10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE

1

10.

  

10. Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe

10.1 Podstawowy zapisu wskaźnikowego

Elementy konstrukcji znajdują się w przestrzeni fizycznej. Do opisu zjawisk w niej będzie stosowany

prawoskrętny układ współrzędnych kartezjańskich przedstawiony na rysunku 10.1. Na potrzeby opisu zjawisk
zamiast tradycyjnego oznaczenia wprowadzono osie X

1

,

X

2

i X

3

. Położenie dowolnego punktu opisują trzy

współrzędne x

1

,

x

2

i x

3

, które można zapisać w zapisie wskaźnikowym

x

i

,

(10.1)

w którym i=1, 2, 3. Indeks i będzie zawsze przyjmował wartości od 1 do 3. Prawoskrętny układ oznacza, że
śruba prawoskrętna kręcąca się od osi X

1

do osi X

2

będzie się wkręcała w kierunku osi X

3

. Podobnie śruba

kręcąca się od osi X

2

do osi X

3

będzie się wkręcała w kierunku osi X

1

. Na koniec, jeżeli śruba będzie się

kręciła od osi X

3

do osi X

1

to będzie się wkręcała w kierunku osi X

2

. Przedstawia to rysunek 10.2.

Y=X

2

Z=X

3

X=

X

1

A

O

x

2

x

3

x

1

Rys. 10.1. Prawoskrętny układ współrzędnych.

Y=X

2

Z=X

3

X=

X

1

Y=X

2

Z=X

3

X=

X

1

Y=X

2

Z=X

3

X=

X

1

Obrót śruby prawoskrętnej

Rys. 10.2. Obrót śruby prawoskrętnej.

Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński

AlmaMater

10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE

2

W analizie konstrukcji często występującą wielkością jest wielkość wektorowa. Wielkością wektorową może
być siła lub przemieszczenie punktu konstrukcji. Rysunek 10.3 przedstawia przykładowy wektor

A

przyłożony w początku układu współrzędnych. Wektor jest taką wielkością, którą charakteryzuje moduł
wektora, kierunek i zwrot. Jak widać na rysunku 10.3 wektor został przedstawiony za pomocą trzech
współrzędnych wektora na trzy osie przyjętego układu współrzędnych. Wektor przedstawiony na rysunku 10.3
posiada wszystkie trzy współrzędne dodatnie.

Y=X

2

Z=X

3

X=

X

1

O

A

2

A

3

A

1

A

Rys. 10.3. Składowe wektora A.

Trzy współrzędne wektora można zapisać w formie macierzy kolumnowej w postaci

[

A

1

A

2

A

3

]

,

(10.2)

lub w zapisie wskaźnikowym

A

i

,

(10.3)

w którym i=1, 2, 3.

Jeżeli dwa wektory

A

i

B

są równe to współrzędne wektorów spełniają warunek

A

i

=B

i

.

(10.4)

Jeżeli pomnożymy wektor

A

przez skalar a, otrzymano wektor współosiowy

B

, który spełnia zależność

Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński

AlmaMater

10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE

3

B=a⋅A

.

(10.5)

Równanie (10.5) w zapisie wskaźnikowym będzie miało postać

B

i

=a⋅A

i

.

(10.6)

Sumowanie dwóch wektorów

A

i

B

można wykonać sumując ich współrzędne. W wyniku otrzyma się

wektor

C

o współrzędnych

C

i

=A

i

B

i

.

(10.7)

Wektor o module równym jeden nazywamy wektorem jednostkowym. Jeżeli kierunek i zwrot wektora
jednostkowego zgodne są z kierunkiem i zwrotem osi układu współrzędnych to wektor taki nazywamy
wersorem. Wersory przedstawia rysunek 10.4.

Y=X

2

Z=X

3

X=

X

1

O

e

1



e

2

e

3

Rys. 10.4. Wersory.

Dowolny wektor

A

można zapisać w postaci sumy

A=A

1

⋅e

1

A

2

⋅e

2

A

3

⋅e

3

=

∑

i

=1

3

A

i

⋅e

i

.

(10.8)

Dla skrócenia zapisu wzoru (10.8) wprowadzono umowę sumacyjną Einstaina. Umowa ta mówi, że jeżeli w
jednomianie występuje dwa razy ten sam wskaźnik, to oznacza to, że należy wykonać sumowanie względem
wszystkich możliwych wartości tego wskaźnika. Zgodnie z tą umową wzór (10.8) będzie miał postać

Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński

AlmaMater

10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE

4

A=A

i

⋅e

i

,

(10.9)

w którym powtarzający się wskaźnik i jest wskazówką, że należy wykonać sumowanie dla wartości i
zmieniających się od 1 do 3. Wskaźnik ten nazywa się wskaźnikiem sumacyjnym lub niemym, ponieważ
może być on zastąpiony każdym innym symbolem bez zmiany sensu zapisu. Pozostałe wskaźniki są
wskaźnikami żywymi. Jeżeli jednak wyrażenia nie mają być sumowane to wskaźniki należy ująć w nawiasy.

Iloczynem skalarnym dwóch wektorów

A

i

B

nazywamy skalar, który jest równy iloczynowi modułów

wektorów

A

i

B

oraz kosinusa kąta zawartego pomiędzy oboma wektorami.

A⋅B=

∣

A

∣

⋅

∣

B

∣

⋅cos

.

(10.10)

Szczególnym przypadkiem będzie skalarne mnożenie wersorów. W wyniku takiego mnożenia otrzymano

e

1

⋅e

1

=e

2

⋅e

2

=e

3

⋅e

3

=1

(10.11)

oraz

e

1

⋅e

2

=e

2

⋅e

1

=e

1

⋅e

3

=e

3

⋅e

1

=e

2

⋅e

3

=e

3

⋅e

2

=0

(10.12)

gdyż kąty zawarte między wersorami równe są 0 lub

/2

. Wektor

A

można wyrazić

A=A

1

⋅e

1

A

2

⋅e

2

A

3

⋅e

3

.

(10.13)

Wektor

B

można wyrazić

B=B

1

⋅e

1

B

2

⋅e

2

B

3

⋅e

3

.

(10.14)

Iloczyn skalarny można wyrazić za pomocą wzoru

A⋅B=



A

1

⋅e

1

A

2

⋅e

2

A

3

⋅e

3



⋅



B

1

⋅e

1

B

2

⋅e

2

B

3

⋅e

3



.

(10.15)

Po wykonaniu mnożenia oraz uwzględnieniu (10.11) i (10.12) otrzymano

Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński

AlmaMater

10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE

5

A⋅B=A

1

⋅B

1

A

2

⋅B

2

A

3

⋅B

3

=

∑

i

=1

3

A

i

⋅B

i

=A

i

⋅B

i

.

(10.16)

Iloczyn skalarny jest działaniem przemiennym, wynik mnożenia skalarnego wektora

A

przez

B

oraz

wektora

B

przez wektor

A

będzie identyczny.

Wartość iloczynów skalarnych wersorów można zapisać w postaci

e

i

⋅e

j

=

ij

=

{

1 gdy i

= j

0 gdy i

≠ j

.

(10.17)

Wartość

d

ij

nazywamy symbolem Kroneckera. Symbol ten ma duże znaczenie w mechanice ciała stałego.

Jedno z ważnych zastosowań symbolu Kroneckera można przedstawić na przykładzie równania

A

i

=

ij

⋅B

j

.

(10.18)

Wskaźnik j jest wskaźnikiem niemym i wzór (10.18) można przedstawić w postaci

A

i

=

i1

⋅B

1



i2

⋅B

2



i3

⋅B

3

.

(10.19)

Wzór (10.19) można przedstawić w postaci

A

1

=

11

⋅B

1



12

⋅B

2



13

⋅B

3

A

2

=

21

⋅B

1



22

⋅B

2



23

⋅B

3

A

3

=

31

⋅B

1



32

⋅B

2



33

⋅B

3

.

(10.20)

Uwzględniając wartości delty Kroneckera wzór (10.20) można zapisać

A

1

=B

1

dla i

=1

A

2

=B

2

dla i

=2

A

3

=B

3

dla i

=3

.

(10.21)

Ostatecznie wzór (10.18) można zapisać

A

i

=

ij

⋅B

j

=B

i

.

(10.22)

Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński

AlmaMater

10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE

6

Z powyższego przykładu wynika, że działanie symbolem Kroneckera na wektor B

j

powoduje w nim zmianę

wskaźnika j na i. Symbol Kroneckera nazywa się symbolem zmiany wskaźnika.

Wartość delty Kroneckera przy jednakowych wskaźnikach wynosi



ii

=

11



22



33

=111=3

.

(10.23)

Iloczynem wektorowym dwóch wektorów

A

i

B

nazywamy wektor

C

, którego moduł wynosi

∣

C

∣

=

∣

A

∣

⋅

∣

B

∣

⋅sin

.

(10.24)

Moduł wektora

C

równa się polu równoległoboku, który można zbudować na wektorach

A

i

B

.

Wektor

C

jest prostopadły do płaszczyzny, na której znajdują się wektory

A

i

B

. Natomiast zwrot

wektora

C

spełnia regułę śruby prawoskrętnej, która mówi, że kręcąc śrubą od wektora

A

w kierunku

wektora

B

śruba będzie się wkręcała zgodnie ze zwrotem wektora

C

. Przedstawia to rysunek 10.5.

A

B

 C



Rys. 10.5. Iloczyn wektorowy.

Iloczyn wektorowy nie jest działaniem przemiennym czyli

A×B=−B× A

.

(10.25)

Iloczyn skalarny wersora przez siebie wynosi

e

1

×e

1

=e

2

×e

2

=e

3

×e

3

=0

(10.26)

Iloczyn skalarny wersora

e

1

przez

e

2

wynosi

Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński

AlmaMater

10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE

7

e

1

×e

2

=−e

2

×e

1

=e

3

.

(10.27)

Iloczyn skalarny wersora



e

2

przez



e

3

wynosi

e

2

×e

3

=−e

3

×e

2

=e

1

.

(10.28)

Iloczyn skalarny wersora



e

3

przez

e

1

wynosi

e

3

×e

1

=−e

1

×e

3

=e

2

.

(10.29)

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów

A

i

B

można zapisać w postaci

A×B=



A

1

⋅e

1

A

2

⋅e

2

A

3

⋅e

3



×



B

1

⋅e

1

B

2

⋅e

2

B

3

⋅e

3



.

(10.30)

Wzór ten po wymnożeniu będzie miał postać

A×B=A

1

⋅B

1

⋅e

1

×e

1

A

1

⋅B

2

⋅e

1

×e

2

A

1

⋅B

3

⋅e

1

×e

3

A

2

⋅B

1

⋅e

2

×e

1

A

2

⋅B

2

⋅e

2

×e

2

A

2

⋅B

3

⋅e

2

×e

3

A

3

⋅B

1

⋅e

3

×e

1

A

3

⋅B

2

⋅e

3

×e

2

A

3

⋅B

3

⋅e

3

×e

3

.

(10.31)

Uwzględniając (10.26), (10.27), (10.28) i (10.29) wzór (10.31) będzie miał postać

A×B=



A

2

⋅B

3

−A

3

⋅B

2



⋅e

1





A

3

⋅B

1

−A

1

⋅B

3



⋅e

2





A

1

⋅B

2

−A

2

⋅B

1



⋅e

3

.

(10.32)

Wzór (10.32) można zapisać w postaci wyznacznika

A×B=

∣

e

1

e

2

e

3

A

1

A

2

A

3

B

1

B

2

B

3

∣

.

(10.33)

W zapisie wskaźnikowym iloczyn wektorowy można zapisać w postaci

Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński

AlmaMater

10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE

8

A×B=e

ijk

⋅e

i

⋅A

j

⋅B

k

,

(10.34)

w którym e

ijk

stanowi symbol permutacyjny, który można wyrazić jako

e

ijk

=

{

0

gdy i

= j lubi=k lub j=k

1 gdy i , j , k przedstawiają permutację dodatnią

−1 gdy i , j , k przedstawiają permutację ujemną

.

(10.35)

Permutacja dodatnia oznacza kolejne występowanie liczb 1, 2, 3. Permutacja ujemna oznacza kolejne
występowanie liczb 3, 2, 1. Przedstawia to rysunek 10.6.

1

2

3

1

2

3

Permutacja dodatnia

Permutacja ujemna

Rys. 10.6. Permutacja dodatnia i ujemna.

Na podstawie rysunku 10.6 permutacja dodatnia oznaczają kolejność liczb

123, 231 , 312

,

(10.36)

natomiast permutacja ujemna oznacza kolejność liczb

132, 321 , 213

.

(10.37)

10.2 Transformacja układu współrzędnych

W rozdziale tym podane zostaną wzory opisujące transformację (obrót) układu współrzędnych.

Pierwotnym układem jest układ X

1

X

2

X

3

. Układ transponowany (obrócony) to układ X

1'

X

2'

X

3'

. Oba układy

zostały pokazane na rysunku 10.7. Osie układu współrzędnych X

1'

X

2'

X

3'

tworzą z osiami X

1

X

2

X

3

kąty,

których kosinusy kierunkowe opisuje zależność

a

i ' j

=cos x

i '

, x

j



.

(10.38)

Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński

AlmaMater

10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE

9

Y=X

2

Z=X

3

X=

X

1

O

e

1



e

2

e

3

Y=X

2

Z'=

X

3'

X'

=

X

1'

O

Y'=

X

2'

Z=X

3

X=

X

1

e

1

'

e

2'

 e

3'

Rys. 10.7. Układ pierwotny i transponowany (obrócony).

Kosinusy kierunkowe tworzą tablicę

x

1

x

2

x

3

x

1 '

a

1 ' 1

a

1' 2

a

1' 3

x

2 '

a

2 ' 1

a

2 ' 2

a

2 ' 3

x

3 '

a

3 ' 1

a

3' 2

a

3' 3

(10.39)

nazywaną macierzą transformacji układu współrzędnych. Macierz ta nie jest macierzą symetryczną,
ponieważ

A

i ' j

≠A

j' i

.

(10.40)

Oznacza to na przykład, że kosinus kąta między osią X

1'

i osią X

3

(a

1'3

) jest różny od kosinusa kąta między osią

X

3'

i osią X

1

(a

3'1

).

Wartość kosinusa kierunkowego równa się iloczynowi skalarnemu wersora

e

i '

i

e

j

e

i '

⋅e

j

=∣1∣⋅∣1∣⋅cos x

i '

, x

j

=cos x

i '

, x

j

=a

i ' j

.

(10.41)

W układzie X

1

X

2

X

3

znajduje się wektor

A

, który można zapisać równaniem (10.8) lub (10.9).

Współrzędna A

2'

w układzie osi X

1'

X

2'

X

3'

równa się rzutowi tego wektora na oś X

2'

. Przedstawia to rysunek

10.8. Współrzędna A

2'

wynosi

A

2 '

=∣A∣⋅cos

.

(10.42)

Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński

AlmaMater

10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE

10

Y=X

2

Z=X

3

X=

X

1

O

A

2

A

3

A

1

A

Y=X

2

Z'=

X

3'

X'

=

X

1'

O

Y'=

X

2'

Z=X

3

X=

X

1

A

e

2'

A

2'



Rys. 10.8. Rzut wektora na oś układu transponowanego.

Kosinus kąta

a można wyznaczyć z iloczynu wektorowego wektora

A

i

e

2 '

. Kosinus ten wynosi

A⋅e

2'

=∣A∣⋅∣1∣⋅cos=∣A∣⋅cos

.

(10.43)

Wzory (10.42) i (10.43) są sobie równe czyli można zapisać

A

2'

= A⋅e

2'

.

(10.44)

Podstawiając równanie (10.8) do (10.44) otrzymano

A

2 '

=



A

1

⋅e

1

A

2

⋅e

2

A

3

⋅e

3



⋅e

2'

.

(10.45)

Po wymnożeniu wzór (10.45) będzie miał postać

A

2'

=A

1

⋅e

1

⋅e

2 '

A

2

⋅e

2

⋅e

2 '

A

3

⋅e

3

⋅e

2 '

.

(10.46)

Uwzględniając (10.41) wzór (10.46) będzie miał postać

A

2 '

=A

1

⋅a

2 ' 1

A

2

⋅a

2 ' 2

A

3

⋅a

2 ' 3

.

(10.47)

Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński

AlmaMater

10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE

11

Wzór (10.47) można zapisać wskaźnikowo w postaci

A

2'

=a

2 ' j

⋅A

j

.

(10.48)

Ogólnie wzór (10.48) można zapisać w postaci

A

i '

=a

i ' j

⋅A

j

.

(10.49)

Wzór (10.49) możemy także uogólnić na współrzędne punktu x

1

x

2

x

3

i x

1'

x

2'

x

3'

x

i '

=a

i ' j

⋅x

j

(10.50)

Inaczej kosinusy kierunkowe można wyznaczyć obliczając pochodną cząstkową funkcji współrzędnej x

1'

względem x

1

. Pochodna ta wynosi

∂ x

1'

∂ x

1

= ∂

∂ x

1



x

1

⋅a

1' 1

x

2

⋅a

1' 2

x

3

⋅a

1' 3



=a

1' 1

.

(10.51)

Ogólnie można zapisać

∂ x

i '

∂ x

j

=a

i ' j

.

(10.52)

Wzór (10.52) w zapisie wskaźnikowym będzie zapisana w postaci (pochodną oznacza się przecinkiem)

∂ x

i '

∂ x

j

=x

i ' , j

=a

i ' j

.

(10.53)

Obrót układu współrzędnych, podobnie jak obrót bryły sztywnej w przestrzeni trójwymiarowej, ma tylko trzy
stopnie swobody. Oznacza to, że tylko trzy spośród dziewięciu kosinusów kierunkowych są niezależne.

Współrzędne wersora

e

1'

w układzie X

1

X

2

X

3

równają się odpowiednim kosinusom kierunkowym.

Przedstawia to rysunek 10. Wersor

e

1'

możemy wyrazić za pomocą wzoru

e

1'

=e

1

⋅e

1

e

2

⋅e

2

e

3

⋅e

3

=a

1' 1

⋅e

1

a

1' 2

⋅e

2

a

1' 3

⋅e

3

.

(10.54)

Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński

AlmaMater

10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE

12

O

Z=X

3

X=

X

1

e

1 '

X'=X

1'

e

1

e

2

e

3







cos

=a

1' 1

cos

=a

1' 2

cos

=a

1' 3

Y=X

2

Rys. 10.9. Współrzędne wersora osi X

1'

.

Wzór (10.54) można zapisać w postaci

e

i '

=a

i ' p

⋅e

p

.

(10.55)

Wzór (10.55) można zapisać także w postaci

e

j '

=a

j ' q

⋅e

q

.

(10.56)

Mnożąc skalarnie wersory (10.55) i (10.56) otrzymano

e

i '

⋅e

j'

=



a

i ' p

⋅e

p



⋅



a

j' q

⋅e

q



=a

i ' p

⋅a

j' q

⋅



e

p

⋅e

q



.

(10.57)

Na podstawie definicji symbolu Kroneckera (10.17) można zapisać

e

i '

⋅e

j'

=

i ' j '

(10.58)

oraz

e

p

⋅e

q

=

pq

.

(10.59)

Uwzględniając (10.58) i (10.59) wzór (10.57) będzie miał postać

Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński

AlmaMater

10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE

13



i ' j '

=a

i ' p

⋅a

j' q

⋅

pq

.

(10.60)

Korzystając z delty Kroneckera jako operatora zmiany wskaźnika wzór (10.61) będzie miał postać

a

i ' p

⋅a

j ' p

=

i ' j '

.

(10.61)

Wzór (10.61) nazywa się warunkami ortogonalności (osie układu współrzędnych są prostopadłe).

Sumowanie we wzorze (10.61) będzie się odbywało po wskaźniku p. Wzór (10.61) będzie miał postać

a

i ' 1

⋅a

j' 1

a

i ' 2

⋅a

j ' 2

a

i ' 3

⋅a

j' 3

=

i ' j'

.

(10.62)

Jeżeli i'=1' oraz j'=1' to wzór (10.62) będzie miał postać

a

1' 1

⋅a

1 ' 1

a

1' 2

⋅a

1' 2

a

1' 3

⋅a

1' 3

=

1' 1'

=1

.

(10.63)

Jeżeli i'=2' oraz j'=2' to wzór (10.62) będzie miał postać

a

2 ' 1

⋅a

2 ' 1

a

2' 2

⋅a

2 ' 2

a

2 ' 3

⋅a

2 ' 3

=

2' 2 '

=1

.

(10.64)

Jeżeli i'=3' oraz j'=3' to wzór (10.62) będzie miał postać

a

3 ' 1

⋅a

3' 1

a

3' 2

⋅a

3' 2

a

3' 3

⋅a

3 ' 3

=

3' 3'

=1

.

(10.65)

Jeżeli i'=1' oraz j'=2' lub i'=2' oraz j'=1' to wzór (10.62) będzie miał postać

a

1' 1

⋅a

2 ' 1

a

1' 2

⋅a

2 ' 2

a

1' 3

⋅a

2' 3

=

1' 2 '

=0

.

(10.66)

Jeżeli i'=1' oraz j'=3' lub i'=3' oraz j'=1' to wzór (10.62) będzie miał postać

a

1' 1

⋅a

3' 1

a

1' 2

⋅a

3' 2

a

1' 3

⋅a

3' 3

=

1' 3'

=0

.

(10.67)

Jeżeli i'=2' oraz j'=3' lub i'=3' oraz j'=2' to wzór (10.62) będzie miał postać

Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński

AlmaMater

10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE

14

a

2 ' 1

⋅a

3' 1

a

2 ' 2

⋅a

3' 2

a

2 ' 3

⋅a

3' 3

=

2 ' 3'

=0

.

(10.68)

Wzory (10.63), (10.64) oraz (10.65) powstają z przemnożenia wyrazów z kolejnych wierszy tablicy (10.39)
przez siebie. Wzory (10.66), (10.67) oraz (10.68) powstają z przemnożenia wyrazów z wiersza pierwszego
przez drugi, wiersza pierwszego przez trzeci oraz wiersza drugiego przez trzeci.

Wzory (10.63) do (10.68) stanowią sześć zależności wiążących między sobą kosinusy kierunkowe. Widać
więc, że tylko trzy kosinusy kierunkowe są niezależne.

10.3 Pojęcie tensora

Dane są dwa wektory

A

i

B

, które transformują się zgodnie ze prawem transformacji (10.49) w

postaci (zamianie uległ wskaźnik niemy)

A

i '

=a

i ' p

⋅A

p

,

(10.69)

B

j '

=a

j ' q

⋅A

q

.

(10.70)

Tworząc iloczyn współrzędnych wektorów

A

i

B

w postaci

A

i

⋅B

j

=

[

A

1

A

2

A

3

]

⋅

[

B

1

B

2

B

3

]

=

[

A

1

⋅B

1

A

1

⋅B

2

A

1

⋅B

3

A

2

⋅B

1

A

2

⋅B

2

A

2

⋅B

3

A

3

⋅B

1

A

3

⋅B

2

A

3

⋅B

3

]

=C

ij

(10.71)

otrzymano układ dziewięciu liczb C

ij

, który nazywa się diadą natomiast iloczyn wszystkich współrzędnych

wektorów

A

i

B

nazywa się iloczynem tensorowym lub iloczynem zewnętrznym. Diada C

ij

będzie

miała postać

C

ij

=

[

C

11

C

12

C

13

C

21

C

22

C

23

C

31

C

32

C

33

]

.

(10.72)

Diada w układzie obróconym przyjmie postać

C

i ' j '

=A

i '

⋅B

j'

=a

i ' p

⋅A

p

⋅a

j ' q

⋅B

q

=a

i ' p

⋅a

j ' q

⋅A

p

⋅B

q

,

(10.73)

którą można zapisać

Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński

AlmaMater

10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE

15

C

i ' j'

=a

i ' p

⋅a

j ' q

⋅C

pq

.

(10.74)

Równanie (10.74) stanowi prawo transformacji tensora natomiast diadę C

pq

transformującą się zgodnie z

równaniem (10.74) nazywa się tensorem rzędu drugiego.

W celu usystematyzowania wprowadza się wielkości o różnym charakterze, a mianowicie

1. Tensory rzędu zerowego, do których zalicza się skalary. Skalar jest to pojedyncza liczba, której wartość

zależy od miejsca nie zależy natomiast od obrotu układu współrzędnych. Przykładem skalara jest gęstość
materiału lub temperatura.

2. Tensory rzędu pierwszego, czyli wektory. Przykładem wektora może być wektor siły, wektor

przemieszczenia punktu, wektor prędkości czy wektor przyśpieszenia.

3. Tensory rzędu drugiego. Przykładem tensora rzędu drugiego jest tensor naprężenia, który zostanie

dokładnie omówiony w następnym rozdziale. Pojedyncze składowe tego tensora takie jak naprężenie
normalne

s

X

, naprężenie styczne

t

XZ

zostały już omówione we wcześniejszych wykładach.

Symbol Kroneckera jest także tensorem rzędu drugiego. Można go zapisać w postaci



ij

=

[

1 0 0
0 1 0
0 0 1

]

.

(10.75)

Tensor (10.75) jest tensorem jednostkowym oraz symetrycznym, ponieważ



ij

=

ji

.

(10.76)

Jest on także izotropowy, ponieważ jego postać nie zmienia się podczas obrotu układu współrzędnych czyli
zachodzi równość



ij

=

i ' j '

.

(10.77)

4. Tensory rzędu trzeciego, powstają z pomnożenia tensora rzędu drugiego przez wektor w postaci

B

ij

⋅C

k

=A

ijk

.

(10.78)

Tensor ten zawiera 27 wielkości skalarnych, które transformować się będą według

A

i ' j ' k '

=a

i ' p

⋅a

j' q

⋅a

k ' r

⋅A

pqr

.

(10.79)

Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński

AlmaMater

10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE

16

Z powyższego zestawienia wynika, że skalar określa jedna liczba (3

0

), wektor określają trzy liczby (3

1

), tensor

rzędu drugiego określa dziewięć liczb (3

2

), a tensor rzędu trzeciego określa dwadzieścia siedem liczb (3

3

).

Można więc stwierdzić, że tensor n-tego rzędu będzie określać 3

n

liczb. Prawo transformacji tensora n-tego

rzędu będzie miało postać, która jest uogólnieniem prawa transformacji dla tensora rzędu drugiego. Prawo to
ma następującą postać

A

i ' j' k ' ... n '

=a

i ' p

⋅a

j ' q

⋅a

k ' r

... a

n ' s

⋅A

pqr...s

.

(10.80)

10.4 Działania na tensorach

Pierwszym działaniem, które można wykonać na tensorach jest dodawanie i odejmowanie tensorów.

Działanie to można przeprowadzić tylko dla tensorów tego samego rzędu. Można je zapisać

C

ij

=A

ij

±B

ij

.

(10.81)

Aby udowodnić, że wynik dodawania jest również tensorem należy sprawdzić czy tensor C

ij

spełnia prawo

transformacji tensora

C

ij

=A

ij

±B

ij

=a

i ' p

⋅a

j' q

⋅A

pq

±a

i ' p

⋅a

j' q

⋅B

pq

,

(10.82)

które można zapisać w postaci

C

ij

=a

i ' p

⋅a

j' q

⋅



A

pq

±B

pq



=a

i ' p

⋅a

j' q

⋅C

pq

.

(10.83)

Jak widać ze wzoru (10.83) C

ij

spełnia prawo transformacji tensora, jest więc to wielkość tensorowa.

Drugim działaniem wykonywanym na tensorach jest mnożenie tensorów. Takie mnożenie nazywa się

iloczynem zewnętrznym. Mnożąc tensor drugiego rzędu i wektor można otrzymać tensor trzeciego rzędu

C

ijk

=A

i

⋅B

jk

.

(10.84)

Prawo transformacji tensora ma w tym przypadku postać

C

i ' j ' k '

=a

i ' p

⋅A

p

⋅a

j ' q

⋅a

k ' r

⋅B

qr

,

(10.85)

którą można ostatecznie zapisać jako

Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński

AlmaMater

10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE

17

C

i ' j' k '

=a

i ' p

⋅a

j ' q

⋅a

k ' r

⋅



A

p

⋅B

qr



=a

i ' p

⋅a

j ' q

⋅a

k ' r

⋅C

pqr

.

(10.86)

Trzecim działaniem jest zwężenie lub kontrakcja tensora. Działanie to można wykonać tylko dla

tensorów rzędu wyższego niż dwa. Działanie to można pokazać na przykładzie tensora A

ijk

. Przyjmując, że j=k

otrzymano wyrażenie A

ijj

. Powtórzenie się wskaźnika j oznacza sumowanie, co daje w wyniku

A

ijj

=A

i11

A

i22

A

i33

.

(10.87)

Rozpisując wzór (10.87) po wskaźniku i można otrzymać układ trzech liczb tworzących tensor pierwszego
rzędu w postaci

A

111

A

122

A

133

dla i

=1

A

211

A

222

A

233

dla i

=2

A

311

A

322

A

333

dla i

=3

.

(10.88)

Wynik zwężania tensora trzeciego rzędu można zapisać następująco

A

ijj

=C

i

.

(10.89)

Prawo transformacji tensora ma w przypadku zwężenia postać (przyjęto, że j=k)

A

i ' j' j '

=a

i ' p

⋅a

j ' q

⋅a

j ' r

⋅A

pqr

,

(10.90)

pomiędzy kosinusami kierunkowymi zgodnie ze wzorem (10.61) zachodzi zależność

a

j ' q

⋅a

j' r

=

qr

.

(10.91)

Uwzględniając (10.91) wzór (10.90) będzie miał postać

A

i ' j ' j '

=a

i ' p

⋅

qr

⋅A

pqr

.

(10.92)

Traktując symbol Kroneckera jako symbol zmiany wskaźnika wzór (10.92) będzie miał postać

Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński

AlmaMater

10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE

18

A

i ' j' j '

=a

i ' p

⋅A

pqq

=a

i ' p

⋅



A

p11

A

p22

A

p33



=a

i ' p

⋅C

p

.

(10.93)

Szczególnym przypadkiem zwężania tensora jest zwężanie tensora drugiego rzędu, który można przedstawić w
postaci

A

ii

=A

11

A

22

A

33

,

(10.94)

który jest sumą współrzędnych diagonalnych tensora A

ij

. Sumę tą nazywa się także śladem macierzy.

Czwartym działaniem jest nasuwanie tensorów. Możemy je wykonać dla tensorów dowolnych rzędów.

Działanie to zostanie podstawione na podstawie tensora czwartego rzędu, który można otrzymać mnożąc
(iloczyn zewnętrzny) tensor trzeciego rzędu A

ijk

i tensor pierwszego rzędu (wektor) B

m

.

A

ijk

⋅B

m

=C

ijkm

.

(10.95)

Jeżeli w iloczynie zewnętrznym (10.95) przyjmie się przykładowo k=m to w wyniku takiego mnożenia
nazywanego iloczynem wewnętrznym otrzyma się tensor drugiego rzędu w postaci

A

ijk

⋅B

k

=C

ijkk

=D

ij

.

(10.96)

Prawo transformacji tensora w przypadku nasuwania tensorów ma postać

C

i ' j ' k ' k '

=A

i ' j ' k '

⋅B

k '

=a

i ' p

⋅a

j ' q

⋅a

k ' r

⋅A

pqr

⋅a

k ' s

⋅B

s

,

(10.97)

który można zapisać w postaci

C

i ' j' k ' k '

=a

i ' p

⋅a

j' q

⋅a

k ' r

⋅a

k ' s

⋅



A

pqr

⋅B

s



.

(10.98)

pomiędzy kosinusami kierunkowymi zgodnie ze wzorem (10.61) zachodzi zależność

a

k ' r

⋅a

k ' s

=

rs

.

(10.99)

Uwzględniając (10.99) wzór (10.98) można zapisać w postaci

C

i ' j' k ' k '

=a

i ' p

⋅a

j' q

⋅

rs

⋅



A

pqr

⋅B

s



=a

i ' p

⋅a

j ' q

⋅A

pqr

⋅B

r

.

(10.100)

Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński

AlmaMater

10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE

19

Wzór (10.100) można ostatecznie zapisać jako

C

i ' j ' k ' k '

=a

i ' p

⋅a

j ' q

⋅A

pqr

⋅B

r

=a

i ' p

⋅a

j' q

⋅C

pqrr

=a

i ' p

⋅a

j' q

⋅D

pq

.

(10.101)

10.5 Tensory drugiego rzędu

W dalszych wykładach najczęściej będą stosowane tensory drugiego rzędu. W związku z tym w punkcie

tym zostaną podane podstawowe wiadomości o tensorach drugiego rzędu. W tensorze tym można wyodrębnić
główną przekątną pokazaną na rysunku 10.10.

A

ij

=

[

A

11

A

12

A

13

A

21

A

22

A

23

A

31

A

32

A

33

]

Głó

wna

prze

kątn

a

Rys. 10.10. Główna przekątna tensora drugiego rzędu.

Tensor drugiego rzędu będzie tensorem symetrycznym, jeżeli zamiana wskaźników miejscami nie zmienia
wartości współrzędnych, to znaczy gdy

A

ij

=A

ji

.

(10.102)

Jeżeli zamiana wskaźników miejscami powoduje zmianę znaku współrzędnej to tensor jest nazywany
tensorem skośnie symetrycznym. Opisuje to zależność

B

ij

=−B

ji

.

(10.103)

Dla współrzędnych, które mają jednakowe wskaźniki zależność (10.103) jest spełniona jeżeli te współrzędne
równają się zero czyli

B

11

=B

22

=B

33

=0

.

(10.104)

Dowolny tensor drugiego rzędu C

ij

można rozłożyć na dwa tensory drugiego rzędu, z których jeden jest

symetryczny

Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński

AlmaMater

10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE

20

C

ij

=

1
2

⋅



C

ij

C

ji



,

(10.105)

a drugi skośnie symetryczny

C

[ij]

=

1
2

⋅



C

ij

−C

ji



.

(10.106)

Szczególnym przypadkiem tensora drugiego rzędu jest tensor kulisty nazywany także aksjatorem. W
tensorze kulistym współrzędne znajdujące się na przekątnej (współrzędne o jednakowych wskaźnikach) są
jednakowe a pozostałe współrzędne (współrzędne o różnych wskaźnikach) są równe zero. Najprostszym
tensorem kulistym jest symbol Kroneckera opisanego wzorem (10.75). Z każdego dowolnego symetrycznego
tensora drugiego rzędu można wydzielić jego część kulistą, którą opisuje wzór

A

ij

O

=

1
3

⋅A

pp

⋅

ij

=

[

1
3

⋅A

pp

0

0

0

1
3

⋅A

pp

0

0

0

1
3

⋅A

pp

]

,

(10.107)

w którym

A

pp

=A

11

A

22

A

33

(10.108)

jest sumą wyrazów na głównej przekątnej.

Tensor będący różnicą tensora drugiego rzędu i tensora kulistego nazywa się dewiatorem. Można go
przedstawić w postaci

A

ij

D

=A

ij

−

1
3

⋅A

pp

⋅

ij

=

[

A

11

−

1
3

⋅A

pp

A

12

A

13

A

21

A

22

−

1
3

⋅A

pp

A

23

A

31

A

32

A

33

−

1
3

⋅A

pp

]

.

(10.109)

Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński

AlmaMater

10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE

21

Suma współrzędnych na głównej przekątnej w dewiatorze wynosi

A

kk

D

=A

kk

−

1
3

⋅A

kk

⋅

kk

.

(10.110)

Zgodnie ze wzorem (10.23) mamy



kk

=3

,

(10.111)

czyli ostatecznie suma współrzędnych na głównej przekątnej wynosi

A

kk

D

=A

kk

−

1
3

⋅A

kk

⋅3=0

.

(10.112)

10.6 Przykłady liczbowe

10.6.1 Przykład numer 1

Dany jest tensor drugiego rzędu

A

ij

=

[

6

−3 8

12

−6 9

10

0

7

]

.

(10.113)

Rozłożyć go na tensor symetryczny i skośnie symetryczny.

Zgodnie z wzorem (10.105) część symetryczna będzie miała postać

A

ij

=

[

6

6

2

−312

2

8

10

2

12

−3

2

−6 −6

2

9

0

2

10

8

2

0

9

2

7

7

2

]

,

(10.114)

która ostatecznie będzie miała postać

Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński

AlmaMater

10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE

22

A

ij

=

[

6

4,5

9

4,5

−6 4,5

9

4,5

7

]

.

(10.115)

Zgodnie z wzorem (10.106) część skośnie symetryczna będzie miała postać

A

[ij]

=

[

6

−6

2

−3−12

2

8

−10

2

12

−−3

2

−6 −−6 

2

9

−0

2

10

−8

2

0

−9

2

7

−7

2

]

,

(10.116)

która ostatecznie będzie miała postać

A

[ij]

=

[

0

−7,5 −1

7,5

0

4,5

1

−4,5

0

]

.

(10.117)

Suma (10.115) i (10.117) równa się oczywiście tensorowi A

ij

czyli

A

ij

=

[

6

4,5

9

4,5

−6 4,5

9

4,5

7

]



[

0

−7,5 −1

7,5

0

4,5

1

−4,5

0

]

=

[

6

−3 8

12

−6 9

10

0

7

]

.

(10.118)

10.6.2 Przykład numer 2

Dany jest tensor symetryczny

B

ij

=

[

6

−3 8

−3 −4 9

8

9

7

]

.

(10.119)

Rozłożyć tensor B

ij

na aksjator i dewiator.

Zgodnie ze wzorem (10.108) suma współrzędnych na głównej przekątnej wynosi

Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński

AlmaMater

10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE

23

B

pp

=6−47=9

.

(10.120)

Tensor kulisty (aksjator) będzie wynosił

A

ij

O

=

1
3

⋅9⋅

ij

=

[

3 0 0

0 3 0
0 0 3

]

.

(10.121)

Dewiator będzie wynosił

B

ij

D

=

[

6

−3

−3

8

−3 −4−3

9

8

9

7

−3

]

=

[

3

−3 8

−3 −7 9

8

9

4

]

.

(10.122)

Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński

AlmaMater