2. Analiza stanu naprężenia i odkształcenia w punkcie.

- Wstęp - co to jest naprężenie

Każdemu punktowi leżącemu na płaszczyźnie przekroju bryły przyporządkowana jest siła wewnętrzna. Naprężeniem nazywamy gęstość sił wewnętrznych.

Co to znaczy - weźmy:

• Dowolny przekrój bryły płaszczyzną o normalnej
  , przechodzącej przez punkt A, o wektorze wodzącym
  

• Wokół punktu A element powierzchni ΔF

• 
  - suma sił wewnętrznych przyporządkowanych punktom powierzchni ΔF

• 
  - średnia gęstość sił wewnętrznych

Naprężenie w punkcie A:

- Naprężenie jest funkcją dwóch wektorów
i
,

Stanem naprężenia w ustalonym punkcie
nazywamy zbiór wektorów naprężeń przyporządkowanych wszystkim płaszczyznom podziału bryły, przechodzącym przez dany punkt o wektorze wodzącym
- stanem naprężenia w punkcie nazywamy funkcję wektorową

Do określenia stanu naprężeń wystarcza znajomość macierzy naprężeń w punkcie i współrzędnych wersora
, bowiem

Macierz naprężeń - zbiór skalarnych funkcji trzech zmiennych
, które przedstawiają współrzędne naprężeń w punkcie o współrzędnych
, uporządkowanych w ten sposób, że wiersze są współrzędnymi naprężeń przyporządkowanych płaszczyznom przekrojów prostopadłych odpowiednio do osi
.

Elementy leżące na diagonalnej - naprężenia normalne
, - pozostałe naprężenia styczne

- macierz naprężeń jest uporządkowanym zbiorem liczb jeśli ustalimy współrzędne punktu.

• Transformacja macierzy naprężeń do innego układu

Jeśli przetniemy bryłę trzema innymi płaszczyznami, wówczas każdej z tych nowych płaszczyzn będą przyporządkowane wektory naprężenia.

Ponieważ macierz
jest tensorem - jej elementy
transformują się do nowego układu według prawa tensorowego:

(
- jest j -tą współrzędną i-tego wersora osi
w układzie starym
)

Ekstremalne naprężenia normalne

Mając macierz naprężeń
możemy obliczyć wektor naprężenia
przecinając bryłę płaszczyzną przechodzącą przez dany punkt i o normalnej
:

,

Problem polega na znalezieniu płaszczyzny lub, - co na jedno wychodzi -, taki wektor
do niej normalny, aby naprężenie
było do tego wektora równoległe. Problem ten nazywany jest w rachunku tensorowym szukaniem wektorów własnych i wartości własnych.


⇒
,
, dalej otrzymujemy równanie zwane charakterystycznym, wiekowym lub sekularnym:

gdzie:

otrzymujemy pierwiastki:
. Mogą zaistnieć trzy przypadki

1. 
   ,wektory własne są wzajemnie prostopadłe,
   

Macierz naprężeń w nowym układzie (układzie zbudowanego na wektorach własnych):

- ekstremalne naprężenia normalne lub naprężenia główne

2. 
   (lub
   ,
   ) Wartości własnej
   odpowiada wektor własny
   , natomiast wartości własnej
   odpowiada cała płaszczyzna wektorów własnych prostopadła do
   . Przy przecięciu bryły każdą płaszczyzną równoległą do
   otrzymujemy wektor naprężenia prostopadły do tej płaszczyzny, którego miara wynosi
   

3. 
   , każdy wektor jest wektorem własnym, a zatem przy przecięciu bryły każdą płaszczyzną otrzymujemy wektor naprężenia prostopadły do przekroju, którego miara wynosi
   .

Ekstremalne naprężenia styczne
występują przy przekroju bryły płaszczyznami przechodzącymi przez jedną z osi głównych i nachylonymi pod kątem 45° do pozostałych.

Wartości maksymalnych naprężeń stycznych:

,
,

Nierówności i koła Mohra - metoda graficzna

Rozpatrujemy przypadek
, pierwiastki
(macierz naprężeń w osiach głównych układu) znajdziemy:

• Zbiór rozwiązań (
  ) dla dowolnych płaszczyzn przekroju bryły

• Mając
  i wersor normalny do płaszczyzny - długość
  

Równania równowagi Naviera

Elementy macierzy naprężeń muszą w każdym punkcie wewnętrznym bryły spełniać równania równowagi (równania Naviera):

i,j = 1, 2, 3

- macierz naprężeń wewnątrz bryły o trzech zmiennych niezależnych

- wektor sił masowych

• Statyczne warunki brzegowe

Zgodnie z twierdzeniem o równoważności układów sił zewnętrznych i wewnętrznych, układ sił działających na ciało jest równoważny układowi zerowemu, stąd na powierzchni ciała statycznie obciążonego muszą być spełnione statyczne warunki brzegowe:

i,j= l, 2, 3

- macierz naprężeń na powierzchni bryły o dwóch zmiennych niezależnych,

- współrzędne wersora normalnego do powierzchni przekroju

• Przemieszczenia

Z ciała określonego w układzie (
), wybierzmy punkt A o wektorze wodzącym
, po przyłożeniu obciążenia, punkt ten przemieści się w nowe położenie A' o wektorze wodzącym
. Wektor
nazywamy wektorem przemieszczenia.

Funkcja wektorowa u = u (r) określa pole wektorowe przemieszczeń. Współrzędne tej funkcji, będące

funkcjami skalarnymi r lub (
) oznaczamy przez
i nazywamy przemieszczeniami.

Odkształceniem liniowym włókna nazywamy względną zmianę jego długości na skutek przyłożonych sił

gdzie:

Odkształceniem kątowym nazywamy połowę kąta o jaki zmieni się kąt prosty po odkształceniu między dwoma włóknami przechodzącymi przez wspólny punkt i wzajemnie prostopadłymi przed przyłożeniem obciążenia.

gdzie:

Gdy i,j = 1, 2, 3 mamy 6 nieliniowych równań geometrycznych

Z założenia o małych pochodnych przemieszczeń wynikają równania geometryczne, liniowe Cauchy'ego

Przemieszczenia muszą spełniać kinematyczne warunki brzegowe - są to warunki jakie narzucają więzy na przemieszczenia.

Odkształcenia liniowe i kątowe stanowią zbiór funkcji, które przedstawiamy w postaci macierzy odkształceń

na przekątnej odkształcenia liniowe, poza nią odkształcenia kątowe

Analiza stanu odkształceń w punkcie

Macierz odkształceń jest symetryczna i jest tensorem przy założeniu małych pochodnych przemieszczeń. To pozwala dokonać analizy stanu odkształceń w punkcie, tzn.

1. Znaleźć odkształcenie włókna
   ,

2. Znaleźć ekstremalne odkształcenie włókna - jest to zagadnienie poszukiwania wartości i wektorów własnych. Macierz odkształceń w układzie osi własnych:

Elementy tensora muszą spełniać warunki nierozdzielności:

dla: i, j, k, r =1, 2, 3

których jest
, i z których 6 jest niezależnych

Związki pomiędzy
i
to równania fizyczne

Równania Hooke'a podają związki pomiędzy naprężeniami, a odkształceniami w dowolnym układzie współrzędnych

i, j = 1, 2, 3

G,λ - współczynniki Lamego

Wg. J. German

1. WEKTOR NAPRĘŻENIA

średnia gęstość sił wewnętrznych na powierzchni F

naprężenie w punkcie A : funkcja wektorowa

2. STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE

zbiór wektorów naprężenia w ustalonym punkcie przy dowolnej płaszczyźnie przekroju

wybieramy 3 szczególne płaszczyzny przekroju - prostopadłe do osi układu współrzędnych

wektor naprężenia przynależny płaszczyźnie prostopadłej do osi x _i

wersory normalne płaszczyzn prostopadłych do osi x _i

funkcja skalarna 3 skalarów

macierz naprężenia

σ₁₁, σ₂₂, σ₃₃ - naprężenia normalne, pozostałe to napr. styczne

3. KONWENCJA ZNAKOWANIA NAPRĘŻEŃ

napręż. normalne jest dodatnie, jeżeli jest zgodnie skierowane z normalną zewnętrzną płaszczyzny

napr. styczne jest dodatnie, jeżeli:

1) normalna zewnętrzna płaszczyzny jest zgodnie skierowana z osią układu, do której jest ona równoległa

2) naprężenie styczne jest zgodnie skierowane z osią układu, do której jest ono równoległe,

lub gdy oba warunki są jednocześnie niespełnione.

4. TENSOR NAPRĘŻENIA

cos kąta między ściankami = cos kąta między normalnymi do ścianek

siły działające na ściankach F_i

siła działająca na ściance F

warunek równowagi sił (zamknięty przestrzenny wielobok sił)

symetria macierzy naprężeń _ij = _ji

itd..........

konwencja sumacyjna

współrzędne wektora naprężenia na ściance o normalnej

W wyniku pomnożenia wektora przez macierz otrzymujemy wektor, a zatem macierz naprężenia musi być tensorem.

5. TRANSFORMACJA TENSORA NAPRĘŻENIA

macierz przejścia

I wiersz

I kolumna

1. wiersze macierzy przejścia to współrzędne wersorów nowego układu wyrażone w ukł. starym

2. kolumny macierzy przejścia to współrzędne wersorów starego układu wyrażone w ukł. Nowym44

3. macierz ortonormalna wzg. wierszy i kolumn, tzn.

4. prawo transformacji

6. NAPRĘŻENIA GŁÓWNE

Poszukujemy takiej płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt, aby odpowiadający jej wektor naprężenia
miał taki sam kierunek jak wersor normalny płaszczyzny
.

σ - miara wektora

Zauważmy, że utożsamiając kierunek wersora normalnego płaszczyzny z kierunkiem np. "1" osi nowego układu, wektor naprężenia tworzący pierwszy wiersz 'nowego" tensora naprężenia miałby niezerową tylko pierwszą składową - składową normalną. Byłaby ona największa spośród wszystkich możliwych. Takie naprężenie normalne nosi nazwę naprężenia głównego, a odpowiadająca mu płaszczyzna to płaszczyzna główna.

warunek kolinearności

wektor naprężenia

zagadnienie własne

(war. jednostkowej dług. wersora)

Warunek konieczny istnienia rozwiązania ze wzg. na elementy macierzy przejścia

(równ. charakterystyczne)

, ,

równanie charakterystyczne ma zawsze 3 pierwiastki rzeczywiste, które można uporządkować ₁ > ₂ > ₃

każdej z wartości głównych odpowiada płaszczyzna główna, określona wersorem normalnym

wersory określające płaszczyzny główne są ortonormalne, tzn.

dla dowolnego tensora naprężenia zawsze istnieją 3 wzajemnie prostopadłe naprężenia i kierunki (płaszczyzny) główne.

procedura określania kierunków głównych, czyli zarazem macierzy przejścia do kierunków głównych

np. dla = ₁

+ (*)

1) wziąć którekolwiek 2 spośród 3 równań, kładąc w nich np. ₁₃ = t

2) znaleźć ₁₁ = ₁₁(t) , ₁₂ = ₁₂(t)

3) wyznaczyć parametr t z warunku " (*) "

4) obliczyć wartości ₁₁ , ₁₂ , ₁₃

5) postąpić analogicznie dla ₂

6) wyznaczyć

7. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA

stan naprężenia, dla którego wszystkie składowe leżą w jednej płaszczyźnie, np. (x₁, x₂).

tensor naprężenia

macierz przejścia

naprężenia główne + przekształcenia

pseudopłaski stan naprężenia - jak wyżej, ale ₃₃ 0. Rezultaty jak dla PSN, a trzecie naprężenie główne ₃ = ₃₃

8. EKSTREMALNE NAPRĘŻENIA STYCZNE

Problem : W punkcie A znany jest tensor naprężenia w osiach głównych. Jaką płaszczyzną należy przekroić ciało w pkt. A, aby miara rzutu wektora naprężenia odpowiadającego tej płaszczyźnie na nią samą była maksymalna?

wektor naprężenia

wersor normalny

σ_ν - miara rzutu wektora naprężenia na normalną

τ_ν - miara rzutu wektora naprężenia na płaszczyznę

Procedura rozwiązania (1)

(2)

+ warunek (3)

Zadanie sprowadza się do znalezienia ekstremum funkcji (2) z warunkiem pobocznym (3)

1) z war. (3) wyeliminować np. i wstawić do funkcji (2)

2) warunki konieczne istnienia ekstremum + przekształcenia

Rozwiązanie : Naprężenia styczne osiągają swoje ekstrema na płaszczyznach nachylonych pod kątami 45° do płaszczyzn głównych.

;

9. KOŁA MOHRA

Problem : W punkcie A znany jest tensor naprężenia w osiach głównych. Określić zbiór rozwiązań (_ν, _ν) dla dowolnych płaszczyzn przekroju ciała, przechodzących przez pkt. A.

wektor naprężenia

wersor normalny

σ_ν - miara rzutu wektora na

τ_ν - miara rzutu wektora na płaszczyznę

tensor naprężenia

Procedura rozwiązania

(1)

(2)

+ warunek (3)

Rozwiązanie układu równań (1), (2), (3) wzgl. ma postać :

Z relacji większościowych między naprężeniami głównymi wynikają nierówności:

; ;

Przekształcenia tych nierówności prowadzą do związków:

K₂₃

zewnętrze okręgu o promieniu (₂ - ₃) / 2 i środku [ (₂ + ₃) / 2 ; 0 ]

K₁₃

wnętrze okręgu o promieniu (₁ - ₃) / 2 i środku [ (₁ + ₃) / 2 ; 0 ]

K₁₂

wnętrze okręgu o promieniu (₁ - ₂) / 2 i środku [ (₁ + ₂) / 2 ; 0 ]

Zastosowanie kół Mohra dla płaskiego stanu naprężenia ( ₃ = 0 )

ZADANIE 1 : Dane są naprężenia główne ₁ i ₂ oraz kąt , pod jakim nachylona jest płaszczyzna do kierunku naprężenia ₁. Wyznaczyć naprężenia normalne i styczne przynależne tej płaszczyźnie.

ZADANIE 2: Dany jest tensor naprężenia w pkt. A w dowolnym ukł. współrzędnych (x₁, x₂). Znaleźć naprężenia główne ₁ i ₂ oraz ich kierunki.

Kolejność czynności:

1) odłożyć na osi "" wartości ₁₁ i ₂₂

2) z punktu = ₁₁ odłożyć na osi "" wartość ₁₂ - jeżeli ₁₂ > 0 to po dodatniej stronie osi "" ( na rysunku przyjęto ₁₂ < 0 ). Z punktu = ₂₂ odłożyć wartość ₁₂ po stronie przeciwnej osi "" . Otrzymujemy punkty P₁ i P₂

3) połączyć punkty P₁ i P₂ - punkt S, przecięcia odc. P₁-P₂ z osią "" jest środkiem koła

4) narysować koło o środku w pkt. S i promieniu S P₁ (S P₂). Otrzymujemy punkty N₁ i N₂, przecięcia się okręgu z osią "". Odcinki ON₁ i O N₂ wyznaczają wartości naprężeń głównych ₁ i ₂

5) połączyć punkt P₁ z N₂ - otrzymujemy oś x₁^gł , określającą kierunek główny odpowiadający pierwszemu naprężeniu głównemu

6) połączyć punkt P₂ z N₂ - otrzymujemy oś x₂^gł , określającą kierunek główny odpowiadający drugiemu naprężeniu głównemu.

1. WEKTOR PRZEMIESZCZENIA

położenie pkt. P przed deformacją

położenie pkt. P po deformacji

przemieszczenie punktu P

wektorowe pole przemieszczeń

2. ZMIANA ODLEGŁOŚCI MIĘDZY PUNKTAMI

położenie pkt. P po deformacji

położenie pkt. Q po deformacji

kwadrat odległości między punktami P i Q przed deformacją

kwadrat odległości między punktami P' i Q' po deformacji

⇒

obliczenie różnicy kwadratów odległości punktów po i przed odkształceniem

- różniczka zupełna

i, j =1, 2, 3

macierz stanu odkształcenia (II rzędu, symetryczna)

Macierz stanu odkształcenia jest TENSOREM

Dowód: w "nowym " układzie , obróconym wzg. układu wyjściowego

pr. transformacji tensora

3. ODKSZTAŁCENIA LINIOWE I KĄTOWE

wybieramy 2 włókna : PQ równoległe do osi x₁ i PR równoległe do x₂. Wyznaczyć długości tych włókien oraz kąt między nimi po odkształceniu .

długości włókien PQ, PR i QR przed odkształceniem

długość włókna po odkształceniu

długości włókien P'Q', P'R', Q'R' po odkształceniu

zmiana kąta między włóknami P'Q' i P'R' (tw. Carnota, "tw. cosinusów")

odkształcenia liniowe (względna zmiana długości włókna PQ)

nie ma sumowania po "i"

odkształcenia kątowe

4. RÓWNANIA GEOMETRYCZNE

związki między przemieszczeniami i odkształceniami

są to nieliniowe równania geometryczne

linearyzacja równań geometrycznych

założenie : pochodne przemieszczeń są wielkościami małymi

WNIOSEK : kwadraty pochodnych przemieszczeń, jako małe wyższego rzędu można pominąć.

odkształcenia liniowe

⇒

odkształcenia kątowe

2 e_ii << 1

dla małych arcsin

liniowe równania geometryczne - równania Cauchy'ego

tensor odkształcenia

5. KINEMATYCZNE WARUNKI BRZEGOWE

liniowe równania geometryczne (rów. Cauchy'ego) - 6 równań różniczkowych cząstkowych wzg. 3 nieznanych funkcji przemieszczeń

rozwiązanie ma postać:

- całka ogólna układu równań różniczkowych jednorodnych (opisuje stan bezodkształceniowy _ij =0 - przemieszczenia punktów bryły sztywnej)

- całka szczególna układu równań różniczkowych niejednorodnych

elementarne przekształcenia algebraiczne i różniczkowe prowadzą do całki ogólnej w postaci

Ostatecznie otrzymujemy zatem rodzinę rozwiązań o 6 parametrach a, b, c, d, f i g.

Parametry te określa się z warunków wynikających ze sposobu podparcia konstrukcji. Warunki te noszą nazwę kinematycznych warunków brzegowych.

przykłady kinematycznych warunków brzegowych

A.

B.

C.

6. RÓWNANIA NIEROZDZIELNOŚCI ODKSZTAŁCEŃ

- liniowe równania geometryczne ( rów. Cauchy'ego )

- 6 równań różniczkowych ze wzg. na niewiadome 3 funkcje przemieszczeń

- rozwiązanie istnieje tylko wówczas, gdy między odkształceniami zachodzą związki zwane równaniami nierozdzielności.

przestawienia wskaźników :

liczba równań (liczba 4 elementowych wariacji ze zbioru 3 elementowego) wynosi 34 = 81, ale liczba równań niezależnych wynosi 6

interpretacja geometryczna

7. DEFORMACJA SZEŚCIANU JEDNOSTKOWEGO

Problem : Określić deformację sześcianu o jednostkowych krawędziach ("obraz" punktu materialnego tzn. punktu o przypisanej masie).

A. W układzie współrzędnych określonym przez osie główne tensora odkształcenia

długości krawędzi sześcianu jednostkowego po odkształceniu

zmiana objętości sześcianu

zmiana kątów między krawędziami sześcianu - nie występuje, gdyż dla i j, ij=0.

WNIOSEK :

1) zmiana objętości zwana dylatacją jest równa I niezmiennikowi tensora, jest więc taka sama w każdym układzie współrzędnych

2) nie występuje zmiana postaci

B. W dowolnym układzie współrzędnych

długości krawędzi sześcianu jednostkowego po odkształceniu

zmiana objętości sześcianu - dylatacja

zmiana kątów między krawędziami sześcianu

WNIOSEK :

1) zmianę objętości, niezależnie od ukł. współrzędnych opisuje I niezmiennik

2) występowanie zmiany postaci zależy od układu współrzędnych.

8. DEWIATOR I AKSJATOR SYMETRYCZNEGO TENSORA II RZĘDU

TWIERDZENIE :każdy tensor symetryczny II rzędu można przedstawić w postaci sumy dwóch tensorów symetrycznych w postaci :

aksjator

dewiator

9. AKSJATOR I DEWIATOR TENSORA ODKSZTAŁCENIA

I niezmiennik (zmiana objętości) aksjatora i dewiatora

dla aksjatora

dla dewiatora

WNIOSKI :

1) całą zmianę objętości opisuje aksjator tensora odkształcenia, nie opisuje on zmiany postaci

2) zmianę postaci opisuje dewiator tensora odkształcenia, nie opisuje on zmiany objętości

, - wektory sił wewnętrznych w punktach powierzchni ΔF wokół punktu A

- suma sił wewnętrznych na powierzchni ΔF

x₁

x₂

x₃

A

x₁

x₂

x₃

A

C

B

E

σ₁₁

σ₂₂

σ₁₂

σ₂₁

σ₁₃

σ₂₃

σ₃₂

σ₃₁

σ₃₃

D

G

F

x₁

x₂

x₃

A

x^'₂

x^'₁

x^'₃

x₂

x₁

x₃

e^'₁

e^'₂

e^'₃

e₂

e₁

e₃

x₁

x₂

x₃

O

x₁

x₂

σ₁₁

σ₂₂

σ₁₂

σ₂₂

σ₂₁

σ₁₂

σ₁₁

σ₂₁

1

2

3

A

1

2

3

1

2

3

A

WNIOSEK :

Dla danego tensora naprężenia w pkt. A , określonego w osiach głównych, koniec wektora naprężenia odpowiadają-cego dowolnej płaszczyźnie przechodzą-cej przez pkt. A musi leżeć w obszarze określonym przez koła Mohra (obszar "zaciemniony"). Jest to obszar, w którym leżą wszystkie pary ( , )

P

Q _i

x _i

---