Katarzyna Bernaciak

Rozważamy dowolny przekrój bryły płaszczyzną o wersorze

normalnym przechodzącą przez dowolny pkt. C o
wektorze wodzącym . Do każdego punktu płaszczyzny
przekroju przyłożona jest siła wewnętrzna.

- suma sił wewnętrznych
przyłożonych do punktów
powierzchni ΔA

Naprężeniem w punkcie o wektorze
wodzącym
na powierzchni przekroju o normalnej
nazywamy wektor

Kierunek wektora naprężenia jest dowolny w odniesieniu do

płaszczyzny na której występuje. Można go rozłożyć na dwie

składowe których kierunki są normalne i styczne do przekroju .

Stan naprężenia w punkcie to nieskończony zbiór wektorów

naprężeń przyporządkowanych wszystkim płaszczyznom przecięcia

bryły, przechodzące przez ten punkt.

Rozróżniamy trzy rodzaje stanów naprężenia:



JEDNOOSIOWY

–

występuje gdy wektory naprężeń przyporządkowane

dowolnym płaszczyznom cięcia bryły w danym punkcie mają ten sam
kierunek



PŁASKI

– występuje gdy wektory naprężeń przyporządkowane dowolnym

płaszczyznom cięcia bryły w danym punkcie leżą w jednej płaszczyźnie



PRZESTRZENNY

– występuje gdy wektory naprężeń

przyporządkowane dowolnym płaszczyzną cięcia bryły w danym punkcie są
w ogólności różne (mają różne długości, kierunki i zwroty)

Każdy z tych charakterystycznych stanów naprężenia w punkcie, w całej bryle

może być JEDNORODNY(nie zależy od wyboru punktu )lub NIEJEDNORODNY.

Dokonajmy przekroju rozważanej bryły w dowolnie wybranym punkcie C

trzema płaszczyznami prostopadłymi do osi układu (X, Y, Z). Wektory
naprężeń przyporządkowane tym płaszczyznom cięcia oznaczymy,
odpowiednio

Każdy z tych wektorów naprężeń można rozłożyć na trzy

składowe równoległe do osi układu. Jedna z tych składowych

będzie normalna do płaszczyzny przecięcia a dwie pozostałe

będą do niej styczne.

Współrzędne wektorów naprężeń oznacza się podobnie jak ich

składowe i zapisuje się je w formie macierzy T

σ

Macierz naprężeń w punkcie to uporządkowany zbiór współrzędnych

trzech wektorów naprężeń na płaszczyznach prostopadłych do osi

układu współrzędnych.



wiersze przedstawiają kolejne współrzędne, kolejnych wektorów

naprężeń;



na przekątnej macierzy znajdują się naprężenia normalne ;



poza przekątną znajdują się naprężenia styczne;

Zatem np.

σ

z

to naprężenie normalne na płaszczyźnie prostopadłej do osi

Z, a τ

yx

to naprężenie styczne na płaszczyźnie prostopadłej do osi Y i równoległej
do osi X.

Za dodatnie, w macierzy naprężeń, uważamy

współrzędne takich składowych, które mają:



zwrot zgodny ze zwrotem osi do której są równoległe



i zwrot normalnej zewnętrznej płaszczyzny na której one
występują także zgodny ze zwrotem osi układu do której ta
normalna jest równoległa



lub jeśli zarówno składowa jak i normalna mają zwroty przeciwne
do odpowiednich osi, do których są równoległe

Jest to tzw.

REGUŁA PODWÓJNEJ ZGODNOŚCI.

W każdym innym

przypadku współrzędna jest ujemna. Zgodnie z przyjętą umową

naprężenie jest dodatnie jeśli jest rozciąganie, a ujemne jeśli jest

ściskające.

Do przedstawienia graficznego obrazu macierzy naprężeń wybieramy:



obciążone



pozostające w równowadze ciało



i dowolny materialny punkt (C) tego ciała

Z założenia o równowadze rozważanej bryły wynika równowaga sił

wewnętrznych działających na punkt C.

Rozpisując warunki równowagi sił otrzymamy zależności:

Równania różniczkowe noszą
nazwę równań równowagi
wewnętrznej lub równań
Naviera.

Warunki równowagi sił działających na wycięty czworościan dają równania:

Równania dowodzą że macierz naprężeń w danym punkcie

określa w nim stan naprężenia gdyż znajomość jej

elementów pozwala na wyznaczenie współrzędnych

wektora naprężenia na dowolnej płaszczyźnie

przechodzącej przez ten punkt.

Równania pokazują, że w wyniku mnożenia naprężeń T

σ

przez wektor

otrzymujemy wektor naprężenia



Można powiedzieć że, macierz naprężeń w punkcie jest wielkością, która

dowolnemu kierunkowi - normalna do płaszczyzny przecięcia bryły w

tym punkcie, przyporządkowuje wektor - wektor naprężenia na tej

płaszczyźnie.



Stanowi to dowód na to, że macierz naprężeń jest

tensorem drugiego

rzędu

co oznacza, że jej elementy transformują się przy zmianie układu

odniesienia w pewien ściśle określony sposób zwany

prawem

transformacji tensora

.

Z rozważanej bryły w
równowadze wytnijmy
przy brzegu
czworościan którego
trzy ściany będą
równoległe do
płaszczyzny układu
odniesienia a czwarta
będzie zawierała
element powierzchni
zewnętrznej ΔS o
wersorze normalnym
zewnętrznym (l, m,
n)

Analizując warunki równowagi tak wyciętego
czworościanu otrzymujemy zależności wiążące
współrzędne obciążenia bryły
w rozważanym punkcie brzegowym ze
współrzędnymi macierzy naprężeń w tym
punkcie

Równania te noszą nazwę

statycznych warunków brzegowych

i są

niezbędne przy rozwiązywaniu równań różniczkowych Naviera.

Statyczne warunki brzegowe choć bardzo podobne do równań wektora
naprężenia, merytorycznie różnią się zasadniczo. Przede wszystkim lewe
strony statycznych warunków brzegowych są znane w przeciwieństwie
do równań wektora naprężenia w których lewe strony to poszukiwane
współrzędne naprężenia .

Stan odkształcenia w punkcie to nieskończony zbiór odkształceń

liniowych i kątowych wszystkich włókien przechodzących przez

ten punkt. Można wyróżnić trzy rodzaje stanu odkształcenia:

jednoosiowy, płaski i przestrzenny

.

Odkształceniem liniowym w
punkcie A w kierunku punktu
B nazywa się :

•Odkształceniem liniowym w punkcie
w wybranym kierunku nazywamy
względny przyrost długości włókna w
tym punkcie na skutek przyłożonych
obciążeń.

•Odkształcenie liniowe, które
odpowiada wydłużeniu włókna
uważamy za dodatnie.

•Odkształcenia liniowe nazywane też
są odkształceniami podłużnymi

Jeżeli rozważymy dwa prostopadłe włókna przechodzące przez

wspólny punkt O w konfiguracji początkowej to ich

odkształcenie kątowe definiuje się jako:

•Odkształceniem kątowym nazywamy kąt o jaki zmieni się w wyniku
przyłożonych obciążeń kąt prosty między dwoma włóknami
przechodzącymi w konfiguracji początkowej przez wspólny punkt.

•Odkształcenie kątowe któremu odpowiada zmniejszenie się kąta
prostego uważa się za dodatnie

•Odkształcenia kątowe nazywane są także odkształceniami
postaciowymi

Macierz odkształceń w punkcie to uporządkowany zbiór

odkształceń liniowych i kątowych trzech włókien

przechodzących przez ten punkt i równoległych do osi

układu odniesienia.

Macierz uporządkowana jest w ten

sposób, że na przekątnej

występują odkształcenia liniowe, a

poza przekątną połówki

odkształceń kątowych.

Np. e

z

to odkształcenie liniowe włókna

równoległego do osi Z, a γ

xy

to

odkształcenie kątowe włókien równoległych

do osi X i Y

Z definicji elementów macierzy odkształceń wynika jej symetria:

Można go przedstawić w postaci deformacji przechodzących przez

ten punkt trzech wzajemnie do siebie prostopadłych włókien o

dowolnie małych długościach dx=dy=dz=1, które są równoległe

do osi układu współrzędnych.

Macierz odkształceń jest tensorem drugiego rzędu co oznacza, że jej

elementy transformują się przy zmianie układu odniesienia w pewien

ściśle określony sposób zwany prawem transformacji tensora, oraz, że w

wyniku mnożenia jej przez jednostkowy wersor (l, m, n) otrzymamy

pewien wektor , który możemy nazywać wektorem

odkształcenia określony zależnościami

Znajomość macierzy odkształceń w dowolnym
punkcie O wystarcza do określenia odkształceń
liniowych i kątowych dowolnych włókien
przechodzących przez ten punkt, bo własności
tensora pozwalają napisać zależności:

Korzystając z analogii wzorów w płaskim stanie naprężenia oraz w płaskim

stanie odkształcenia

można stwierdzić że

odkształcenia główne w danym punkcie to

ekstremalne wartości odkształceń liniowych w nim występujących.
Są to odkształcenia liniowe dwóch do siebie prostopadłych włókien
których odkształcenia kątowe są równe zero.

Wartości odkształceń głównych i ich

kierunki:

Ekstremalne odkształcenia kątowe wynoszą:

Włókna których odkształcenia kątowe są ekstremalne połowią kąty miedzy
włóknami odkształceń głównych.
Koła Mohra dla stanu odkształcenia są analogiczne jak dla stanu naprężenia.



W definicji odkształceń występuje punkt i określone co do
kierunku włókno przez niego przechodzące



W definicji naprężenia występuje punkt i płaszczyzna o określonej
normalnej przechodzącej przez ten punkt

Nie wszystkie cechy obu tych stanów mogą być identycznie

interpretowane i traktowane

Prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od

naprężenia. Mówi ono, że odkształcenie ciała pod

wpływem działającej na niego siły jest wprost

proporcjonalna do tej siły.

Prawo Hooke'a zakłada też, że odkształcenia ciała, w reakcji

na działanie sił, następują w sposób natychmiastowy i

całkowicie znikają, gdy przyłożone siły przestają działać.

Takie uproszczenie jest wystarczające jedynie dla ciał o

pomijalnie małej lepkości.

Współczynnik między siłą a odkształceniem jest często

nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości.