Arkusz 05: Stan odkształcenia. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu „Podstawy wytrzymałości materiałów” na II roku dziennych studiów
Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku „IMIM” w roku akademickim 2014/2015.

Notatki do ćwiczeń z przedmiotu „

Notatki do ćwiczeń z przedmiotu „

Podstawy wytrzymałości materiałów

Podstawy wytrzymałości materiałów

”

”

Arkusz 0

Arkusz 0

5: Stan odkształcenia

5: Stan odkształcenia

Podstawy teoretyczne stanu odkształcenia należy opanować na podstawie wykładu i książek: [1], [2]
(rozdział 6). Poniżej znajduje się tylko konspekt, podaną tu wiedzę należy uzupełnić w oparciu o literaturę.

1. Stan odkształcenia – pojęcia i definicje

Stan odkształcenia w punkcie można opisać za pomocą tensora odkształcenia:

T

ε

=

[

ε

11

ε

12

ε

13

ε

21

ε

22

ε

23

ε

31

ε

32

ε

33

]

,

T

ε

=

[

ε

x

1
2

γ

xy

1

2

γ

xz

1
2

γ

yx

ε

y

1
2

γ

yz

1

2

γ

zx

1
2

γ

zy

ε

z

]

gdzie odpowiednio:

ε

ij

=ε

ji

oraz

1
2

γ

ij

=

1
2

γ

ji

Mamy tutaj dwie notacje, pierwsza jest notacją wskaźnikową (i,j=1,2,3),
natomiast druga jest zwyczajową notacją inżynierską (w układzie x,y,z). W
notacji wskaźnikowej odkształcenie (w swoim ogólnym sensie) oznaczane
jest przez

ε

ij

. Natomiast notacja inżynierska stosuje oznaczenie

ε

i

dla określenia odkształceń liniowych, ułożonych na przekątnej macierzy
macierzy odkształcenia, zaś oznaczenie

γ

ij

jako określenie odkształceń

kątowych, umieszczonych poza przekątną macierzy.

• Odkształceniem liniowym

ε

i

nazywa się miarę wydłużenia

względnego nieskończenie małego włókna materialnego w procesie
deformacji.

• Odkształceniem kątowym

γ

ij

nazywa się miarę zmiany kąta między

dwoma pierwotnie prostopadłymi włóknami w procesie deformacji. (Inna
nazwa: odkształcenie postaciowe.)

• Mówiąc tylko: „odkształcenie”, mamy na myśli jedno z dwóch

powyższych, bez wskazania, o które dokładnie chodzi.

© Copyright: Anna Stręk. Autorem arkusza jest Anna Stręk. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego określonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z późn. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu.

1

Rysunek 1: Odkształcenie liniowe i kątowe włókien.

(Autorem rysunku jest mgr inż. Paweł Szeptyński,

dziękuję za udostępnienie.)

Arkusz 05: Stan odkształcenia. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu „Podstawy wytrzymałości materiałów” na II roku dziennych studiów
Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku „IMIM” w roku akademickim 2014/2015.

Warto zapoznać się z jeszcze jednym pojęciem: macierz odkształcenia

1

w punkcie to uporządkowany zbiór odkształceń

liniowych i kątowych trzech włókien przechodzących przez ten punkt i równoległych do osi przyjętego układu
współrzędnych.

2. Stan odkształcenia – interpretacja fizyczna

Powyższe definicje niewiele mówią, bez odniesienia się do zjawisk fizycznych, które są przez nie opisywane. Omówienie
fizycznego pochodzenia takiego opisu stanu odkształcenia w punkcie, razem z wiele wyjaśniającymi rysunkami, znajduje
się we wspomnianej już literaturze [1], [2] (rozdział 6). Faktyczne zjawiska, z jakimi mamy do czynienia przy tym
zagadnieniu łatwo i logicznie wyjaśniają np.: dlaczego w macierzy odkształcenia ujęta jest tylko połowa kąta
odkształcenia, skąd bierze się nazwa „odkształcenie postaciowe” itp. (Kilka zdań, które nieco przybliżają ten aspekt
znajduje się także w punkcie 6 tego arkusza.)

I jeszcze jedna ważna uwaga: chociaż tensor naprężenia i tensor odkształcenia – lub odpowiednio: macierz naprężenia
i macierz odkształcenia – mają bardzo podobną wizualnie postać, to jednak dotyczą dwóch zupełnie innych fizycznych
wielkości! Proszę na przykład porównać wymiary (jednostki), w jakich podajemy wartości dla obu macierzy.

3. Postać główna macierzy odkształcenia

Zagadnienie postaci głównej macierzy jest w zasadzie zagadnieniem algebraicznym. Dla macierzy będącej
uporządkowanym zbiorem wartości pewnej wielkości fizycznej (w naszym przypadku miar odkształceń liniowych
i kątowych) jej postać główna ma swoją interpretację fizyczną.

Postać główna macierzy odkształcenia to postać, dla której wszystkie odkształcenia kątowe są równe 0:

← mamy tu zapis w notacjach, kolejno: wskaźnikowej,
inżynierskiej, w osiach głównych (1,2,3).

Znajdywanie postaci głównej macierzy jest zagadnieniem algebraicznym, związanym z rozwiązywaniem tzw. równania
wiekowego oraz tzw. niezmiennikami macierzy. Na kursie nie będzie wymagana znajomość algorytmu szukania postaci
głównej. Natomiast, w wielu programach do obliczeń matematycznych jest już gotowe polecenie lub komenda, która
pozwala na znalezienie postaci głównej dowolnej macierzy ([3]).

4. Dylatacja

Dylatacją nazywamy względną zmianę objętości w punkcie. Jest ona równa:

D = ε

1

+ ε

2

+ ε

3

= ε

x

+ ε

y

+ ε

z

.

5. Przestrzenny a płaski stan odkształcenia

W przeważającej części przypadków będziemy rozważali przestrzenny stan odkształcenia. Właściwie poza nielicznymi
przykładami, kiedy geometryczne uwarunkowania zapobiegają odkształceniom w jednym kierunku, nie mówi się o stanie
płaskim odkształcenia w konstrukcji.

Natomiast zagadnieniem pokrewnym jest stan, który powstaje na nieobciążonej powierzchni konstrukcji. Przyjmujemy, że
na nieobciążonej powierzchni konstrukcji występuje stan płaski naprężenia; ze związków konstytutywnych (o tym będzie
mowa w odpowiednim arkuszu) wiemy, jaki wówczas zostaje także wygenerowany stan odkształcenia:

T

σ

=

[

σ

x

τ

xy

0

τ

yx

σ

y

0

0

0

0

]

⇔

związki konstytutywne

T

ε

=

[

ε

x

0,5 γ

xy

0

0,5 γ

yx

ε

y

0

0

0

ε

z

]

1

Różnica pomiędzy pojęciem tensora i macierzy oczywiście istnieje, można odwołać się do odpowiedniej literatury z zakresu algebry w celu pogłębienia tej wiedzy.
Wiedza ta nie będzie wymagana w czasie obecnego kursu.

© Copyright: Anna Stręk. Autorem arkusza jest Anna Stręk. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego określonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z późn. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu.

2

T

ε

p

=

[

ε

11

0

0

0

ε

22

0

0

0

ε

33

]

,

T

ε

p

=

[

ε

x

0

0

0

ε

y

0

0

0

ε

z

]

,

T

ε

p

=

[

ε

1

0

0

0

ε

2

0

0

0

ε

3

]

Arkusz 05: Stan odkształcenia. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu „Podstawy wytrzymałości materiałów” na II roku dziennych studiów
Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku „IMIM” w roku akademickim 2014/2015.

Dla takiego stanu odkształcenia i przypadku nieobciążonej powierzchni konstrukcji popularne jest zadanie tzw. rozety
tensometrycznej. Zadanie to pozwala za pomocą doświadczalnego pomiaru odkształceń znaleźć kierunki i wartości
główne macierzy dla płaskiego stanu naprężenia. Zasadę działania rozety tensometrycznej, wzory transformacyjne
i przykładowe zadanie znaleźć np. w książkach: [2] (r. 6, przykład 6.8.1), [4], [5] (przykład 6.1).

6. Równania geometryczne, równania nierozdzielczości

Do tej pory w bieżącym arkuszu posługiwano się terminem: odkształcenie, aby opisać proces deformacji ciała. Można
powiedzieć, że opis „odkształceniowy” jest ściśle związany z ciałem, poprzez to, że rozważamy, co dzieje się
z nieskończenie małym włóknem ciała przed i po deformacji: a) w stosunku do niego samego – zmiana długości, b) lub
w stosunku do innego, pierwotnie do niego prostopadłego – zmiana kąta między nimi.

Jeżeli jednak zagęścimy naszą analizę poprzez rozważanie już nie nieskończenie małych włókien, ale punktów
materialnych należącego do ciała, oraz zrezygnujemy z „autoodniesienia” włókien i zamiast tego posłużymy się
odniesieniem do zewnętrznego układu współrzędnych, nasza dyskusja stanie się dyskusją przemieszczeń punktów ciała
w procesie deformacji.

To bardzo ważne, aby zdać sobie sprawę z różnicy pomiędzy tymi dwoma pojęciami: odkształcenie i przemieszczenie.
Przy okazji, trzeba zauważyć, że każde z tych pojęć stanowi pewnego rodzaju podejście do opisu wspomnianej już
kilkakrotnie deformacji ciała. Na potrzeby tego kursu można przyjąć, że pod terminem „deformacja” należy rozumieć
proces, któremu podlega ciało deformowalne (odkształcalne, niesztywne) pod wpływem przyłożonego do niego
obciążenia.

Jako że odkształcenie i przemieszczenie mogą być rozumiane jako opis tego samego
procesu (zjawiska fizycznego) – deformacji, to naturalnie, między tymi dwoma
sposobami opisu deformacji ciała istnieje związek. Można wyprowadzić go
matematycznie, ma on postać tzw. równań geometrycznych. Oczywiście podanie tych
równań bez właściwego zdefiniowania samego przemieszczenia

̄u

jest nieścisłe.

W tej postaci widać jednak pewną ważną cechę, wiedza o której będzie potrzebna. Otóż można zauważyć, że między
odkształceniem a przemieszczeniem występuje związek różniczkowy: mamy tu w ogólności układ sześciu równań na trzy
niewiadome składowe wektora przemieszczenia. Ten układ nie zawsze musi mieć rozwiązanie. Aby rozwiązanie istniało,
funkcje odkształceń muszą spełniać tzw. równania nierozdzielczości (są to równania łączące związkami różniczkowymi
odkształcenia pomiędzy sobą). Interpretacja fizyczna tych związków jest następująca: funkcje odkształceń muszą być ze
sobą tak związane, aby ciało przed i po deformacji stanowiło continuum (patrz: rysunek 6.9 z książki [2]).

• Odkształcenie liniowe i kątowe.

•

Definicja tensora, macierzy odkształcenia. Zapis wskaźnikowy i inżynierski. Postać główna macierzy odkształcenia.

• Interpretacja fizyczna elementów macierzy odkształcenia. Porównanie z macierzą naprężenia. Jednostki.
• Dylatacja – definicja i wyprowadzenie wzoru.
• Odkształcenie objętościowe i postaciowe.
• Rozeta tensometryczna – co to jest, kiedy i w jakim celu się ją stosuje, zasada działania (wzory
transformacyjne i zadania obliczeniowe nie będą wymagane w tej części).
• Odkształcenie, przemieszczenie, deformacja – definicje, opis.

7. Literatura

[1] Piechnik S. „Mechanika techniczna ciała stałego”, Wydawnictwo PK, Kraków 2007
[2] Bodnar A. „Wytrzymałość materiałów. Podręcznik dla studentów wyższych szkół technicznych”, wydanie drugie poszerzone i

poprawione, Kraków 2004, rozdział 6

[3] Programy komputerowe do obliczeń – zagadnienie postaci głównej macierzy (MathCAD, Matlab, Octave i inne)
[4] Niezgodziński M., Niezgodziński T. „Zadania z wytrzymałości materiałów”, Wydawnictwo WNT, Warszawa 2012
[5] Bąk R., Burczyński T. „Wytrzymałość materiałów z elementami ujęcia komputerowego”, Wydawnictwo WNT, Warszawa 2001

© Copyright: Anna Stręk. Autorem arkusza jest Anna Stręk. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego określonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z późn. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu.

3

Równania geometryczne (i,j=1,2,3)

ε

ij

=

1
2

[

∂ u

i

∂ x

j

+

∂ u

j

∂ x

i

+

∑

k=1

3

∂u

k

∂ x

i

∂ u

k

∂ x

j

]