Ciało odkształcone ma nieskończenie wiele stopni
swobody. Aby bowiem określić położenie ciała
odkształcalnego, trzeba znać położenie wszystkich jego
punktów, których wzajemne odległości mogą ulec zmianie.
Ciało odkształcalne pozostaje w spoczynku, jeśli każda
dowolna wyodrębniona z niego część jest w równowadze.

Rozważymy najbliższe małe otoczenie punktu B ciała
odkształcalnego w stanie spoczynku, ograniczone dowolną
powierzchnią zamkniętą (rys.1)

Przykład

Przykład

ΔA

B

ΔA

m

m

n

n

B

z

x

y

μ

μ

−

p

μ

P

Rys.1

(1)

(1)

0

lim

A

P

p

A

μ

μ

Δ →

=

Δ

μ

p

μ

μ

p

A

Δ

- podaje kierunek i zwrot zewnętrznej osi normalnej;

- wektor naprężenia całkowitego;

- element powierzchni przekroju w otoczeniu punktu

σ

τ

μ

p

τ

σ

μ

+

=

p

2

2

p

τ

σ

μ

+

=

σ

- wektor naprężenia normalnego

;

;

τ

- wektor naprężenia stycznego

Rys.1.b

(2)

(2)

Zbiór

wektorów naprężeń całkowitych

wektorów naprężeń całkowitych

działających we

wszystkich tych płaszczyznach (albo co na jedno wychodzi,
przyporządkowanych wszystkim kierunkom ) tworzy

stan napr

stan napr

ęż

ęż

enia w punkcie

enia w punkcie

B

B

ciała.

p

p

μ

μ

μ

μ

Zauważmy, że płaszczyzna przechodząca przez punkt B i
prostopadła do kierunku dzieli ciało na części „l” i „p”

μ

−

p

μ

p

−

μ

p

Wektor jest miarą lokalnego oddziaływania mechanicznego
części „p” na „l”, a wektor = części „l” na „p” ciała
w punkcie B rozważanego przekroju.

Aby określić

stan naprężenia w punkcie ciała

stan naprężenia w punkcie ciała

, należy podać

sposób jednoznacznego przyporządkowania jednoznacznemu

kierunkowi

odpowiadającego mu

wektora naprężenia

całkowitego

(który działa na płaszczyźnie prostopadłej do ).

Zajmiemy się teraz znalezieniem takiego sposobu

przyporządkowania.

μ

p

μ

μ

Niechaj obszar wewnętrzny w otoczeniu punktu B będzie

elementarnym prostopadłościanem w prostokątnym układzie osi
współrzędnych , xyz o wersorach i j k (rys.2).

Rys.2

Rys.2

z

z

y

y

x

x

B

B

dy

dy

dz

dz

dx

dx

Na ścianach widocznych działają

wektory naprężenia całkowitego

wektory naprężenia całkowitego

p

x

,

p

y

, p

z

przyporządkowane

dodatnim zwrotom

osi xyz

p

x

p

y

p

z

na ścianach

niewidocznych

przyporządkowane ujemnym zwrotom osi xyz.

p

p

-

-

z

z

p

p

-

-

y

y

i

j

k

,

,

x

x

y

y

z

z

p

p p

p p

p

−

−

−

= −

= −

= −

x

p

−

dA

dA

dA

dA

x

x

dA

dA

y

y

dA

dA

z

z

Na płaszczyźnie działa

wektor naprężenia

wektor naprężenia

całkowitego

całkowitego p

μ

przyporządkowany kierunkowi

μ

p

μ

μ

Czworościan utrzymywany jest w równowadze przez

siły

siły

powierzchniowe określone naprężeniami p

powierzchniowe określone naprężeniami p

-

-

x

x

, p

, p

-

-

y

y

, p

, p

-

-

z

z

i p

i p

μ

μ

.

.

p

-z

p

-y

p

-x

Przeprowadzimy w nieskończenie małej odległości h od punktu B
dowolnie zorientowaną płaszczyznę. Powstanie elementarny
czworościan (rys.3) Orientacja płaszczyzny określona jest zewnętrzną
normalną o wersorze

μ.

B

z

y

x

Rys.3

h

gdzie d A, dA

x

, dA

y

, dA

z

pola powierzchni ścian

pola powierzchni ścian

, dla których

normalne zewnętrzne stanowią odpowiednio

μ i ujemne zwroty osi

xyz. Związek powyższy można przedstawić w postaci:

Ponieważ wymiary czworościanu są nieskończenie małe, można
przyjąć, iż działa na niego zbieżny przestrzenny układ sił, a więc

warunek równowagi

warunek równowagi

będzie miał następującą postać:

x

x

y

y

z

z

p dA p dA

p dA

p dA

0

μ

−

−

−

=

-x

x

-y

y

-z

z

p dA+p dA +p dA +p dA

0

μ

=

x

x

y

z

dA

dA

, dA

dA

, dA

dA

y

z

μ

μ

μ

α

α

α

=

=

=

cos ( , ),

cos ( , ),

cos ( , )

x

y

z

x

y

z

μ

μ

μ

α

μ α

μ α

μ

=

=

=

(3)

(3)

(4)

(4)

(5)

(5)

(6)

(6)

Wstawiając (5) do (4) otrzymujemy wzór Cauchy’ego:

p

μ

x

y

z

p

p

p

p

x

y

z

μ

μ

μ

μ

α

α

α

=

+

+

(7)

(7)

Wektor naprężenia

Wektor naprężenia

można także przedstawić w postaci:

można także przedstawić w postaci:

x

y

z

p

p

p

p

i

j

k

μ

μ

μ

μ

=

+

+

x

y

z

p

p

p

x

xy

xz

yx

y

yz

zx

zy

z

i

j

k

i

j

k

i

j

k

σ

τ

τ

τ

σ

τ

τ

τ

σ

=

+

+

=

+

+

=

+

+

a wektory naprężeń

a wektory naprężeń

,

,

,

,

,

,

x

xy

xz

yx

y

yz

zx

zy

z

σ τ τ

τ σ τ
τ τ σ

gdzie składowe stanu naprężenia:

gdzie składowe stanu naprężenia:

(8)

(8)

(9)

(9)

x

y

z

p , p i p :

[ ]

T

x

xy

xz

yx

y

yz

zx

zy

z

σ

σ τ τ

τ σ τ
τ τ σ

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

(10)

(10)

Wstawiając (8) i (9) do wzoru Cauchy’ego (7) i
porównując czynniki występujące przy jednakowych
wersorach i, j, k otrzymuje się

lub w postaci macierzowej:

x

p
p
p

x

x

yx

y

zx

z

y

xy

x

y

y

zy

z

z

xz

x

yz

y

z

z

μ

μ

μ

μ

μ

μ

μ

μ

μ

μ

μ

μ

σ α

τ α

τ α

τ α

σ α

τ α

τ α

τ α

σ α

=

+

+

=

+

+

=

+

+

x

p
p
p

x

yx

zx

x

y

xy

y

zy

y

z

xz

yz

z

z

μ

μ

μ

μ

μ

μ

σ τ τ

α

τ σ τ

α

τ τ σ

α

⎧

⎫ ⎡

⎤ ⎧

⎫

⎪

⎪ ⎢

⎥ ⎪

⎪

=

⎨

⎬

⎨

⎬

⎢

⎥

⎪

⎪

⎪

⎪

⎢

⎥

⎩

⎭ ⎣

⎦ ⎩

⎭

(11)

(11)

(12)

(12)

lub

tensor stanu naprężenia

x

p
p
p

x

yx

zx

x

y

xy

y

zy

y

z

xz

yz

z

z

μ

μ

μ

μ

μ

μ

σ τ τ

α

τ σ τ

α

τ τ σ

α

⎧

⎫ ⎡

⎤ ⎧

⎫

⎪

⎪ ⎢

⎥ ⎪

⎪

=

⎨

⎬

⎨

⎬

⎢

⎥

⎪

⎪

⎪

⎪

⎢

⎥

⎩

⎭ ⎣

⎦ ⎩

⎭

x

p

p

p

,

p

y

z

μ

μ

μ

μ

⎧

⎫

⎪

⎪

= ⎨

⎬

⎪

⎪

⎩

⎭

x

o

y

z

μ

μ

μ

α

μ

α
α

⎧

⎫

⎪

⎪

= ⎨

⎬

⎪

⎪

⎩

⎭

'

p

T

o

μ

σ

μ

⎡ ⎤

= ⎣ ⎦

[ ]

'

T

T

x

yx

zx

T

xy

y

zy

xz

yz

z

σ

σ

σ τ τ

τ σ τ
τ τ σ

⎡

⎤

⎢

⎥

⎡ ⎤ =

=

⎢

⎥

⎣ ⎦

⎢

⎥

⎣

⎦

gdzie

gdzie

yx

xy

zx

xz

yz

yz

τ

τ

τ

τ

τ

τ

=

=

=

(13)

(13)

(14)

(14)

B

B

dz

dx

dy

σ

σ

x

x

τ

τ

xz

xz

τ

τ

xy

xy

σ

σ

x

x

τ

τ

xz

xz

τ

τ

xy

xy

σ

σ

y

y

τ

τ

yz

yz

τ

τ

yx

yx

σ

σ

y

y

τ

τ

yz

yz

τ

τ

yx

yx

σ

σ

z

z

τ

τ

zx

zx

τ

τ

zy

zy

σ

σ

z

z

τ

τ

zx

zx

τ

τ

zy

zy

gdzie

gdzie

:

:

σ

x

,

σ

y

,

σ

z

składowe normalne stanu naprężania

składowe normalne stanu naprężania

działające w

płaszczyźnie, do której normalną jest odpowiednio oś x, y, z,

τ

xy

,

τ

yx

,

τ

yz

,

τ

zy

,

τ

zx

,

τ

xz

-

składowe styczne stanu naprężenia

składowe styczne stanu naprężenia

0

0

x

x

y

y

z

z

Rys.4

Jeżeli każdemu punktowi ciała przypisany zostanie tensor stanu

Jeżeli każdemu punktowi ciała przypisany zostanie tensor stanu

naprężenia, to określone będzie

naprężenia, to określone będzie

tensorowe pole stanu naprężenia

tensorowe pole stanu naprężenia

w tym ciele. Pole tensorowe określa

w tym ciele. Pole tensorowe określa

sześć

sześć

składowy stanu

składowy stanu

naprężenia

naprężenia

, które są funkcjami współrzędnych punktu ciała x, y,

, które są funkcjami współrzędnych punktu ciała x, y,

z

z

σ

σ

x

x

(x,y,z)

(x,y,z)

σ

σ

y

y

(x,y,z),

(x,y,z),

σ

σ

z

z

(x,y,z),

(x,y,z),

τ

τ

xy

xy

(x,y,z),

(x,y,z),

τ

τ

yz

yz

(x,y,z),

(x,y,z),

τ

τ

zx

zx

(x,y,z).

(x,y,z).

Stan naprężenia w ciele może być

Stan naprężenia w ciele może być

niejednorodny

niejednorodny

lub

lub

jednorodny

jednorodny

.

.

W pierwszym ogólnym przypadku tensory stanu naprężenia w

W pierwszym ogólnym przypadku tensory stanu naprężenia w

poszczególnych punktach ciała są różne, a w drugim szczególnym

poszczególnych punktach ciała są różne, a w drugim szczególnym

przypadku są jednakowe.

przypadku są jednakowe.

Aby zdefiniować

Aby zdefiniować

tensor stanu naprężenia w punkcie ciała

tensor stanu naprężenia w punkcie ciała

,

,

rozważano równowagę elementarnego prostopadłościanu w

rozważano równowagę elementarnego prostopadłościanu w

przypadku jednorodnego stanu naprężenia. Dlatego składowe

przypadku jednorodnego stanu naprężenia. Dlatego składowe

stanu naprężenia działające na równoległych ścianach były

stanu naprężenia działające na równoległych ścianach były

jednakowe (rys.4).

jednakowe (rys.4).

W przypadku

niejednorodnego stanu naprężenia

niejednorodnego stanu naprężenia

jego składowe są

funkcjami współrzędnych x, y, z punktu ciała. Rozważając

równowagę elementarnego prostopadłościanu należy zatem

uwzględnić przyrosty tych funkcji, wynikające z przyrostu

współrzędnych.

Ściany bowiem niewidoczne wyznaczają punkt B o współrzędnych
x, y, z, a widoczne punkty C o współrzędnych x + dx, y + dy, z +
dz.

Na elementarny prostopadłościan działają

siły

siły

powierzchniowe

powierzchniowe

, reprezentowane na poszczególnych ścianach

przez

składowe stanu

składowe stanu

naprężenia

naprężenia

oraz

siły masowe

siły masowe

, których

składowe w kierunku osi xyz oznaczamy odpowiednio X, Y, Z w

N/kg. Siły te muszą spełniać sześć warunków równowagi.

0

0

x

x

y

y

z

z

B

dz

dz

dx

dx

dy

dy

C

x

x

y

y

z

z

τ

τ

xz

xz

σ

σ

z

z

dz

dz

z

z

z

z

z

z

∂

∂

σ

σ

∂

∂

+

+

∂

∂

τ

τ

yz

yz

dy

dy

y

y

yz

yz

yz

yz

∂

∂

τ

τ

∂

∂

+

+

τ

τ

dx

dx

x

x

xz

xz

xz

xz

∂

∂

τ

τ

∂

∂

+

+

τ

τ

τ

τ

zy

zy

τ

τ

xy

xy

dz

dz

z

z

zy

zy

zy

zy

∂

∂

τ

τ

∂

∂

+

+

τ

τ

σ

σ

y

y

dy

dy

y

y

y

y

y

y

∂

∂

σ

σ

∂

∂

+

+

σ

σ

dx

dx

x

x

xy

xy

xy

xy

∂

∂

τ

τ

∂

∂

+

+

τ

τ

σ

σ

x

x

τ

τ

zx

zx

dz

dz

z

z

zx

zx

zx

zx

∂

∂

τ

τ

∂

∂

+

+

τ

τ

τ

τ

yx

yx

dy

dy

y

y

yx

yx

yx

yx

∂

∂

τ

τ

∂

∂

+

+

τ

τ

dx

x

x

x

∂

σ

∂

+

σ

Rys.5

Lokalne równania różniczkowe równowagi wewnętrznej ciała

gdzie:

X

ρ, Yρ, Zρ są to siły objętościowe w

3

m

N

0

Z

z

y

x

0

Y

z

y

x

0

X

z

y

x

z

yz

xz

zy

y

xy

zx

xy

x

=

ρ

+

∂

σ

∂

+

∂

τ

∂

+

∂

τ

∂

=

ρ

+

∂

τ

∂

+

∂

σ

∂

+

∂

τ

∂

=

ρ

+

∂

τ

∂

+

∂

τ

∂

+

∂

σ

∂

(15)

0

0

x

x

y

y

z

z

dz

dz

dx

dx

dy

dy

X’

X’

τ

τ

yz

yz

τ

τ

zy

zy

dz

z

z

zy

∂

∂

+

σ

τ

dy

y

yz

yz

∂

∂

+

τ

τ

Rys.6

Obliczamy

sumę momentów sił

sumę momentów sił

działających na elementarny

prostopadłościan względem osi x’ przechodzącej przez jego środek
ciężkości ( dzięki czemu można pominąć momenty sił masowych ) i
równoległej do osi x, a następnie przyrównujemy ją do zera.

xz

zx

yx

xy

zy

yz

τ

τ

τ

τ

τ

τ

=

=

=

Znajomość pola tensorowego stanu naprężenia stanowi

podstawę oceny wytrzymałości ciała. Dlatego jednym z
głównych zadań wytrzymałości materiałów jest analiza

analiza

stanu naprężenia.

stanu naprężenia.

Inne oznaczenia:

1

2

3

11

22

33

12

23

31

,

,

,

,

,

,

x

y

z

xy

yz

zx

x

x

y

x

z

x

σ

σ σ

σ σ

σ

τ

σ τ

σ τ

σ

→

→

→

=

=

=

=

=

=

Tensor stanu naprężęnia

[ ]

T

x

xy

xz

yx

y

yz

zx

zy

z

σ

σ τ τ

τ σ τ
τ τ σ

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

[ ]

11

12

13

21

22

23

31

32

33

T

ij

σ

σ σ σ
σ σ σ

σ

σ σ σ

⎡

⎤

⎢

⎥ ⎡ ⎤

=

= ⎣ ⎦

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

→

(16)

(16)

Równania różniczkowe

lokalnej równowagi wewnętrznej

lub

31

11

21

1

1

2

3

32

12

22

2

1

2

3

13

23

33

3

1

2

3

0

0

0

X

x

x

x

X

x

x

x

X

x

x

x

σ

σ

σ

ρ

σ

σ

σ

ρ

σ

σ

σ

ρ

∂

∂

∂

+

+

+

=

∂

∂

∂

∂

∂

∂

+

+

+

=

∂

∂

∂

∂

∂

∂

+

+

+

=

∂

∂

∂

3

1

0,

1, 2,3

ji

i

j

j

X

i

x

σ

ρ

=

∂

+

=

=

∂

∑

0, ( ,

1, 2,3)

ji

i

j

X

i j

x

σ

ρ

∂

+

=

=

∂

(17)

(17)

(18)

(18)

,

,

0, ( ,

1,2,3)

ji j

i

ji

ji j

j

X

i j

x

σ

ρ

σ

σ

+

=

=

∂

=

∂

Jeśli do unieruchomionego przez więzy

ciała odkształcalnego

ciała odkształcalnego

przyłożyć

obciążenia zewnętrzne

obciążenia zewnętrzne

, to dowolny jego punkt B, którego

położenie wyznacza

wektor promień

wektor promień

przemieści się

przemieści się

i zajmie pozycję B’.

Odcinek skierowany BB’ nazywa się

wektorem przemieszczenia

wektorem przemieszczenia

punktu B.

Pole wektorowe

Pole wektorowe

zostanie

określone

określone

, jeśli każdemu punktowi ciała

przypisany będzie

wektor przemieszczenia

wektor przemieszczenia

Składowe wektora przemieszczeń

Składowe wektora przemieszczeń

są w takim przypadku

funkcjami

funkcjami

współrzędnych x,y,z

współrzędnych x,y,z

punktu B ciała w stanie nie odkształconym

u(x,y,z) v(,x,y,z) w(x,y,z).

r

xi

yj zk

=

+

+

b

ui

vj wk

=

+ +

b

z

y

x

B

r

C

dr

w+dw

v+dv

u+du

v

w

u

B’

b

C’’

b+db

C’

dr+db

dr

Rys.7

db

b ui

vj wk

db dui

dvj

dwk

=

+

+

=

+

+

r

xi

yj

zk

dr

dxi

dyj

dzk

=

+

+

=

+

+

;

;

;

;

u ui v vj w wk

du dui dv

dvj dw dwk

=

=

=

=

=

=

i

wersor x

j

wersor y

k

wersor z

→

→

→

Odcinek BC jest jak widać, wektorem

k

dz

j

dy

i

dx

r

d

+

+

=

Rozważmy infinitezymalny (nieskończenie mały) odcinek BC

ciała

ciała

odkształcalnego

odkształcalnego

, który po jego odkształceniu stanie się odcinkiem

B’C’’. Zakładamy bowiem, że ze względu na nieskończenie małe
wymiary pozostanie on nadal prosty.

Położenie punktu

Położenie punktu

C określa

wektor

wektor

a jego

przemieszczenie

przemieszczenie

.

k

dw

j

dv

i

du

b

d

+

+

=

(

) (

) (

)

k

dz

z

j

dy

y

i

dx

x

r

d

r

+

+

+

+

+

=

+

Każdemu wektorowi w punkcie B ciała przyporządkować można
odpowiedni wektor . Takie przyporządkowanie jest, jak wiadomo,
tensorem drugiego rzędu, który oznaczymy .

r

d

b

d

α

Założyliśmy przy tym, że funkcje u(x, y, z) v(x, y, z) w(x, y, z) są

ciągłe

ciągłe

i

zróżniczkowane

zróżniczkowane

.

Składowe wektorów db i dr związane są ze sobą następującymi
zależnościami:

dz

z

w

dy

y

w

dx

x

w

dw

dz

z

v

dy

y

v

dx

x

v

dv

dz

z

u

dy

y

u

dx

x

u

du

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

(19)

Wprowadzimy następujące macierze:

Jednokolumnową macierz składowych wektora db

[ ] [

]

T

dw

dv

du

db

=

(20)

Jednokolumnową macierz składowych wektora dr

[ ] [

]

T

dz

dy

dx

dr

=

(21)

Kwadratową macierz - reprezentację tensora

α

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

z

w

y

w

x

w

z

v

y

v

x

v

z

u

y

u

x

u

α

(22)

Zależności (19) po uwzględnieniu (20),(21) i (22) można zapisać

w formie macierzowej następująco:

[ ]

[ ]

dr

db

α

=

Niesymetryczny tensor

Niesymetryczny tensor

przedstawić można jako

przedstawić można jako

sumę tenora

sumę tenora

antysymetrycznego

antysymetrycznego

i

i

symetrycznego

symetrycznego

Słuszność tej formuły można sprawdzić dodając kolejno
odpowiednie elementy macierzy. W formule (24) występują
następujące macierze:

(23)

ε

ω

α

+

=

(24)

ε

ω

α

Kwadratowa macierz reprezentacja

tensora

tensora

antysymetrycznego

antysymetrycznego

Kwadratowa macierz reprezentacja

tensora symetrycznego

tensora symetrycznego

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

∂

∂

−

∂

∂

∂

∂

−

∂

∂

∂

∂

−

∂

∂

∂

∂

−

∂

∂

∂

∂

−

∂

∂

∂

∂

−

∂

∂

=

0

)

z

v

y

w

(

2

1

)

z

u

x

w

(

2

1

)

y

w

z

v

(

2

1

0

)

y

u

x

v

(

2

1

)

x

w

z

u

(

2

1

)

x

v

y

u

(

2

1

0

ω

(25)

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂

+

∂

∂

∂

∂

+

∂

∂

∂

∂

+

∂

∂

∂

∂

∂

∂

+

∂

∂

∂

∂

+

∂

∂

∂

∂

+

∂

∂

∂

∂

=

z

w

)

z

v

y

w

(

2

1

)

z

u

x

w

(

2

1

)

y

w

z

v

(

2

1

y

v

)

y

u

x

v

(

2

1

)

x

w

z

u

(

2

1

)

x

v

y

u

(

2

1

x

u

ω

(26)

ε

Wprowadźmy oznaczenia

Odkształcenia

względne

,

,

x

y

z

u

v

w

x

y

z

ε

ε

ε

∂

∂

∂

=

=

=

∂

∂

∂

yx

xy

zx

xz

zy

yz

u

v

y

x

u

w

z

x

v

w

z

y

γ

γ

γ

γ

γ

γ

∂

∂

=

=

+

∂

∂

∂

∂

=

=

+

∂

∂

∂

∂

=

=

+

∂

∂

Kąty odkształceń

Kąty odkształceń

postaciowych

postaciowych

Tensor stanu odkształcenia

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

x

yx

zx

xy

y

zy

xz

yx

z

ε

γ

γ

ε

γ

ε

γ

γ

γ

ε

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

x

z

y

dz

dx

dy

C’’’

dz(1+

εz)

dx(1+

εx)

dy(1+

εy)

Prostopadłościan przed
odkształceniem

B

C

Odcinek BC potraktować można jako przekątną elementarnego

prostopadłościanu, który
stanowi otoczenie
punktu B (rys.8)

r

yz

2

γ

π

−

xy

2

γ

π

−

zx

2

γ

π

−

Rys.8

C’

B’

Prostopadłościan po
odkształceniu

Prostopadłościan

Prostopadłościan

przemieszcza się

przemieszcza się

(BC przechodzi w położenie

B’C’’) jako ciało sztywne oraz

odkształca się

odkształca się

(przekątna B’C’’

wydłuża się lub skraca o C’’C’’’).

oś obrotu

kąt obrotu

C’’

C’’’

b+db

db

Istotne znaczenie ma tu odkształcenie prostopadłościanu,
związane ze

zmianą długości jego przekątnej

zmianą długości jego przekątnej

o C’’C’’’.

Fazy zmian
przekątnej BC

B’

B

C

C’

b

b

Rys.9

Odkształcenie

Odkształcenie

elementarnego prostopadłościanu polega

na

zmianie

zmianie

długości jego krawędzi

długości jego krawędzi

, co określają

wydłużenia względne

wydłużenia względne

ε

x

,

ε

y

,

ε

z

, oraz zmianie kątów

prostych pomiędzy ścianami, co określają

kąty

kąty

odkształcenia postaciowego

odkształcenia postaciowego

γ

xy

,

γ

yz

,

γ

zx

.

Wprowadźmy nowe oznaczenia:

1

2

3

1

2

3

1

1

2

11

12

1

2

1

3

2

2

22

23

2

3

2

3

3

1

33

31

3

1

3

,

,

,

1

2

,

1

,

2

1

,

2

1

,

1

2

1

2

2

x

xy

y

yz

z

zx

x

x

x

u

u

u

u

u

u

x

x

x

u

u

x

y

z

u

x

x

x

u

u

u

u

x

x

v

w

x

ε

γ

ε

γ

ε

γ

ε

ε

ε

ε

ε

ε

⎛

⎞

∂

∂

∂

+

⎜

⎟

∂

∂

∂

→

→

→

→

⎝

→

→

=

=

=

=

=

=

=

=

=

⎠

⎛

⎞

∂

∂

∂

+

⎜

⎟

∂

=

=

∂

∂

⎝

⎠

⎛

⎞

∂

∂

∂

+

⎜

⎟

∂

∂

∂

⎝

⎠

=

1

,( ,

1,2,3)

2

j

i

ij

j

i

u

u

i j

x

x

ε

⎛

⎞

∂

∂

+

=

⎜

⎟

⎜

⎟

∂

∂

⎝

⎠

=

lub

lub

Tensor stanu odkształcenia

11

12

13

21

22

23

31

32

33

ij

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

⎡

⎤

⎢

⎥

⎡ ⎤

=

=

⎣ ⎦ ⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

Warunki ciągłości (nierozdzielności)

odkształceń de Saint – Venanta

,

0

ikm

jln

kl mn

e

e

ε

=

(

)

, , , , ,

1, 2,3

i j k l m n

=

Notacja inżynierska:

,

2

2

2

2

2

y

x

x

y

xy

y

x

∂

∂

γ

∂

=

∂

ε

∂

+

∂

ε

∂

,

2

2

2

2

2

z

y

y

z

yz

z

y

∂

∂

γ

∂

=

∂

ε

∂

+

∂

ε

∂

x

z

z

x

zx

x

z

∂

∂

γ

∂

=

∂

ε

∂

+

∂

ε

∂

2

2

2

2

2

z

y

x

y

z

x

x

yz

zx

xy

∂

∂

ε

∂

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

γ

∂

−

∂

γ

∂

+

∂

γ

∂

∂

∂

2

2

x

z

y

z

x

y

y

zx

xy

yz

∂

∂

ε

∂

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

γ

∂

−

∂

γ

∂

+

∂

γ

∂

∂

∂

2

2

y

x

z

x

y

z

z

xy

yz

zx

∂

∂

ε

∂

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

γ

∂

−

∂

γ

∂

+

∂

γ

∂

∂

∂

2

2

lub

lub

2

,

kl

kl mn

m

n

x x

ε

ε

∂

=

∂ ∂

0

,

,

1 jesli , , tworzy permutację cykliczną 1,2,3

1

, ,

tworzy permutację cykliczną 1,3,2

ikm

i k k m i m

e

i k m

i k m

=

=

=

⎧

⎪

= ⎨

⎪−

⎩

gdzie

gdzie