.

3.) Złącze prostujące p - n.

Złącze prostujące p - n - zjawisko zachodzące na styku złącza półprzewodnika n i p.

W kryształach półprzewodników można wytworzyć cienką warstwę graniczną zwaną złączem, której grubość wynosi około . Złącze takie posiada własności prostujące i wykazuje działanie tranzystorowe (wzmacniające). Wymagane jest ażeby średnia droga dyfuzji nośników prądu (elektronu lub dziury) była w następującej relacji do warstwy granicznej :

Powstanie prostującego złącza p - n jest wynikiem zrównania się poziomu Fermiego w przypadku łączenia półprzewodnika typu n i p - i odwrotnie.

Jeżeli tworzymy, w równowadze termodynamicznej, elektrony, pochodzące od donorów w obszarze n, zobojętniają ładunek przestrzenny zjonizowanych donorów (zasada neutralności ładunkowej). To samo musi zachodzić dla dziur w obszarze p. Gdy złączymy półprzewodniki typu n i p to dopóki w obszarze złącza nie działa zewnętrzne pole elektrony i dziury nie mogą być całkowicie rozdzielone. Energia Fermiego w obu tych półprzewodnikach znajduje się na różnych wysokościach w paśmie wzbronionym. Dla typu n w pobliżu poziomu donorowego, dla p w pobliżu akceptorowego. Dlatego w obszarze złącza musi następować wyrównanie poziomu Fermiego spowodowane procesem dyfuzji.. Elektrony przechodzą z obszaru n do p, a dziury z obszaru p do n. Ten proces zachodzi tak długo, aż wytworzy się bariera potencjalna, która przeciwstawi się dalszemu procesowi dyfuzji. Tak więc na złączu powstaje pewna warstwa dipolowa, której pole elektryczne przeciwstawia się procesowi dyfuzji.

4.) Prądy w złączu n - p.

Cały czas przez barierę przepływają niewielkie prądy rekombinacji i generacji, które się kompensują.

- prąd rekombinacji (wynik tunelowania)

- prąd generacyjny (procesy termiczne)

- elektrony prądu rekombinacji

- elektrony prądu generacyjnego

- elektrony

- dziury

W zależności od przyłożenia zewnętrznego potencjału możemy tą barierę energetyczną zwiększyć lub zmniejszyć.

Prąd rekombinacji przy napięciu zerowym, zarówno dla elektronów jak i dziur, w stosunku do prądu rekombinacji przy napięciu przyłożonym, maleje wykładniczo. Prąd generacji nie ulega zmianie, gdyż jest on zależny od zmiennej temperatury. Niewielki prąd, płynący przez barierę, nazywamy prądem zaporowym.

Jeżeli przyłożymy jak poniżej, zewnętrzny potencjał obniża barierę potencjałów.

I wówczas, dla prąd rekombinacji dla napięcia przyłożonego w kierunku przewodzenia (obniżenie bariery potencjałów) zmienia się:

Wobec czego wraz ze wzrostem napięcia doprowadzamy do wzrostu prądu przepływającego przez barierę w skutek połączenia warstw dipolowych

Całkowity prąd z uwzględnieniem prądu dziurowego wynosi :

gdzie - suma prądów elektronów i dziur wywołanych generacją termiczną nośników.

Ad 2.) Zjawisko nadprzewodnictwa

Zaobserwowano, że dla pewnych substancji występuje temperatura krytyczna T, dla której opór praktycznie maleje do zera. Pierwszy eksperyment przeprowadzono ( 1911 r. Onnes) na rtęci i stwierdzono, że poniżej opór rtęci maleje do zera. Znaleziono kilka innych związków, dla których zaobserwowano to samo zjawisko, np. :

W latach 80 - tych okazało się, że pewne związki osiągają temperaturę krytyczną przy (ciekły azot). Czas zaniku prądu w stanie nadprzewodzącym (np. w pierścieniu nadprzewodzącym) wynosi 100 000 lat. Substancje nadprzewodzące wykazują pewne cechy charakterystyczne.

1.) Zjawisko Meissnera .

Zjawisko Meissnera polega na wypychaniu linii sił pola magnetycznego z nadprzewodnika . Jest to typowe zachowanie diamagnetyczne, polegające na tym, że w atomie diamagnetycznym elektrony na orbitach dostosowują swój ruch obrotowy w ten sposób, aby wytworzyć wypadkowy moment magnetyczny, przeciwny do zewnętrznego pola magnetycznego (reguła Lenza). W analogiczny sposób zachowują się elektrony w nadprzewodniku . Gdy zewnętrzne pole jest różne od zera i mniejsze od pola krytycznego (), temperatura jest mniejsza od krytycznej (), wtedy linie sił pola magnetycznego są wypychane z obszaru nadprzewodzącego. Pole magnetyczne „utrzymuje nadprzewodnik w stanie nieważkości” czyli lewitacji.

nie obserwujemy zmian nadprzewodnictwo

, ,

,

2.) Efekt izotopowy.

Zgodnie z efektem izotopowym iloczyn średniej masy izotopu pierwiastka i temperatury krytycznej jest wielkością stałą . Dla , czyli dla pierwiastków o bardzo dużej masie atomowej, co oznacza, że są bardzo małe drgania sieci, to - zgodnie z efektem izotopowym, oznacza to, że nie wystąpi zjawisko nadprzewodnictwa. Istnieją inne krzywe charakterystyczne, klasyfikujące niskotemperaturowe nadprzewodniki . Jest to zależność momentu diamagnetycznego () od zewnętrznego pola magnetycznego.

Nadprzewodnik I rodzaju

Nadprzewodnik II rodzaju ,

W tym nadprzewodniku, w zależności od wartości zewnętrznego pola magnetycznego, mamy trzy obszary :

I stan nadprzewodzący

II stan mieszany

III stan normalny

W stanie mieszanym w pewnej tylko objętości zachowuje się stan nadprzewodzący (kanaliki równoległe do linii sił pola magnetycznego).

3.) Teoria BCS.

Teoria BCS (1957) od nazwisk Bardeen, Cooper, Schrieffer .

Zjawisko nadprzewodnictwa związane jest z występowaniem dwóch efektów:

I. jakiś wybrany elektron przekazuje pęd do sieci i powstaje fonon(kwant energii sprężystej kryształu), zachodzą zjawiska przyciągania

II. fonon oddaje pęd innemu elektronowi

W efekcie finalnym elektrony i wymieniają ze sobą pędy, czyli oddziaływają ze sobą. Oddziaływanie to jest dwustopniowe i przyciągające i wynika z kolejnych wymian fononowych. Takie elektrony i tworzą parę Coopera .

Jakościowy obraz teorii BCS.

1. - elektron pierwszy przechodzi obok jonu sieci i poprzez siły przyciągania coulombowskiego (z jonami +) nadaje pęd każdemu jonowi.

2. Pęd ten powoduje, że jony zbliżają się do siebie.

3. Pojawia się obszar zwiększonej gęstości ładunku (+), który dzięki właściwościom sprężystym kryształu, rozchodzi się w postaci fali, przenoszącej pęd w sieci kryształu. Czyli wyemitował fonon - stworzył falę sprężystą i w tym procesie pęd elektronu uległ zmianie.

4. Drugi elektron przejdzie obok propagującego obszaru zwiększonej gęstości ładunku dodatniego, będzie więc przyciągany. Może zaabsorbować cały pęd, niesiony przez fonon. Tym samym, drogą pośrednią, absorbuje pęd dostarczony przez do sieci.

5. W efekcie końcowym elektron i wymieniły ze sobą pęd, a więc, drogą pośrednią, oddziaływały ze sobą i oddziaływanie to było przyciągające.

6. Z obliczeń teorii BCS wynika, że to pośrednie oddziaływanie przyciągające może, w pewnych przypadkach, przewyższyć odpychanie coulombowskie .

7. Elektrony te są ze sobą słabo związane i tworzą parę Coopera .

Z obliczeń wynikało, że musi być spełnione kilka założeń (warunki powstawania par Coopera w dostatecznej ilości, ażeby zaistniało zjawisko nadprzewodnictwa) :

temperatura musi być niska, tak, ażeby liczba chaotycznych fononów termicznych w sieci była mała,

oddziaływanie między fononami i elektronami musi być silne (nie mogą być nadprzewodnikami materiały, dla których w wyższych temperaturach, np. , opór jest mały, gdyż oznacza to, że w tych materiałach elektrony przewodnictwa słabo oddziaływają z fononami),

liczba elektronów, leżących w stanach energetycznych tuż poniżej poziomu Fermiego, musi być duża, gdyż, jak wynika z teorii BCS, to właśnie te elektrony są energetycznie w stanie utworzyć pary Coopera,

spiny elektronów tworzących parę Coopera muszą być antyrównoległe .

Pary Coopera są słabo ze sobą związane - ciągle są rozrywane i tworzą się następne, na ogół już z innymi elektronami. Z powodu słabego wiązania para Coopera ma duże rozmiary liniowe - odległość między i , tworzących parę Coopera, wynosi około .

Gdy do takiego materiału przyłożymy zewnętrzne pole elektryczne , wówczas pary zachowują się jak cząstki o podwójnym ładunku elektronu, zachowują one porządek, gdyż pozwala to im utrzymać ich maksymalną liczbę. Pary takie przenoszą „prąd”. Ruch każdej pary jest sprzężony z ruchem pozostałych par i żadna z nich nie może uczestniczyć w chaotycznym rozproszeniu na niedoskonałościach sieci. Wówczas taki układ elektronów dopuszcza, że dany materiał może, poniżej pewnej temperatury krytycznej, być nadprzewodnikiem .

FIZYKA (S2 W5 prof. Lidia Maksymowicz)

1.) Fonony i drgania sieci krystalicznej.

2.) Prędkość grupowa fali sprężystej.

3.) Widmo drgań sieci (widmo fononów).

4.) Ciepło właściwe ciał stałych.

Ad 1.) Fonony i drgania sieci krystalicznej.

Energia drgań sieci krystalicznej, czyli energia fal sprężystych jest skwantowana . Kwant energii fali sprężystej nazywamy fononem. Fale dźwiękowe w kryształach złożone są z fononów. Termiczne drgania w kryształach noszą nazwę termicznie wzbudzonych fononów. Fale sprężyste w zakresie fal krótkich to fale, których długość jest porównywalna ze stałymi sieciowymi kryształu.

Założenia :

rozważamy fale rozchodzące się w kierunkach, dla których są one spolaryzowane poprzecznie lub podłużnie. Dla kryształu regularnego będą to kierunki , , , czyli przekątna przestrzenna kryształu, krawędź kryształu, przekątna jednej ze ścian kryształu,

, , ,

,

T - transvers (prostopadle), L - longinuas (wzdłuż)

podczas rozchodzenia się fali cała płaszczyzna sieciowa jest przesunięta równolegle lub prostopadle do wektora falowego , wówczas przesunięcie płaszczyzny S z położenia równowagi jest opisane współrzędną ,

siła działająca na płaszczyznę S, wywołana przez przesunięcie płaszczyzny S+P jest proporcjonalna do różnicy przesunięć czyli jest opisana :

(1)

gdzie - współczynnik siły działającej między płaszczyznami odległymi o P.

- fala podłużna

- płaszczyzna sieciowa z atomami w stanie równowagi

- przesunięta płaszczyzna sieciowa wywołana falą podłużną

- fala poprzeczna

- stan równowagi

- stan przesunięcia

Zgodnie z prawem Hoockea, że jest związana ze wszystkimi płaszczyznami

(1)

Zgodnie z II zasadą dynamiki, siła i współczynnik jest przyporządkowany jednemu atomowi w sieci :

(2)

Sumowanie odbywa się po i .

Rozwiązanie równania (2) ma postać fali bieżącej :

(3)

gdzie a - stała sieciowa

Po wstawieniu (3) do (2) dostajemy relację dyspersji w postaci :

(4)

Z własności kryształu (symetrii translacji kryształu) wynika, że , po uwzględnieniu tego w (4) otrzymamy :

(5)

Korzystając z tożsamości

relacja dyspersji przyjmie następującą postać :

(6)

Relacja dyspersji, która uwzględnia oddziaływania między wszystkimi płaszczyznami.

Rozważmy relację dyspersji z uwzględnieniem oddziaływania między najbliższymi płaszczyznami P=1, wówczas relacja ta ma postać :

(7)

(8)

(9)

Graficznie relacja dyspersji może być przedstawiona następująco :

Zależność - relacja dyspersji, - energia, tak więc jest zależnością energii od .

Jeżeli weźmiemy stosunek dwóch kolejnych płaszczyzn to wyraża się wzorem, z którego wynika, że stosunek ten przyjmuje wszystkie niezależne wartości dla z przedziału . Przedział ten jest przedziałem zmienności wektora falowego , a nazywamy pierwszą strefą Brillouina .

Maksymalna wartość , w I strefie Brillouina, jest równa . Dla jednowymiarowej sieci krystalicznej wynosi , z czego wynika, że (długość fali sprężystej) będzie rzędu . Widać, że taka fala sprężysta w krysztale będzie „widziała” dyskretną strukturę materiału. Są to fonony krótkofalowe.

Ad 2.) Prędkość grupowa fali sprężystej.

Def.

Korzystając z relacji dyspersji (9) możemy wyliczyć prędkość grupową paczki fal sprężystych :

(10)

I na końcach I strefy Brillouina, gdzie , prędkość grupowa wynosi zero

.

Dla dowolnego ogólnego przypadku zawsze prędkość grupowa paczki fal sprężystych jest równa zero, na końcach strefy Brillouina .

Do zakresu fal długich (ośrodek ciągły) przyjmujemy we wszystkich tych wzorach i wówczas relacja dyspersji dla dowolnego P przyjmuje postać :

(11)

;

W przybliżeniu ośrodka ciągłego relacja dyspersji fononów jest liniowa.

Ad 3.) Widmo drgań sieci (widmo fononów).

Wszystkie możliwe energie, jakie jesteśmy w stanie wygenerować lub absorbować, podlegają drganiom sieci.

Zjawisko to rozpatrzymy na przykładzie kryształu, w którym występują wiązania jonowe. Dla takiego kryształu relacja dyspersji , dla każdego kierunku polaryzacji posiada dwie gałęzie - optyczną i akustyczna:

- gałąź TO

- gałąź TA - jedna fala

Dwa koherencyjne drgania jonów „+” i „-”

Ad 4.) Ciepło właściwe ciał stałych.

(1)

gdzie U - energia wewnętrzna układu (kryształu)

Z klasycznych rozważań, że dla wyższych (powyżej pewnej) temperatur, każdy układ ma stałe ciepło właściwe, niezależne od temperatury :

;

gdzie ,

N - ilość atomów (oscylatorów),

- stała Boltzmana

Jest to reguła Dulonga - Petita, która jest konsekwencją przyjęcia, że całkowita energia układu N oscylatorów, przypadająca na jeden poziom swobody, jest równa :

Jeżeli mamy N oscylatorów, to przyjmujemy, że jest 6N stopni swobody. Na jeden stopień swobody, zgodnie z zasadą ekwipartycji (rozdział), przypada :

czyli

Ale fonony w krysztale podlegają kwantowej statystyce Bosego - Einsteina.

1.) Teoria Einsteina ciepła właściwego.

Założenia:

energia oscylatora może przyjmować tylko dyskretne wartości, gdzie:

gdzie - średnia wartość liczby fononów w stanie równowagi termicznej.

naturalne drgania sieci są niezależne, jeżeli spełnione jest prawo Hoockea, wówczas energia drgań sieci zależy od i liczby fononów n, natomiast nie zależy od innych rodzajów drgań w równowadze termicznej. W temperaturze T liczba fononów określona jest rozkładem Bosego - Einsteina :

(2)

Wówczas średnia energia jednego fononu jest równa :

(3)

Dla N oscylatorów, o identycznej częstotliwości rezonansowej, całkowita energia, takiego układu, równa się :

(4)

a ciepło właściwe wyraża się wzorem :

(5)

Zgodnie z mechaniką kwantową, oscylator harmoniczny może przyjmować następujące stany energetyczne (ze względu na zasadę nieoznaczoności Heisenberga, nie dopuszcza zerowego stanu energii) :

(6)

Wynik ten przesuwa wszystkie poziomy energetyczne o stałą wartość , która to wartość nosi nazwę energii punktu zerowego oscylatora. Bardzo często, w teorii , wykorzystuje się pewien parametr, zwany temperaturą Einsteina :

(7)

Wówczas wzór na ciepło właściwe zapisujemy : (8)

Możemy zapisać, że jest funkcją parametru , czyli :

(9) - funkcja Einsteina

Częstotliwość , dla której zdefiniowana jest , nosi nazwę częstotliwości Einsteina. Dla dużych temperatur T funkcja Einsteina zmierza do jedynki i dostajemy klasyczny wzór na ciepło właściwe.

Ogólne informacje wynikające z doświadczenia - zależność ciepła właściwego od temperatury :

1. wartość ciepła właściwego, prawie wszystkich ciał stałych, w temperaturze powyżej , jest stała i wynosi 3R, czyli spełniona jest zasada Dulonga - Petita, wyliczona w przybliżeniu klasycznym,

2. w niskich temperaturach ciepło właściwe bardzo silnie spada, zbliża się do wartości zerowej jak . Tak jest dla wszystkich izolatorów, natomiast dla metali spada jak T (liniowo z temperaturą),

3. w magnetykach obserwuje się dodatkowy, znaczny wkład do ciepła właściwego poniżej temperatury Curie, czyli w obszarze, gdzie następuje porządkowanie momentów magnetycznych w obszarach domen,

Kolejnym przybliżeniem modelu, który dobrze opisuje zależność , jest teoria Debeya . Założenia:

kryształ drga jako całość i są to drgania takie, jak w ośrodku ciągłym, czyli do opisu drgań wykorzystuje się ogólne równanie fali w ośrodku ciągłym,

przyjmuje się, że dla kryształu o N oscylatorach maksymalna ilość możliwych drgań wynosi 3N,

przyjmuje się ciągłe widmo drgań sprężystych, które, przechodząc przez kryształ, odbijają się od brzegu i tworzą falę stojącą (jak struna).

Zgodnie z tą teorią, dla niskich temperatur , a dla wysokich spełniona jest zasada Dulonga - Petita .

---