STAN ODKSZTAŁCENIA

1.Opis przemieszczenia wg Lagrange i wg Eulera:

t – czas a_i – wektor położenia x_i – wektor położenia chwilowego

u_i – wektor przemieszczenia (u_i=x_i-a_i)

$\begin{matrix} x_{i} = f(a_{i},t) \\ u_{1} = f\left( a_{i},t \right) - a_{i} \\ \end{matrix}$ Opis przemieszczenia wg Lagrange

$\begin{matrix} a_{i} = f(x_{i},t) \\ u_{1} = x_{i} - f\left( x_{i},t \right) \\ \end{matrix}$ Opis przemieszczenia wg Eulera

2.Tensory odkształceń skończnych: L_ij, E_ij

$$\begin{matrix} \begin{matrix} \left| \text{PQ} \right| = > \text{da} \\ \left| P'Q' \right| = > \text{dx} \\ \end{matrix} \\ u_{i} = x_{i} - a_{i} - \ \text{wektor}\ \text{przemieszczenia} \\ \end{matrix}$$

-Ciało porusza się w przestrzeni

-Wewnątrz ciała rozpatrujemy elementarny odcinak │PQ│

Wyznaczamy różnicę kwadratów długości odcinków PQ z P’Q’:

(dx)² − (da)² = dx_idx_i − da_ida_i

W zapisie Lagrange otrzymamy:

$$\left( \text{dx} \right)^{2} - \left( \text{da} \right)^{2} = \left\lbrack \frac{\partial u_{i}}{\partial a_{j}} + \frac{\partial u\_ j}{\partial a_{i}} + \frac{\partial u_{r}}{\partial a_{i}} \bullet \frac{\partial u_{r}}{\partial a_{j}} \right\rbrack \bullet da_{i} \bullet da_{j}$$

A w zapisie Eulera:

$$\left( \text{dx} \right)^{2} - \left( \text{da} \right)^{2} = \left\lbrack \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u\_ j}{\partial x_{i}} - \frac{\partial u_{r}}{\partial x_{i}} \bullet \frac{\partial u_{r}}{\partial x_{j}} \right\rbrack \bullet dx_{i} \bullet dx_{j}$$

Definicje tensorów odkształceń skończonych E_ij, L_ij:

$$\begin{matrix} L_{\text{ij}} \frac{1}{2}\left\lbrack \frac{\partial u_{i}}{\partial a_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial a_{i}} + \frac{\partial u_{r}}{\partial a_{i}} \bullet \frac{\partial u_{r}}{\partial a_{j}} \right\rbrack \\ E_{\text{ij}} \frac{1}{2}\left\lbrack \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}} - \frac{\partial u_{r}}{\partial x_{i}} \bullet \frac{\partial u_{r}}{\partial x_{j}} \right\rbrack \\ \end{matrix}$$

W efekcie różnica kwadratów długości odcinków PQ oraz P’Q’ wynosi:

(dx)²-(da)²=2 L_ijda_ida_j - zapis Lagrange

(dx)²-(da)²=E_ijdx_idx_j - zapis Eulera

Oba tensory są symetryczne

L_ij=L_ji ; E_ij=E_ji

Można je przedstawić w postaci macierzy:

$$L_{\text{ij}} = > \begin{pmatrix} l_{11} & l_{12} & l_{13} \\ l_{21} & l_{22} & l_{23} \\ l_{31} & l_{32} & l_{33} \\ \end{pmatrix}$$

Składowe l₁₁, l₂₂, l₃₃ opisują odkształcenia liniowe (zmiana długości krawędzi).
Składowe l₁₂, l₂₃, l₃₁ opisują odkształcenia postaciowe (zmiana kątów pomiędzy krawędziami).

Tensory odkształceń nieskończenie małych

Pomijając człony nieliniowe ($\frac{\partial u_{r}}{\partial a_{i}},\frac{\partial u_{r}}{\partial a_{j}}\ \text{oraz}\ \frac{\partial u_{r}}{\partial x_{i}} \bullet \frac{\partial u_{r}}{\partial x_{j}}$) w tensorach L_ij oraz E_ij Otrzymujemy tensory odkształceń nieskończenie małych w zapisie Lagrange i Eulera.

$$\begin{matrix} l_{\text{ij}} = \frac{1}{2}\left\lbrack \frac{\partial u_{i}}{\partial a_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial a_{i}} \right\rbrack \\ E_{\text{ij}} = \frac{1}{2}\left\lbrack \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}} \right\rbrack \\ \end{matrix}$$

Kiedy wolno stosować tensory L_ij oraz E_ij do odkształceń plastycznych (ukośnych):

-Dla odkształceń osiowo-symetrycznych

-Gdy odkształcenia są proporcjonalne w trakcie zmiany obciążeń:

l₁₁:l₂₂:l₃₃:l₁₂:l₂₃:l₃₁=const

Opisanie punktu:

Stan odkształcenia opisany jest za pomocą 6 liczb:

-3 kąty pomiędzy krawędziami w mierze łukowej

-3 krawędzie

4.Ogólne oznaczenia tensora odkształceń plastycznych

$\varepsilon_{\text{ij}} = \left\{ \begin{matrix} L_{\text{ij}} \\ \begin{matrix} E_{\text{ij}} \\ l_{\text{ij}} \\ e_{\text{ij}} \\ \end{matrix} \\ \varepsilon_{\text{ij}}^{\delta} \\ \end{matrix} \right.\ $ gdzie: ε_ij^δ - tensor odkształceń logarytmicznych

5.Dewiatory tensorów odkształcenia

Aksjator opisuje odkształcenie objętościowe, a dewiator odkształcenie postaciowe.

Odkształcenie

-Objętościowe (dylatacja)

-Postaciowe

Dylatacja – względna zmiana objętości.

a)Dla odkształceń nieskończenie małych

$\begin{matrix} \hat{l_{\text{ij}}} = l_{\text{ij}} - l_{0}\delta_{\text{ij}} \\ \hat{e_{\text{ij}}} = e_{\text{ij}} - e_{0}\delta_{\text{ij}} \\ \end{matrix}$ δ_ij - delta Kroneckera

Gdzie:$\begin{matrix} l_{0} = \frac{1}{3}l_{\text{ii}} \\ e_{0} = \frac{1}{3}e_{\text{ii}} \\ \end{matrix}$ odkształcenia średnie

b)Dla odkształceń plastycznych

$$\begin{matrix} \hat{\varepsilon_{\text{ij}}} = \varepsilon_{\text{ij}} - \varepsilon_{0}\delta_{\text{ij}} \\ \text{gdzie} \\ \varepsilon_{0} = \frac{1}{3}\varepsilon_{\text{ii}} = > \text{odkszta}l\text{cenie}\ \text{srednie} \\ \end{matrix}$$

Uwaga: dla ciał nieściśliwych każde odkształcenie średnie jest równe 0 (l₀=e₀=ε₀=0), wówczas mamy: $\hat{\varepsilon_{\text{ij}}} = \varepsilon_{\text{ij}},\ \hat{l_{\text{ij}}} = l_{\text{ij}},\ \hat{e_{\text{ij}}} = e_{\text{ij}}$

6.Niezmienniki tensorów odkształcenia:

a)Odkształcenia główne −l³ + M₁l² − M₂l + M₃ = 0 Gdzie:

M₁, M₂, M₃ – niezmienniki tensora l_ij l₍₁₎≥l₍₂₎≥l₍₃₎

$$l_{\text{ij}}^{g} = > \begin{pmatrix} l_{(1)} & 0 & 0 \\ 0 & l_{(2)} & 0 \\ 0 & 0 & l_{(3)} \\ \end{pmatrix}$$

b)Niezmienniki dewiatora odkształcenia

$$\begin{matrix} \hat{M_{1}} - \ \text{niez}\text{miennik}\ \text{liniowy} \\ \hat{M_{2}} - \ \text{niezmiennik}\ \text{kwadratowy} \\ \hat{M_{3}} - \ \text{niezmiennik}\ \text{sze}s\text{cienny} \\ \end{matrix}$$

Ogólnie można zapisać:

$$\hat{M_{1}} = - \frac{1}{2}\hat{l_{\text{ij}}}\hat{l_{\text{ij}}};\ \ \ \hat{{\ M}_{2}} = - \frac{1}{2}\hat{e_{\text{ij}}}\hat{e_{\text{ij}}};\ \ \ \ \ \hat{M_{3}} = - \frac{1}{2}\hat{\varepsilon_{\text{ij}}}\hat{\varepsilon_{\text{ij}}}$$

Przykładowo:

$$\hat{M_{2}} = - \frac{1}{6}\left\lbrack \left( \varepsilon_{11} - \varepsilon_{22} \right)^{2} + \left( \varepsilon_{22} - \varepsilon_{33} \right)^{2} + \left( \varepsilon_{33} - \varepsilon_{11} \right)^{2} + 6\left( \varepsilon_{12}^{2} + \varepsilon_{23}^{2} + \varepsilon_{31}^{2} \right) \right\rbrack^{}$$

$\hat{M_{2}}$ - służy do zdefiniowania całkowitego zastępczego odkształcenia

7.Tensory prędkości odkształcenia i przyrostów odkształcenia

a)Tensor prędkości odkształcenia

$\dot{l_{\text{ij}}}$ - pochodna względem czasu

$\dot{l_{\text{ij}}} = \frac{\partial}{\partial t}l_{\text{ij}} = \frac{1}{2}(\dot{\frac{\partial u_{i}}{\partial a_{j}} +}\dot{\frac{\partial u_{j}}{\partial a_{i}}) = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial V_{i}}{\partial a_{j}} + \frac{\partial V_{j}}{\partial a_{i}} \right)}$ Gdzie: $V_{i} = \frac{\partial u_{i}}{\partial t} = \dot{u_{i}}$

Dla tensora odkształceń plastycznych

$\dot{\varepsilon_{\text{ij}}} = \frac{\partial}{\partial t}\varepsilon_{\text{ij}}$ $\hat{\dot{\varepsilon_{\text{ij}}}} = \dot{\varepsilon_{\text{ij}}} - \varepsilon_{0}\delta_{\text{ij}} = > \text{dewiator}\ \text{tensora}\ \dot{\varepsilon_{\text{ij}}}\ $

Gdzie:$\dot{\varepsilon_{0}} = \frac{1}{3}\dot{\varepsilon_{\text{ii}}}$ średnia prędkość odkształcenia

$\hat{\dot{M_{2}}}$ - drugi niezmiennik tensora $\hat{\dot{\varepsilon_{\text{ij}}}}$

$\hat{\dot{M_{2}}} = - \frac{1}{2}\hat{\dot{\varepsilon_{\text{ii}}}}\hat{\dot{\varepsilon_{\text{ii}}}}$ Dla materiału nieściśliwego $\hat{\dot{\varepsilon_{\text{ij}}}} = \dot{\varepsilon_{\text{ij}}}$

b)Tensor przyrostów odkształcenia

Jest to forma dostosowania tensora odkształceń nieskończenie małych do odkształceń nieskończonych. Dla tensora odkształceń nieskończenie małych w zapisie Lagrage’a:

$\text{dl}_{\text{ij}} = \frac{1}{2}\left\lbrack d\left( \frac{\partial u_{i}}{\partial a_{j}} \right) + d\left( \frac{\partial u_{j}}{\partial a_{i}} \right) \right\rbrack$ Ogólnie tensor przyrostu odkształceń plastycznych oznaczamy dε_ij. Dewiator odkształceń plastycznych $d\hat{\varepsilon_{\text{ij}}} = \text{dε}_{\text{ij}} - d\varepsilon_{0}\delta_{\text{ij}}$ dε₀ – przyrost odkształcenia średniego. Dugi niezmiennik dewiatora przyrostu odkształcenia ${\hat{{\ M}_{2}}}^{\text{dε}} = - \frac{1}{2}d\hat{\varepsilon_{\text{ij}}}\ d\hat{\varepsilon_{\text{ij}}}$

8.Intensywność naprężeń i intensywności odkształcenia

a)Nazewnictwo

-Naprężenie zastępcze; -Całkowite zastępcze naprężenie (odkształcenie)

-Zastępcze naprężenie huberowskie; -Intensywność naprężeń normalnych

-Naprężenie efektywne

b)Intensywność naprężenia:

Intensywność naprężenia – naprężenie jednoosiowe, którego skutek działania w danym punkcie ciała jest taki sam jak skutek działania złożonego stanu naprężenia. Intensywność - naprężenie jednostkowe które powoduje takie samo wytężenie materiału jak złożony stan naprężenia Wytężenie materiału – stopień zbliżenia do stanu krytycznego

2 stany krytyczne Stan sprężysty w stan plastyczny

Momot pęknięcia

$$\begin{matrix} \overset{\overline{}}{\sigma} = \sigma_{H} \sqrt{3( - \hat{J_{2}})} = \sqrt{3\left| \hat{J_{2}} \right|} = \sqrt{\frac{3}{2}\hat{\sigma_{\text{ij}}}\hat{\sigma_{\text{ij}}}} \\ \text{gdy}z\text{\ \ \ }\hat{J_{2}} = - \frac{1}{2}\hat{\sigma_{\text{ij}}}\hat{\sigma_{\text{ij}}} \\ \end{matrix}$$

Postać różnicowa:

$$\sigma_{H} = - \frac{\sqrt{2}}{2}\left\lbrack \left( \sigma_{11} - \sigma_{22} \right)^{2} + \left( \sigma_{22} - \sigma_{33} \right)^{2} + \left( \sigma_{33} - \sigma_{11} \right)^{2} + 6\left( \sigma_{12}^{2} + \sigma_{23}^{2} + \sigma_{31}^{2} \right) \right\rbrack^{\frac{1}{2}}$$

c)Intensywność odkształcenia

Intensywność odkształcenia jest to takie odkształcenie liniowe na wykonanie którego należy zurzyć taką samą pracę jak na wykonanie złożonego stanu odkształcenia.

Ogólna definicja intensywności odkształcenia:

$\begin{matrix} \varepsilon_{H} \sqrt{\frac{4}{3}( - \hat{M_{2})}} \\ \hat{M_{2}} = \ - \frac{1}{2}\hat{\varepsilon_{\text{ij}}}\hat{\varepsilon_{\text{ij}}} \\ \end{matrix}$ Czyli otrzymamy: $\varepsilon_{H} \sqrt{\frac{2}{3}\hat{\varepsilon_{\text{ij}}}\hat{\varepsilon_{\text{ij}}}}$

Przykładowo dla tensora l_ij otrzymamy:

$$l_{H} = \frac{\sqrt{2}}{3}\left\lbrack \left( l_{11} - l_{22} \right)^{2} + \left( l_{22} - l_{33} \right)^{2} + \left( l_{33} - l_{11} \right)^{2} + 6\left( l_{12}^{2} + l_{23}^{2} + l_{31}^{2} \right) \right\rbrack^{\frac{1}{2}}$$

Dla materiałów nieściśliwych:

$\begin{matrix} \hat{\varepsilon_{\text{ij}}} = \varepsilon_{\text{ij}} \\ \hat{l_{\text{ij}}} = l_{\text{ij}} \\ \end{matrix}$ gdyż ε₀=l₀=0

Otrzymamy $\varepsilon_{H} = \sqrt{\frac{4}{3}( - M_{2})} = \sqrt{\frac{2}{3}\varepsilon_{\text{ij}}\varepsilon_{\text{ij}}}$ A postać końcowa wzoru

$$\varepsilon_{H} = \sqrt{\frac{2}{3}}\left\lbrack \left( \varepsilon_{11} \right)^{2} + \left( \varepsilon_{22} \right)^{2} + \left( \varepsilon_{33} \right)^{2} + 2\left( \varepsilon_{12}^{2} + \varepsilon_{23}^{2} + \varepsilon_{31}^{2} \right) \right\rbrack^{\left( \frac{1}{2} \right)}$$

Dla odkształceń głównych:

$\varepsilon_{H} = \sqrt{\frac{2}{3}}\left\lbrack \varepsilon\left( 1 \right)^{2} + \varepsilon\left( 2 \right)^{2} + \varepsilon\left( 3 \right)^{2} \right\rbrack^{\left( \frac{1}{2} \right)}$ intensywność odkształceń plastycznych(skończonych) przy zapisie odkształceń głównych dla materiału nieściśliwego.

9.Praca i moc odkształcenia (dla materiałów nieściśliwych)

a)Praca odkształcenia plastycznego

W=σ_ijε_ij => praca jednostkowa (na jednostkę objętości)

W=σ_Hε_H $W = \sigma_{p}\sqrt{\frac{2}{3}\varepsilon_{\text{ij}}\varepsilon_{\text{ij}}}$=> po wykorzystaniu warunku plastyczności HMH (σ_H=σ_p) $W = \int_{v}^{}{\sigma_{p}\sqrt{\frac{2}{3}\varepsilon_{\text{ij}}\varepsilon_{\text{ij}}}\text{dv}}$ HMH:

σ_H=σ_p – materiał przejdzie w stan plastyczny wówczas, gdy intensywność naprężenia osiągnie wartość naprężenia uplastyczniającego.

$$\begin{matrix} \sigma_{p} = f(\varepsilon,\ \dot{\varepsilon,\ }\text{temp}.) \\ \sigma_{p} = \sigma_{p_{0}} + K \bullet \varepsilon^{n} \\ \end{matrix}$$

b)Moc odkształcenia plastycznego

$\dot{W} = \frac{\text{dw}}{\text{dt}}$ => moc jednostkowa (przypadająca na jednostkę objętości)

$\begin{matrix} \dot{W} = \frac{d}{\text{dt}}\left( \sigma_{\text{ij}}\varepsilon_{\text{ij}} \right) = \sigma_{\text{ij}}\dot{\varepsilon_{\text{ij}}} \\ \dot{W} = \sigma_{H}\dot{\varepsilon_{H}} \\ \dot{W} = \sigma_{p}\sqrt{\frac{2}{3}\dot{\varepsilon_{\text{ij}}}\dot{\varepsilon_{\text{ij}}}} \\ \end{matrix}$ Całkowita moc odkształcenia plastycznego (dla materiałów nieściśliwych): $\dot{W} = \int_{v}^{}{\sigma_{p}\sqrt{\frac{2}{3}\dot{\varepsilon_{\text{ij}}}\dot{\varepsilon_{\text{ij}}}}}\text{dv}$

Podstawowe prawa płynięcia: Jeżeli materiał płynie np. plastyczny, to rzeczywiste pole prędkości jest takie, że moc odkształcenia osiąga wartość minimalną. To stwierdzenie wykorzystano w obliczeniach do wyznaczenia rzeczywistego pola prędkości.