Wytrzymałość

Wytrzymałość
materiałów

materiałów

1

1

materiałów

materiałów

Stany naprężeń i odkształceń

Stany naprężeń i odkształceń

Definicja naprężeń

Definicja naprężeń

Mamy bryłę materialną

Mamy bryłę materialną
obciążoną układem sił (siły

obciążoną układem sił (siły
zewnętrzne, reakcje),

zewnętrzne, reakcje),
będących w równowadze.

będących w równowadze.

P

P

q

α

2

2

będących w równowadze.

będących w równowadze.
Rozetniemy myślowo tę

Rozetniemy myślowo tę

bryłę

bryłę na dwie części

na dwie części

przekrojem

przekrojem

αα

--

αα

..

Jeżeli bryła jest w spoczynku,

Jeżeli bryła jest w spoczynku,
to zewnętrzne oddziaływania

to zewnętrzne oddziaływania
muszą być w stanie

muszą być w stanie
równowagi statycznej.

równowagi statycznej.

P

α

Definicja naprężeń

Definicja naprężeń

Oddziaływanie odciętego fragmentu modeluje

Oddziaływanie odciętego fragmentu modeluje

obciążenie przyłożone

obciążenie przyłożone w sposób ciągły do

w sposób ciągły do

płaszczyzny

płaszczyzny

αα

--

αα

, nazywane

, nazywane naprężeniami

naprężeniami..

3

3

P

P

P

q

q

Definicja naprężeń

Definicja naprężeń

Na powierzchniach fragmentu bryły także zlokalizowane są naprężenia i

Na powierzchniach fragmentu bryły także zlokalizowane są naprężenia i
przedstawiają one oddziaływanie bryły na ten fragment.

przedstawiają one oddziaływanie bryły na ten fragment.

4

4

naprężenia

Oznaczenia naprężeń

Oznaczenia naprężeń

Jeżeli wytniemy prostopadłościan o wymiarach dążących do zera, to

Jeżeli wytniemy prostopadłościan o wymiarach dążących do zera, to
możemy przyjąć, że naprężenia na powierzchniach tego fragmentu są stałe

możemy przyjąć, że naprężenia na powierzchniach tego fragmentu są stałe
i można je przedstawić w formie trzech obciążeń o kierunkach wzajemnie

i można je przedstawić w formie trzech obciążeń o kierunkach wzajemnie
do siebie prostopadłych: kierunek prostopadły do powierzchni i dwa

do siebie prostopadłych: kierunek prostopadły do powierzchni i dwa
kierunki wzajemnie do siebie prostopadłych, ale równoległe do powierzchni.

kierunki wzajemnie do siebie prostopadłych, ale równoległe do powierzchni.

5

5

Oznaczenia naprężeń

Oznaczenia naprężeń

Naprężenia są oznaczane w następujący sposób: naprężenia prostopadłe do

Naprężenia są oznaczane w następujący sposób: naprężenia prostopadłe do

ścian literą

ścian literą

σσ

, naprężenia równoległe

, naprężenia równoległe

σσ

lub

lub

ττ

. Pierwszy indeks oznacza

. Pierwszy indeks oznacza

położenie czyli oznaczenie osi prostopadłej do danej powierzchni, a drugi

położenie czyli oznaczenie osi prostopadłej do danej powierzchni, a drugi
indeks oznacza kierunek wektora naprężenia czyli oznaczenie osi

indeks oznacza kierunek wektora naprężenia czyli oznaczenie osi
równoległej do wektora naprężenia:

równoległej do wektora naprężenia:

6

6

równoległej do wektora naprężenia:

równoległej do wektora naprężenia:

lub częściej

Tensor naprężeń

Tensor naprężeń

Naprężenia, działające na element o nieskończenie małych wymiarach,

Naprężenia, działające na element o nieskończenie małych wymiarach,

zestawia się w macierz, która nosi nazwę tensora stanu naprężeń

zestawia się w macierz, która nosi nazwę tensora stanu naprężeń

σσσσσσσσ

a

a

wygląda w następujący sposób:

wygląda w następujący sposób:









τ

τ

σ

xz

xy

xx

7

7





















σ

τ

τ

τ

σ

τ

τ

τ

σ

=

zz

zy

zx

yz

yy

yx

xz

xy

xx

σ

a naprężenia

a naprężenia

σ

ii

i

τ

ij

są nazywane

są nazywane

składowymi tensora naprężeń. Powyższa

składowymi tensora naprężeń. Powyższa
macierz jest macierzą symetryczną czyli

macierz jest macierzą symetryczną czyli

σσσσ= σσσσ

Τ

oraz

τ

ij

=

τ

ji

Definicje odkształceń

Definicje odkształceń

Pod wpływem zewnętrznych

Pod wpływem zewnętrznych
obciążeń następuje

obciążeń następuje
przesunięcie elementu oraz

przesunięcie elementu oraz
zmiana jego postaci. Prostokąt

zmiana jego postaci. Prostokąt
ABCD zmienia się w

ABCD zmienia się w
równoległobok

równoległobok A’B’C’D

A’B’C’D’.

’.

8

8

równoległobok

równoległobok A’B’C’D

A’B’C’D’.

’.

Punkt A przesuwa się o

Punkt A przesuwa się o
wektor:

wektor:

Natomiast zmiana położenia

Natomiast zmiana położenia
pozostałych punktów jest sumą

pozostałych punktów jest sumą
przesunięcia punktu A,

przesunięcia punktu A,
wydłużenia się elementu oraz

wydłużenia się elementu oraz
obrotu boków elementu.

obrotu boków elementu.

[

]

y

x

u

u ,

AA'

=

Definicje odkształceń

Definicje odkształceń

Zmiana położenia punktu B może być

Zmiana położenia punktu B może być
opisana wektorem

opisana wektorem

gdzie:

gdzie:













∂

∂

+

∂

∂

+

=

dx

x

u

u

dx

x

u

u

y

y

x

x

,

BB'

9

9

gdzie:

gdzie:

średnie odkształcenie elementu

średnie odkształcenie elementu

wydłużenie elementu na

wydłużenie elementu na

długości

długości dx

dx

kąt obrotu boku

kąt obrotu boku

prostokąta

prostokąta

przesunięcie punktu B

przesunięcie punktu B
spowodowane obrotem boku

spowodowane obrotem boku
o długości

o długości dx

dx

x

u

x

∂

∂

dx

x

u

x

∂

∂

( )

α

=

α

=

∂

∂

tg

x

u

y

dx

x

u

y

∂

∂

Definicje odkształceń

Definicje odkształceń

Zmiana położenia punktu B może być

Zmiana położenia punktu B może być
opisana wektorem

opisana wektorem

gdzie:

gdzie:













∂

∂

+

∂

∂

+

=

dy

y

u

u

dy

y

u

u

y

y

x

y

,

CC'

10

10

gdzie:

gdzie:

średnie odkształcenie elementu

średnie odkształcenie elementu

wydłużenie elementu na

wydłużenie elementu na

długości

długości dy

dy

kąt obrotu boku

kąt obrotu boku

prostokąta

prostokąta

przesunięcie punktu C

przesunięcie punktu C
spowodowane obrotem boku

spowodowane obrotem boku
o długości

o długości dy

dy

y

u

y

∂

∂

dy

y

u

y

∂

∂

( )

β

=

β

=

∂

∂

tg

y

u

x

dy

y

u

x

∂

∂

Definicje odkształceń

Definicje odkształceń

Odkształcenia podłużne (względne)
jest to stosunek wydłużenia do
pierwotnej długości czyli:

AB

B'

A'

−

=

ε

xx

11

11

AB

=

ε

xx

dx

=

AB

dx

x

u

dx

u

dx

x

u

u

dx

x

x

x

x

∂

∂

+

=

−

∂

∂

+

+

=

=

−

=

AA'

AB'

B'

A'

x

u

dx

dx

dx

x

u

dx

x

x

xx

∂

∂

=

−

∂

∂

+

=

ε

Definicje odkształceń

Definicje odkształceń

Odkształcenia podłużne (względne)
jest to stosunek wydłużenia do
pierwotnej długości czyli:

AD

D'

A'

−

=

ε

yy

12

12

AD

=

ε

yy

dy

=

AD

dy

y

u

dy

u

dy

y

u

u

dy

y

y

y

y

∂

∂

+

=

−

∂

∂

+

+

=

=

−

=

AD'

AD'

D'

A'

y

u

dy

dy

dy

y

u

dy

y

y

yy

∂

∂

=

−

∂

∂

+

=

ε

Definicje odkształceń

Definicje odkształceń

Odkształcenie postaciowe jest to połowa
kąta o który zmieni się kąt prosty BAD :

(

)

β

+

α

=

γ

2

1

xy

∂

13

13

2

( )

α

=

α

=

∂

∂

tg

x

u

y

( )

β

=

β

=

∂

∂

tg

y

u

x

kąt obrotu boku

kąt obrotu boku
prostokąta AB

prostokąta AB

kąt obrotu boku

kąt obrotu boku
prostokąta AD

prostokąta AD













∂

∂

+

∂

∂

=

γ

y

u

x

u

x

y

xy

2

1

Tensor odkształceń

Tensor odkształceń

Odkształcenia elementu, wywołane działaniem naprężeń, zestawia się w

Odkształcenia elementu, wywołane działaniem naprężeń, zestawia się w

macierz, która nosi nazwę tensora stanu odkształceń

macierz, która nosi nazwę tensora stanu odkształceń

εεεεεεεε

a wygląda w

a wygląda w

następujący sposób:

następujący sposób:













γ

ε

γ

γ

γ

ε

=

xz

xy

xx

ε

a naprężenia

a naprężenia

ε

ii

i

γ

ij

są nazywane

są nazywane

składowymi tensora odkształceń. Powyższa

składowymi tensora odkształceń. Powyższa
macierz jest macierzą symetryczną czyli

macierz jest macierzą symetryczną czyli

14

14

















ε

γ

γ

γ

ε

γ

=

zz

zy

zx

yz

yy

yx

ε

macierz jest macierzą symetryczną czyli

macierz jest macierzą symetryczną czyli

εεεε= εεεε

Τ

oraz

γ

ij

=

γ

ji

Definicje odkształceń w przestrzeni:

Definicje odkształceń w przestrzeni:
odkształcenia podłużne

odkształcenia podłużne

odkształcenia postaciowe

odkształcenia postaciowe

x

u

x

xx

∂

∂

=

ε

y

u

y

yy

∂

∂

=

ε

z

u

z

zz

∂

∂

=

ε













∂

∂

+

∂

∂

=

γ

y

u

x

u

x

y

xy

2

1













∂

∂

+

∂

∂

=

γ

y

u

z

u

z

y

yz

2

1













∂

∂

+

∂

∂

=

γ

z

u

x

u

x

z

xz

2

1

yx

xy

γ

=

γ

zy

yz

γ

=

γ

zx

xz

γ

=

γ

Równanie konstytutywne

Równanie konstytutywne

Równania konstytutywne są to równania opisujące

Równania konstytutywne są to równania opisujące
zależności pomiędzy naprężeniami i odkształceniami.

zależności pomiędzy naprężeniami i odkształceniami.





γ

γ

ε





τ

τ

σ

15

15





















ε

γ

γ

γ

ε

γ

γ

γ

ε

=

zz

zy

zx

yz

yy

yx

xz

xy

xx

ε





















σ

τ

τ

τ

σ

τ

τ

τ

σ

=

zz

zy

zx

yz

yy

yx

xz

xy

xx

σ

?

Równania te zależą od rodzaju materiału oraz stadium

Równania te zależą od rodzaju materiału oraz stadium
pracy konstrukcji (sprężysta, plastyczna) i zawierają

pracy konstrukcji (sprężysta, plastyczna) i zawierają
odpowiednie stałe materiałowe.

odpowiednie stałe materiałowe.

Równanie konstytutywne

Równanie konstytutywne
dla sprężystych ciał izotropowych

dla sprężystych ciał izotropowych

Materiały izotropowe to są takie materiały, które mają takie same własności

Materiały izotropowe to są takie materiały, które mają takie same własności
w każdym kierunku, np. stal, beton. Materiałem izotropowym nie jest

w każdym kierunku, np. stal, beton. Materiałem izotropowym nie jest
drewno.

drewno.
Na podstawie badań stwierdzono, że w przypadku niektórych materiałów

Na podstawie badań stwierdzono, że w przypadku niektórych materiałów
można stwierdzić, że w pewnym zakresie pracy materiału istnieje liniowa

można stwierdzić, że w pewnym zakresie pracy materiału istnieje liniowa

16

16

można stwierdzić, że w pewnym zakresie pracy materiału istnieje liniowa

można stwierdzić, że w pewnym zakresie pracy materiału istnieje liniowa
zależność pomiędzy naprężeniami i odkształceniami .

zależność pomiędzy naprężeniami i odkształceniami .

Wykres próby rozciągania, na którym
zaznaczona jest granica sprężystości R

H

.

ε

σ

E

=

W strefie pracy sprężystej w jednoosiowej
próbie rozciągania zależność pomiędzy
odkształceniami i naprężeniami można
zapisać jako:

Odkształcenia w jednoosiowym

Odkształcenia w jednoosiowym
stanie rozciągania

stanie rozciągania

Jeżeli następuje wydłużenie wzdłuż osi

Jeżeli następuje wydłużenie wzdłuż osi

xx

, to w kierunkach prostopadłych

, to w kierunkach prostopadłych

następuje zwężenie

następuje zwężenie

d

d

−

Odkształcenie
poprzeczne

Odkształcenie

podłużne

l

∆

17

17

d

d

d

−

=

1

'

ε

l

l

∆

=

ε

Współczynnik Poissona

– stosunek odkształcenia poprzecznego

do odkształcenia podłużnego

ε

ε

ν

'

−

=

x

u

x

xx

∂

∂

=

ε

Odkształcenia podłużne przy działaniu naprężeń w jednym kierunku:

xx

yy

νε

−

=

ε

xx

zz

νε

−

=

ε

Zestawienie odkształceń

Zestawienie odkształceń
podłużnych

podłużnych

Zestawienie odkształceń podłużnych w przestrzennym stanie naprężeń

Zestawienie odkształceń podłużnych w przestrzennym stanie naprężeń

E

xx

xx

σ

=

ε

xx

σ

ν

−

=

σ

ν

−

=

νε

−

=

ε

xx

σ

ν

−

=

σ

ν

−

=

νε

−

=

ε

naprężenia działają wzdłuż osi

naprężenia działają wzdłuż osi xx

18

18

xx

xx

xx

yy

E

E

σ

−

=

ν

−

=

νε

−

=

ε

xx

xx

xx

zz

E

E

σ

−

=

ν

−

=

νε

−

=

ε

E

yy

yy

σ

=

ε

naprężenia działają wzdłuż osi

naprężenia działają wzdłuż osi yy

E

zz

zz

σ

=

ε

yy

yy

yy

xx

E

E

σ

ν

−

=

σ

ν

−

=

νε

−

=

ε

yy

yy

yy

zz

E

E

σ

ν

−

=

σ

ν

−

=

νε

−

=

ε

naprężenia działają wzdłuż osi

naprężenia działają wzdłuż osi zz

zz

zz

zz

xx

E

E

σ

ν

−

=

σ

ν

−

=

νε

−

=

ε

zz

zz

zz

yy

E

E

σ

ν

−

=

σ

ν

−

=

νε

−

=

ε

Zestawienie odkształceń

Zestawienie odkształceń
podłużnych

podłużnych

Odkształcenia od działania naprężeń normalnych w trzech kierunkach

Odkształcenia od działania naprężeń normalnych w trzech kierunkach
będzie sumą odkształceń od poszczególnych naprężeń czyli

będzie sumą odkształceń od poszczególnych naprężeń czyli

zz

yy

xx

xx

E

E

E

σ

ν

−

σ

ν

−

σ

=

ε

E

xx

xx

σ

=

ε

yy

xx

E

σ

ν

−

=

ε

zz

xx

E

σ

ν

−

=

ε

19

19

zz

xx

yy

yy

E

E

E

σ

ν

−

σ

ν

−

σ

=

ε

yy

xx

zz

zz

E

E

E

σ

ν

−

σ

ν

−

σ

=

ε

E

E

E

xx

yy

E

σ

ν

−

=

ε

E

yy

yy

σ

=

ε

zz

yy

E

σ

ν

−

=

ε

xx

zz

E

σ

ν

−

=

ε

E

zz

zz

σ

=

ε

yy

zz

E

σ

ν

−

=

ε

(

)

[

]

zz

yy

xx

xx

E

σ

+

σ

ν

−

σ

=

ε

1

lub w formie

lub w formie

(

)

[

]

zz

xx

yy

yy

E

σ

+

σ

ν

−

σ

=

ε

1

(

)

[

]

yy

xx

zz

zz

E

σ

+

σ

ν

−

σ

=

ε

1

Zestawienie odkształceń

Zestawienie odkształceń
postaciowych

postaciowych

Tak jak w przypadku odkształceń podłużnych na podstawie badań

Tak jak w przypadku odkształceń podłużnych na podstawie badań
stwierdzono zakres pracy materiału, który nazywany jest sprężystym i w

stwierdzono zakres pracy materiału, który nazywany jest sprężystym i w
odniesieniu do którego można zapisać:

odniesieniu do którego można zapisać:

xy

xy

τ

=

γ

2

20

20

G

xy

=

γ

2

W przypadku odkształceń postaciowych nie ma sprzężenia pomiędzy

W przypadku odkształceń postaciowych nie ma sprzężenia pomiędzy
odkształceniami w stanie przestrzennym. Odkształcenia postaciowe

odkształceniami w stanie przestrzennym. Odkształcenia postaciowe
ostateczne zależą tylko od naprężeń stycznych, działających w płaszczyźnie

ostateczne zależą tylko od naprężeń stycznych, działających w płaszczyźnie
zmiany kąta odkształcenia postaciowego.

zmiany kąta odkształcenia postaciowego.

G

yz

yz

τ

=

γ

2

G

xz

xz

τ

=

γ

2

Równania konstytutywne

Równania konstytutywne
w formie analitycznej

w formie analitycznej

Zależności

Zależności

Odkształcenia

Odkształcenia--naprężenia

naprężenia

(

)

[

]

zz

yy

xx

xx

E

σ

+

σ

ν

−

σ

=

ε

1

(

)

[

]

1

(

)









ε

+

ε

+

ε

ν

−

ν

+

ε

ν

+

=

σ

zz

yy

xx

xx

xx

E

2

1

1

(

)





ν

E

Zależności

Zależności

naprężenia

naprężenia--odkształcenia

odkształcenia

21

21

G

xy

xy

2

τ

=

γ

G

yz

yz

2

τ

=

γ

G

xz

xz

2

τ

=

γ

(

)

[

]

zz

xx

yy

yy

E

σ

+

σ

ν

−

σ

=

ε

1

(

)

[

]

yy

xx

zz

zz

E

σ

+

σ

ν

−

σ

=

ε

1

xy

xy

G

γ

=

τ

2

(

)









ε

+

ε

+

ε

ν

−

ν

+

ε

ν

+

=

σ

zz

yy

xx

yy

yy

E

2

1

1

(

)









ε

+

ε

+

ε

ν

−

ν

+

ε

ν

+

=

σ

zz

yy

xx

zz

zz

E

2

1

1

yz

yz

G

γ

=

τ

2

xz

xz

G

γ

=

τ

2

Stałe materiałowe

Stałe materiałowe

W równaniach konstytutywnych występują stałe materiałowe:

W równaniach konstytutywnych występują stałe materiałowe:

E

E

–

– moduł Younga, moduł sprężystości podłużnej

moduł Younga, moduł sprężystości podłużnej

G

G

–

– moduł

moduł Kirchoffa

Kirchoffa, moduł sprężystości postaciowej

, moduł sprężystości postaciowej

νν

–

– współczynnik Poissona

współczynnik Poissona

E

22

22

νν

–

– współczynnik Poissona

współczynnik Poissona

Wszystkie powyższe parametry łączy zależność:

Wszystkie powyższe parametry łączy zależność:

(

)

ν

+

=

1

2

E

G

W przypadku zapisu równań konstytutywnych za pomocą rachunku

W przypadku zapisu równań konstytutywnych za pomocą rachunku

tensorowego dochodzą dwie stałe

tensorowego dochodzą dwie stałe

λλ

i

i

µµ

, nazywane stałymi

, nazywane stałymi Lamego

Lamego.

.

Pomiędzy stałymi

Pomiędzy stałymi Lamego

Lamego a wyżej wymienionymi stałymi istnieją

a wyżej wymienionymi stałymi istnieją

zależności:

zależności:

G

=

µ

ν

−

ν

=

λ

2

1

2 G

Równania konstytutywne

Równania konstytutywne
w formie analitycznej

w formie analitycznej

Składowe tensorów naprężeń i odkształceń można zapisać w formie

Składowe tensorów naprężeń i odkształceń można zapisać w formie

wektorów:

wektorów:





















σ

σ

σ

=

zz

yy

xx

σ













τ

σ

τ

τ

τ

σ

=

yz

yy

yx

xz

xy

xx

σ

23

23

























τ

τ

τ

=

yz

xz

xy

zz

σ









































γ

γ

γ

ε

ε

ε

=

yz

xz

xy

zz

yy

xx

ε





















ε

γ

γ

γ

ε

γ

γ

γ

ε

=

zz

zy

zx

yz

yy

yx

xz

xy

xx

ε











σ

τ

τ

τ

σ

τ

=

zz

zy

zx

yz

yy

yx

σ

yx

xy

τ

=

τ

zy

yz

τ

=

τ

zx

xz

τ

=

τ

yx

xy

γ

=

γ

zy

yz

γ

=

γ

zx

xz

γ

=

γ

Równania konstytutywne

Równania konstytutywne
w formie analitycznej

w formie analitycznej

Zależność pomiędzy naprężeniami i odkształceniami można zapisać w

Zależność pomiędzy naprężeniami i odkształceniami można zapisać w
formie:

formie:

ε

=

σ

D

24

24

gdzie:

gdzie:

stałe

stałe Lamego

Lamego









































τ

τ

τ

σ

σ

σ

=

yz

xz

xy

zz

yy

xx

σ









































γ

γ

γ

ε

ε

ε

=

yz

xz

xy

zz

yy

xx

ε









































+

+

+

=

µ

µ

µ

µ

λ

λ

λ

λ

µ

λ

λ

λ

λ

µ

λ

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

0

0

0

2

0

0

0

2

D

G

=

µ

ν

−

ν

=

λ

2

1

2 G

Równania konstytutywne

Równania konstytutywne
w formie analitycznej

w formie analitycznej

Zależność pomiędzy naprężeniami i odkształceniami można zapisać w

Zależność pomiędzy naprężeniami i odkształceniami można zapisać w
formie:

formie:

ε

=

σ

D

25

25

gdzie:

gdzie:

stałe

stałe Lamego

Lamego









































τ

τ

τ

σ

σ

σ

=

yz

xz

xy

zz

yy

xx

σ









































γ

γ

γ

ε

ε

ε

=

yz

xz

xy

zz

yy

xx

ε









































+

+

+

=

µ

µ

µ

µ

λ

λ

λ

λ

µ

λ

λ

λ

λ

µ

λ

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

0

0

0

2

0

0

0

2

D

G

=

µ

ν

−

ν

=

λ

2

1

2 G

Płaski stan naprężenia

Płaski stan naprężenia

Płaski element, którego grubość jest znacznie mniejsza od dwóch

Płaski element, którego grubość jest znacznie mniejsza od dwóch
pozostałych, obciążony tylko w swojej płaszczyźnie nazywany jest tarczą. W

pozostałych, obciążony tylko w swojej płaszczyźnie nazywany jest tarczą. W
takiej sytuacji na powierzchni elementu nie ma obciążeń, a więc nie ma

takiej sytuacji na powierzchni elementu nie ma obciążeń, a więc nie ma
naprężeń czyli naprężenia, które mają jeden z indeksów „z”, są równe zero.

naprężeń czyli naprężenia, które mają jeden z indeksów „z”, są równe zero.
Taki stan naprężeń nazywany jest płaskim stanem naprężeń (PSN).

Taki stan naprężeń nazywany jest płaskim stanem naprężeń (PSN).

Tarcza obciążona tylko w

Tarcza obciążona tylko w
swojej płaszczyźnie.

swojej płaszczyźnie.

Płaski stan naprężenia (PSN)

Płaski stan naprężenia (PSN)

W płaskim stanem naprężeń (PSN), jeżeli tarcza jest w płaszczyźnie

W płaskim stanem naprężeń (PSN), jeżeli tarcza jest w płaszczyźnie xy

xy, to

, to

następujące naprężenia są równe zero:

następujące naprężenia są równe zero:

a tensor naprężeń przyjmuje formę

a tensor naprężeń przyjmuje formę

0

=

σ

zz

0

=

τ

=

τ

zy

yz

0

=

τ

=

τ

zx

xz













σ

τ

τ

σ

=

0

0

yy

yx

xy

xx

σ

a tensor naprężeń przyjmuje formę

a tensor naprężeń przyjmuje formę

Naprężenia różne od

Naprężenia różne od
zera w przestrzeni

zera w przestrzeni

Naprężenia różne od zera na

Naprężenia różne od zera na
płaszczyźnie tarczy

płaszczyźnie tarczy











σ

τ

=

0

0

0

0

yy

yx

σ

Płaski stan naprężenia (PSN)

Płaski stan naprężenia (PSN)

Ponieważ następujące naprężenia są równe zero:

Ponieważ następujące naprężenia są równe zero:

to równania konstytutywne przyjmują formę:

to równania konstytutywne przyjmują formę:

0

=

σ

zz

0

=

τ

=

τ

zy

yz

0

=

τ

=

τ

zx

xz

(

)

[

]

0

1

+

σ

ν

−

σ

=

ε

yy

xx

xx

E

[

]

yy

xx

xx

E

νσ

−

σ

=

ε

1

[

]

1

G

xy

xy

2

τ

=

γ

G

yz

2

0

=

γ

G

xz

2

0

=

γ

E

(

)

[

]

0

1

+

σ

ν

−

σ

=

ε

xx

yy

yy

E

(

)

[

]

yy

xx

zz

E

σ

+

σ

ν

−

=

ε

0

1





















ε

ε

γ

γ

ε

=

zz

yy

yx

xy

xx

0

0

0

0

ε

czyli tensor odkształceń przyjmuje formę

G

xy

xy

2

τ

=

γ

[

]

xx

yy

yy

E

νσ

−

σ

=

ε

1

(

)

yy

xx

zz

E

σ

+

σ

ν

−

=

ε

Płaski stan odkształcenia

Płaski stan odkształcenia

W przypadku budowli, których wymiary są we wszystkich kierunkach

W przypadku budowli, których wymiary są we wszystkich kierunkach
podobne, można wyciąć płaski element. Na ten płaski element działają

podobne, można wyciąć płaski element. Na ten płaski element działają
pozostałe części bryły, które nie pozwalają na odkształcenia w kierunku

pozostałe części bryły, które nie pozwalają na odkształcenia w kierunku
prostopadłym do tarczy. W takiej sytuacji na powierzchni elementu

prostopadłym do tarczy. W takiej sytuacji na powierzchni elementu
odkształcenia są równe zero. Taki stan naprężeń nazywany jest płaskim

odkształcenia są równe zero. Taki stan naprężeń nazywany jest płaskim
stanem odkształceń (PSO).

stanem odkształceń (PSO).

stanem odkształceń (PSO).

stanem odkształceń (PSO).

Bryła

Wycięta tarcza

Płaski stan odkształcenia

Płaski stan odkształcenia
(PSO)

(PSO)

W płaskim stanem odkształcenia (PSO), jeżeli tarcza jest w płaszczyźnie

W płaskim stanem odkształcenia (PSO), jeżeli tarcza jest w płaszczyźnie xy

xy,

,

to następujące odkształcenia są równe zero:

to następujące odkształcenia są równe zero:

a tensor odkształceń przyjmuje formę

a tensor odkształceń przyjmuje formę

0

=

ε

zz

0

=

γ

=

γ

zy

yz

0

=

γ

=

γ

zx

xz













ε

γ

γ

ε

=

0

0

yy

yx

xy

xx

ε

a tensor odkształceń przyjmuje formę

a tensor odkształceń przyjmuje formę











ε

γ

=

0

0

0

0

yy

yx

ε

(

)









+

ε

+

ε

ν

−

ν

+

ε

ν

+

=

σ

0

2

1

1

yy

xx

xx

xx

E

(

)









+

ε

+

ε

ν

−

ν

+

ε

ν

+

=

σ

0

2

1

1

yy

xx

yy

yy

E

(

)









+

ε

+

ε

ν

−

ν

+

ν

+

=

σ

0

2

1

0

1

yy

xx

zz

E

Natomiast naprężenia wynoszą:

xy

xy

G

γ

=

τ

2

0

2

⋅

=

τ

G

yz

0

2

⋅

=

τ

G

xz





















σ

σ

τ

τ

σ

=

zz

yy

yx

xy

xx

0

0

0

0

σ

Tensor naprężeń:

Porównanie PSO i PSN

Porównanie PSO i PSN

Płaski stan naprężenia

Płaski stan naprężenia

PSN

PSN









σ

τ

τ

σ

=

xy

xx

0

0

σ

Tensor stanu









σ

τ

τ

σ

=

0

0

xy

xx

σ

Płaski stan naprężenia

Płaski stan naprężenia

PSO

PSO





















ε

γ

γ

ε

=

0

0

0

0

0

yy

yx

xy

xx

ε

















σ

σ

τ

=

zz

yy

yx

0

0

0

σ

Tensor stanu
naprężeń:

















σ

τ

=

0

0

0

0

yy

yx

σ





















ε

ε

γ

γ

ε

=

zz

yy

yx

xy

xx

0

0

0

0

ε

Tensor stanu
odkształceń:

Porównanie PSO i PSN

Porównanie PSO i PSN

Przykład obliczeniowy:

Przykład obliczeniowy:
Tarcza obciążona siłami

Tarcza obciążona siłami
skupionymi o wartości

skupionymi o wartości
10kN, zamocowana na

10kN, zamocowana na

10kN, zamocowana na

10kN, zamocowana na
dole.

dole.
Zadanie rozwiązane zostało

Zadanie rozwiązane zostało
metodą elementów

metodą elementów
skończonych w PSN i PSO.

skończonych w PSN i PSO.

Uwaga: w PSO obliczenia wykonuje

Uwaga: w PSO obliczenia wykonuje
się w odniesieniu do grubości o

się w odniesieniu do grubości o
wartości 1 i dlatego nie przyjmuje

wartości 1 i dlatego nie przyjmuje
się grubości.

się grubości.

Porównanie PSO i PSN

Porównanie PSO i PSN

Porównanie PSO i PSN

Porównanie PSO i PSN

Porównanie PSO i PSN

Porównanie PSO i PSN

Jak widać naprężenia mają

Jak widać naprężenia mają
podobny rozkład, ale różnią

podobny rozkład, ale różnią
się wartościami.

się wartościami.

Natomiast

Natomiast
najważniejszą

najważniejszą
różnicą jeżeli chodzi

różnicą jeżeli chodzi
o naprężenia jest, to

o naprężenia jest, to
że:

że:

σσ

zz

zz

=0 dla PSN

=0 dla PSN

a

a

σσ

zz

zz

≠≠

0

0 dla PSO.

dla PSO.

Koniec

Koniec

36

36

Koniec

Koniec