Arkusz 07: Osiowy stan naprężenia. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu „Podstawy wytrzymałości materiałów” na II roku dziennych
studiów Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku „IMIM” w roku akademickim 2014/2015.

Notatki do ćwiczeń z przedmiotu „

Notatki do ćwiczeń z przedmiotu „

Podstawy wytrzymałości materiałów

Podstawy wytrzymałości materiałów

”

”

Arkusz 0

Arkusz 0

7: Osiowy stan naprężenia

7: Osiowy stan naprężenia

1. Osiowy stan naprężenia – definicje, pojęcia, wzory

Teoria dotyczącą osiowego stanu naprężenia – na podstawie wykładu i książek: [1], [2] (rozdział 9).

a) Osiowy stan naprężenia można bardzo ogólnie opisać stwierdzeniem, że wszystkie obciążenia działają w osi
prostoliniowego elementu.
Tensor naprężenia w osiowym stanie naprężenia ma postać określoną poniżej; w tym stanie, zgodnie z równaniami
Hooke'a, generowany jest przestrzenny stan odkształcenia:

T

σ

=

[

σ

x

0

0

0

0

0

0

0

0

]

⇔

związki konstytutywne

T

ε

=

[

σ

x

1
E

0

0

0

σ

x

ν
E

0

0

0

σ

x

ν

E

]

b) Związek funkcji naprężenia z funkcją siły przekrojowej ma postać:

σ

x

( x) =

F

x

( x)

A

( x)

[

N

m

2

= Pa

]

, gdzie F

x

(x) jest siłą przekrojową normalną w przekroju o odciętej x, natomiast A(x) jest

polem powierzchni przekroju w tym przekroju.

c) Jednym z najczęściej wykorzystywanych zagadnień w osiowym stanie naprężenia jest wydłużenie lub skrócenie
elementu konstrukcji ze względu na siły osiowe:

∆ L

Fx

=

∫

0

l

ε

x

( x)dx =

∫

0

l

σ(x)
E

(x)

dx

=

∫

0

l

F

x

( x)

E

( x)A(x)

dx

, gdzie l jest długością elementu.

Jeśli wydłużenia doznaje konstrukcja złożona z kilku elementów o stałych wartościach F

x

(x)=F

x

; A(x)=A ; E(x)=E na

elemencie oraz o długościach elementów l, korzystamy z wzoru na sumę dyskretną:

∆ L

Fx

=

∑

i

F

x

i

⋅l

i

E

i

⋅A

i

, gdzie i jest wskaźnikiem kolejnego elementu.

© Copyright: Anna Stręk. Autorem arkusza jest Anna Stręk. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego określonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z późn. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu.

1

Arkusz 07: Osiowy stan naprężenia. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu „Podstawy wytrzymałości materiałów” na II roku dziennych
studiów Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku „IMIM” w roku akademickim 2014/2015.

d) Oprócz zmiany długości wynikającej z działania sił osiowych mamy także wpływ temperatury na zmianę długości:

∆ L

T

= ∆ T⋅l⋅α

T

, gdzie: ΔT – gradient temperatury, l – długość elementu,

α

T

- współczynnik rozszerzalności cieplnej.

Ponieważ zazwyczaj cała konstrukcja podlega ogrzaniu lub schłodzeniu oraz cała konstrukcja wykonana jest z jednego
materiału nie ma potrzeby w tych przypadkach stosować wzoru uwzględniającego rozbicie na elementy składowe (jak to
było wyżej). Niemniej wzór taki istnieje i oczywiście bardziej złożone przypadki należy rozpatrywać wg niego – przykłady
znajdują się w odpowiedniej literaturze.

e) Całkowite wydłużenie elementu w osiowym stanie naprężenia, poddanego działaniu temperatury, ma zatem postać:

∆ L = ∆ L

Fx

+ ∆ L

T

2. Przykłady osiowego stanu naprężenia – przypadki prętów pojedynczych

Przy analizie tergo rodzaju zadań należy rozdzielić dwa główne przypadki: konstrukcje statycznie wyznaczalne
i niewyznaczalne.

a) Konstrukcje statycznie wyznaczalne
Przypomnienie: reakcje możemy wyznaczyć z równań równowagi wtedy, gdy liczba tych równań odpowiada liczbie
nieznanych reakcji. Mówimy wówczas o układach statycznie wyznaczalnych.

Dla układów statycznie wyznaczalnych pracujących w osiowym stanie naprężenia rozpatruje się najczęściej następujące
zagadnienia: znalezienie sił przekrojowych, znalezienie naprężeń, wyznaczenie wydłużenia lub skrócenia elementu.

Należy rozwiązać zadania nr: 1.2 / str. 10, 1.3 / str. 10, 1.6 / str. 11, 1.10 / str. 14 z książki [3]. Oraz przykład
9.8.1 z książki [2] (rozdział 9).

Zgodnie z warunkiem wytrzymałościowym

σ

x

⩽ k

r

(k

r

- dopuszczalne naprężenia na rozciąganie) lub warunkiem

użyteczności

∆ L ⩽ ∆ L

dop

można także wyznaczać potrzebne parametry konstrukcji: średnicę, materiał, wymiary.

Należy rozwiązać zadanie nr: 1.5 / str. 11 z książki [3].

b) Konstrukcje statycznie niewyznaczalne
W tych przypadkach, kiedy nie mamy wystarczającej liczby równań do obliczenia reakcji, trzeba znaleźć warunki, które
dadzą równania na nadprogramowe niewiadome. Dla osiowego stanu naprężenia zagadnienie to dotyczy najczęściej
obustronnie utwierdzonej konstrukcji. W związku z tym dodatkowym warunkiem będzie geometryczny warunek braku
wydłużenia/skrócenia.

Należy rozwiązać zadania nr: 2.4 / str. 21 , 2.17 / str. 29, 2.23 / str. 34 z książki [3] (obowiązuje tylko metoda
przecięć). Oraz przykład 9.8.21 z książki [2] (rozdział 9)

3. Przykłady osiowego stanu naprężenia – układy geometryczne

a) Konstrukcje statycznie wyznaczalne
Układy geometryczne rozważane w kontekście stanu osiowego naprężenia to najczęściej układy kratowe lub ramowo-
kratowe. Jako elementy rozciągane występują także cięgna i liny. W elementach kratowych oraz cięgnach (linach)
występują tylko i wyłącznie siły przekrojowe normalne osiowe. Najczęstszymi zadaniami dotyczącymi tego zagadnienia są
obliczenia przesunięcia węzła w układzie, dobór wymiarów w układzie z warunku wytrzymałościowego lub
maksymalnego przesunięcia węzła. Warunki te są identyczne jak w punkcie 2a). Siły w prętach kratowych (lub
cięgnach/linach) wyznacza się przecinając te elementy i rozważając równowagę węzła.

Należy rozwiązać przykład 9.8.7 z książki [2] (rozdz. 9) oraz zadania nr: 1.11/ str. 14, 1.12/ str. 15;
1.13/ str. 16 z książki [3].

© Copyright: Anna Stręk. Autorem arkusza jest Anna Stręk. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego określonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z późn. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu.

2

Arkusz 07: Osiowy stan naprężenia. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu „Podstawy wytrzymałości materiałów” na II roku dziennych
studiów Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku „IMIM” w roku akademickim 2014/2015.

b) Konstrukcje statycznie niewyznaczalne
W układach kratowych lub ramowo-kratowych niewyznaczalność najczęściej dotyczy niemożliwości wyznaczenia siły
przekrojowej w prętach kratowych lub cięgnach (linach). Jako układ równań stosuje się równania równowagi węzła (lub
przeciętych prętów i lin) oraz dodatkowe równanie zgodności geometrycznej odkształceń/deformacji.

Należy rozwiązać zadania nr: 2.1 / str. 18 , 2.2 / str. 19, 2.3 / str. 19 z książki [3]. Oraz przykład 9.8.7 z książki
[2] (rozdział 9)

• Umiejętność rozwiązywania zadań podobnych jak w każdym z przedstawionych wyżej czterech zakresów.
• Znajomość wzorów i umiejętność ich wykorzystania.
• Postać macierzy naprężenia i odkształcenia w osiowym stanie naprężenia. Definicja osiowego stanu
naprężenia.

4. Literatura

[1] Piechnik S. "Mechanika techniczna ciała stałego", Wydawnictwo PK, Kraków 2007
[2] Bodnar A. „Wytrzymałość materiałów. Podręcznik dla studentów wyższych szkół technicznych”, wydanie drugie

poszerzone i poprawione, Kraków 2004, rozdział 9

[3] Niezgodziński M., Niezgodziński T. "Zadania z wytrzymałości materiałów", Wydawnictwo WNT, Warszawa 2012

© Copyright: Anna Stręk. Autorem arkusza jest Anna Stręk. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego określonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z późn. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu.

3