Rozważamy dowolny przekrój bryły płaszczyzną o wersorze
normalnym przechodzącą przez dowolny pkt. C o
wektorze wodzącym . Do każdego punktu płaszczyzny
przekroju przyłożona jest siła wewnętrzna.
- suma sił wewnętrznych
przyłożonych do punktów
powierzchni ΔA
Naprężeniem w punkcie o wektorze
wodzącym
na powierzchni przekroju o normalnej
nazywamy wektor
Kierunek wektora naprężenia jest dowolny w odniesieniu do
płaszczyzny na której występuje. Można go rozłożyć na dwie
składowe których kierunki są normalne i styczne do przekroju .
Stan naprężenia w punkcie to nieskończony zbiór wektorów
naprężeń przyporządkowanych wszystkim płaszczyznom przecięcia
bryły, przechodzące przez ten punkt.
Rozróżniamy trzy rodzaje stanów naprężenia:
JEDNOOSIOWY
–
występuje gdy wektory naprężeń przyporządkowane
dowolnym płaszczyznom cięcia bryły w danym punkcie mają ten sam
kierunek
PŁASKI
– występuje gdy wektory naprężeń przyporządkowane dowolnym
płaszczyznom cięcia bryły w danym punkcie leżą w jednej płaszczyźnie
PRZESTRZENNY
– występuje gdy wektory naprężeń
przyporządkowane dowolnym płaszczyzną cięcia bryły w danym punkcie są
w ogólności różne (mają różne długości, kierunki i zwroty)
Każdy z tych charakterystycznych stanów naprężenia w punkcie, w całej bryle
może być JEDNORODNY(nie zależy od wyboru punktu )lub NIEJEDNORODNY.
Dokonajmy przekroju rozważanej bryły w dowolnie wybranym punkcie C
trzema płaszczyznami prostopadłymi do osi układu (X, Y, Z). Wektory
naprężeń przyporządkowane tym płaszczyznom cięcia oznaczymy,
odpowiednio
Każdy z tych wektorów naprężeń można rozłożyć na trzy
składowe równoległe do osi układu. Jedna z tych składowych
będzie normalna do płaszczyzny przecięcia a dwie pozostałe
będą do niej styczne.
Współrzędne wektorów naprężeń oznacza się podobnie jak ich
składowe i zapisuje się je w formie macierzy T
σ
Macierz naprężeń w punkcie to uporządkowany zbiór współrzędnych
trzech wektorów naprężeń na płaszczyznach prostopadłych do osi
układu współrzędnych.
wiersze przedstawiają kolejne współrzędne, kolejnych wektorów
naprężeń;
na przekątnej macierzy znajdują się naprężenia normalne ;
poza przekątną znajdują się naprężenia styczne;
Zatem np.
σ
z
to naprężenie normalne na płaszczyźnie prostopadłej do osi
Z, a τ
yx
to naprężenie styczne na płaszczyźnie prostopadłej do osi Y i równoległej
do osi X.
Za dodatnie, w macierzy naprężeń, uważamy
współrzędne takich składowych, które mają:
zwrot zgodny ze zwrotem osi do której są równoległe
i zwrot normalnej zewnętrznej płaszczyzny na której one
występują także zgodny ze zwrotem osi układu do której ta
normalna jest równoległa
lub jeśli zarówno składowa jak i normalna mają zwroty przeciwne
do odpowiednich osi, do których są równoległe
Jest to tzw.
REGUŁA PODWÓJNEJ ZGODNOŚCI.
W każdym innym
przypadku współrzędna jest ujemna. Zgodnie z przyjętą umową
naprężenie jest dodatnie jeśli jest rozciąganie, a ujemne jeśli jest
ściskające.
Do przedstawienia graficznego obrazu macierzy naprężeń wybieramy:
obciążone
pozostające w równowadze ciało
i dowolny materialny punkt (C) tego ciała
Z założenia o równowadze rozważanej bryły wynika równowaga sił
wewnętrznych działających na punkt C.
Rozpisując warunki równowagi sił otrzymamy zależności:
Równania różniczkowe noszą
nazwę równań równowagi
wewnętrznej lub równań
Naviera.
Warunki równowagi sił działających na wycięty czworościan dają równania:
Równania dowodzą że macierz naprężeń w danym punkcie
określa w nim stan naprężenia gdyż znajomość jej
elementów pozwala na wyznaczenie współrzędnych
wektora naprężenia na dowolnej płaszczyźnie
przechodzącej przez ten punkt.
Równania pokazują, że w wyniku mnożenia naprężeń T
σ
przez wektor
otrzymujemy wektor naprężenia
Można powiedzieć że, macierz naprężeń w punkcie jest wielkością, która
dowolnemu kierunkowi - normalna do płaszczyzny przecięcia bryły w
tym punkcie, przyporządkowuje wektor - wektor naprężenia na tej
płaszczyźnie.
Stanowi to dowód na to, że macierz naprężeń jest
tensorem drugiego
rzędu
co oznacza, że jej elementy transformują się przy zmianie układu
odniesienia w pewien ściśle określony sposób zwany
prawem
transformacji tensora
.
Z rozważanej bryły w
równowadze wytnijmy
przy brzegu
czworościan którego
trzy ściany będą
równoległe do
płaszczyzny układu
odniesienia a czwarta
będzie zawierała
element powierzchni
zewnętrznej ΔS o
wersorze normalnym
zewnętrznym (l, m,
n)
Analizując warunki równowagi tak wyciętego
czworościanu otrzymujemy zależności wiążące
współrzędne obciążenia bryły
w rozważanym punkcie brzegowym ze
współrzędnymi macierzy naprężeń w tym
punkcie
Równania te noszą nazwę
statycznych warunków brzegowych
i są
niezbędne przy rozwiązywaniu równań różniczkowych Naviera.
Statyczne warunki brzegowe choć bardzo podobne do równań wektora
naprężenia, merytorycznie różnią się zasadniczo. Przede wszystkim lewe
strony statycznych warunków brzegowych są znane w przeciwieństwie
do równań wektora naprężenia w których lewe strony to poszukiwane
współrzędne naprężenia .
Stan odkształcenia w punkcie to nieskończony zbiór odkształceń
liniowych i kątowych wszystkich włókien przechodzących przez
ten punkt. Można wyróżnić trzy rodzaje stanu odkształcenia:
jednoosiowy, płaski i przestrzenny
.
Odkształceniem liniowym w
punkcie A w kierunku punktu
B nazywa się :
•Odkształceniem liniowym w punkcie
w wybranym kierunku nazywamy
względny przyrost długości włókna w
tym punkcie na skutek przyłożonych
obciążeń.
•Odkształcenie liniowe, które
odpowiada wydłużeniu włókna
uważamy za dodatnie.
•Odkształcenia liniowe nazywane też
są odkształceniami podłużnymi
Jeżeli rozważymy dwa prostopadłe włókna przechodzące przez
wspólny punkt O w konfiguracji początkowej to ich
odkształcenie kątowe definiuje się jako:
•Odkształceniem kątowym nazywamy kąt o jaki zmieni się w wyniku
przyłożonych obciążeń kąt prosty między dwoma włóknami
przechodzącymi w konfiguracji początkowej przez wspólny punkt.
•Odkształcenie kątowe któremu odpowiada zmniejszenie się kąta
prostego uważa się za dodatnie
•Odkształcenia kątowe nazywane są także odkształceniami
postaciowymi
Macierz odkształceń w punkcie to uporządkowany zbiór
odkształceń liniowych i kątowych trzech włókien
przechodzących przez ten punkt i równoległych do osi
układu odniesienia.
Macierz uporządkowana jest w ten
sposób, że na przekątnej
występują odkształcenia liniowe, a
poza przekątną połówki
odkształceń kątowych.
Np. e
z
to odkształcenie liniowe włókna
równoległego do osi Z, a γ
xy
to
odkształcenie kątowe włókien równoległych
do osi X i Y
Z definicji elementów macierzy odkształceń wynika jej symetria:
Można go przedstawić w postaci deformacji przechodzących przez
ten punkt trzech wzajemnie do siebie prostopadłych włókien o
dowolnie małych długościach dx=dy=dz=1, które są równoległe
do osi układu współrzędnych.
Macierz odkształceń jest tensorem drugiego rzędu co oznacza, że jej
elementy transformują się przy zmianie układu odniesienia w pewien
ściśle określony sposób zwany prawem transformacji tensora, oraz, że w
wyniku mnożenia jej przez jednostkowy wersor (l, m, n) otrzymamy
pewien wektor , który możemy nazywać wektorem
odkształcenia określony zależnościami
Znajomość macierzy odkształceń w dowolnym
punkcie O wystarcza do określenia odkształceń
liniowych i kątowych dowolnych włókien
przechodzących przez ten punkt, bo własności
tensora pozwalają napisać zależności:
Korzystając z analogii wzorów w płaskim stanie naprężenia oraz w płaskim
stanie odkształcenia
można stwierdzić że
odkształcenia główne w danym punkcie to
ekstremalne wartości odkształceń liniowych w nim występujących.
Są to odkształcenia liniowe dwóch do siebie prostopadłych włókien
których odkształcenia kątowe są równe zero.
Wartości odkształceń głównych i ich
kierunki:
Ekstremalne odkształcenia kątowe wynoszą:
Włókna których odkształcenia kątowe są ekstremalne połowią kąty miedzy
włóknami odkształceń głównych.
Koła Mohra dla stanu odkształcenia są analogiczne jak dla stanu naprężenia.
W definicji odkształceń występuje punkt i określone co do
kierunku włókno przez niego przechodzące
W definicji naprężenia występuje punkt i płaszczyzna o określonej
normalnej przechodzącej przez ten punkt
Nie wszystkie cechy obu tych stanów mogą być identycznie
interpretowane i traktowane
Prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od
naprężenia. Mówi ono, że odkształcenie ciała pod
wpływem działającej na niego siły jest wprost
proporcjonalna do tej siły.
Prawo Hooke'a zakłada też, że odkształcenia ciała, w reakcji
na działanie sił, następują w sposób natychmiastowy i
całkowicie znikają, gdy przyłożone siły przestają działać.
Takie uproszczenie jest wystarczające jedynie dla ciał o
pomijalnie małej lepkości.
Współczynnik między siłą a odkształceniem jest często
nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości.