Katarzyna Bernaciak

Rozważamy dowolny przekrój bryły płaszczyzną  o wersorze 

normalnym  przechodzącą przez dowolny pkt. C o 
wektorze wodzącym   . Do każdego punktu płaszczyzny 
przekroju przyłożona jest siła wewnętrzna.  

    - suma sił wewnętrznych 
przyłożonych do punktów 
powierzchni ΔA

Naprężeniem w punkcie o wektorze 
wodzącym  
na powierzchni przekroju o normalnej 
nazywamy wektor

Kierunek wektora naprężenia jest dowolny w odniesieniu do 

płaszczyzny na której występuje. Można go rozłożyć na dwie 

składowe których kierunki są normalne i styczne do przekroju .

Stan naprężenia w punkcie to nieskończony zbiór wektorów 

naprężeń przyporządkowanych wszystkim płaszczyznom przecięcia 

bryły, przechodzące przez ten punkt.

Rozróżniamy trzy rodzaje stanów naprężenia:



JEDNOOSIOWY

 – 

występuje gdy wektory naprężeń przyporządkowane 

dowolnym płaszczyznom cięcia bryły w danym punkcie mają ten sam 
kierunek  



PŁASKI 

– występuje gdy wektory naprężeń przyporządkowane dowolnym 

płaszczyznom cięcia bryły w danym punkcie leżą w jednej płaszczyźnie



PRZESTRZENNY

 – występuje gdy wektory naprężeń 

przyporządkowane dowolnym płaszczyzną cięcia bryły w danym punkcie są 
w ogólności różne (mają różne długości, kierunki i zwroty)

Każdy z tych charakterystycznych stanów naprężenia w punkcie, w całej bryle 

może być JEDNORODNY(nie zależy od wyboru punktu )lub NIEJEDNORODNY.

Dokonajmy przekroju rozważanej bryły w dowolnie wybranym punkcie C 

trzema płaszczyznami prostopadłymi do osi układu (X, Y, Z). Wektory 
naprężeń przyporządkowane tym płaszczyznom cięcia oznaczymy, 
odpowiednio 

Każdy z tych wektorów naprężeń można rozłożyć na trzy 

składowe równoległe do osi układu. Jedna z tych składowych 

będzie normalna do płaszczyzny przecięcia a dwie pozostałe  

będą do niej styczne.

Współrzędne wektorów naprężeń                  oznacza się podobnie jak ich 

składowe  i  zapisuje się  je w formie macierzy T

σ

 

Macierz naprężeń w punkcie to uporządkowany zbiór współrzędnych 

trzech wektorów naprężeń na płaszczyznach prostopadłych do osi 

układu współrzędnych.



 wiersze przedstawiają kolejne współrzędne, kolejnych wektorów 

naprężeń;



na przekątnej macierzy znajdują się naprężenia normalne ;



poza przekątną znajdują się naprężenia styczne;

Zatem np. 

 

σ

z  

 to naprężenie normalne na płaszczyźnie prostopadłej do osi 

Z, a  τ

yx

   to naprężenie styczne na płaszczyźnie prostopadłej do osi Y i równoległej 
do osi X.

   

 

Za dodatnie, w macierzy naprężeń, uważamy 

współrzędne takich składowych, które mają:



zwrot zgodny ze zwrotem osi do której są równoległe



i zwrot normalnej zewnętrznej płaszczyzny na której one 
występują także zgodny ze zwrotem osi układu do której ta 
normalna jest równoległa



lub jeśli zarówno składowa jak i normalna mają zwroty przeciwne 
do odpowiednich osi, do których są równoległe

Jest to tzw. 

REGUŁA PODWÓJNEJ ZGODNOŚCI. 

W każdym innym 

przypadku współrzędna jest ujemna. Zgodnie z przyjętą umową 

naprężenie jest dodatnie jeśli jest rozciąganie, a ujemne jeśli jest 

ściskające.

Do przedstawienia graficznego obrazu macierzy naprężeń wybieramy:



 obciążone



 pozostające w równowadze ciało



i dowolny materialny punkt (C) tego ciała

Z założenia o równowadze rozważanej bryły wynika równowaga sił 

wewnętrznych działających na punkt C.

Rozpisując warunki równowagi sił otrzymamy zależności:

Równania różniczkowe noszą 
nazwę równań równowagi 
wewnętrznej lub równań 
Naviera.

Warunki równowagi sił działających na wycięty czworościan dają równania:

Równania dowodzą że macierz naprężeń w danym punkcie 

określa w nim stan naprężenia gdyż znajomość jej 

elementów pozwala na wyznaczenie współrzędnych 

wektora naprężenia na dowolnej płaszczyźnie 

przechodzącej przez ten punkt.

Równania pokazują, że w wyniku mnożenia naprężeń T

σ 

  

przez wektor 

otrzymujemy wektor naprężenia 



Można  powiedzieć że, macierz naprężeń w punkcie jest wielkością, która 

dowolnemu kierunkowi     - normalna do płaszczyzny przecięcia bryły w 

tym punkcie, przyporządkowuje wektor      -  wektor naprężenia na tej 

płaszczyźnie.



Stanowi to dowód na to, że macierz naprężeń jest 

tensorem drugiego 

rzędu 

co oznacza, że jej elementy transformują się przy zmianie układu 

odniesienia w pewien ściśle określony sposób zwany 

prawem 

transformacji tensora

.

Z rozważanej bryły w 
równowadze wytnijmy 
przy brzegu 
czworościan którego 
trzy ściany będą 
równoległe do 
płaszczyzny układu 
odniesienia a czwarta 
będzie zawierała 
element powierzchni 
zewnętrznej ΔS o 
wersorze normalnym 
zewnętrznym      (l, m, 
n)

Analizując warunki równowagi tak wyciętego 
czworościanu otrzymujemy zależności wiążące 
współrzędne obciążenia bryły 
w rozważanym punkcie brzegowym ze 
współrzędnymi  macierzy naprężeń w tym 
punkcie

Równania te noszą nazwę 

statycznych warunków brzegowych

 i są 

niezbędne przy rozwiązywaniu równań różniczkowych Naviera.

Statyczne warunki brzegowe choć bardzo podobne do równań wektora 
naprężenia, merytorycznie różnią się zasadniczo. Przede wszystkim lewe 
strony statycznych warunków brzegowych są znane w przeciwieństwie 
do równań wektora naprężenia w których lewe strony to poszukiwane 
współrzędne naprężenia . 

Stan odkształcenia w punkcie to nieskończony zbiór odkształceń 

liniowych i kątowych wszystkich włókien przechodzących przez 

ten punkt. Można wyróżnić trzy rodzaje stanu odkształcenia: 

jednoosiowy, płaski i przestrzenny

.

Odkształceniem liniowym w 
punkcie A w kierunku punktu 
B nazywa się :

•Odkształceniem liniowym w punkcie 
w wybranym kierunku nazywamy 
względny przyrost długości włókna w 
tym punkcie  na skutek przyłożonych 
obciążeń.

•Odkształcenie liniowe, które 
odpowiada wydłużeniu włókna 
uważamy za dodatnie.

•Odkształcenia liniowe nazywane też 
są odkształceniami podłużnymi

Jeżeli rozważymy dwa prostopadłe włókna przechodzące przez 

wspólny punkt O w konfiguracji początkowej to ich 

odkształcenie kątowe definiuje się jako:

•Odkształceniem kątowym nazywamy kąt o jaki zmieni się w wyniku 
przyłożonych obciążeń kąt prosty między dwoma włóknami 
przechodzącymi w konfiguracji początkowej przez wspólny punkt.

•Odkształcenie kątowe któremu odpowiada zmniejszenie się kąta 
prostego uważa się za dodatnie

•Odkształcenia kątowe nazywane są także odkształceniami 
postaciowymi 

Macierz odkształceń w punkcie to uporządkowany zbiór 

odkształceń liniowych i kątowych trzech włókien 

przechodzących przez ten punkt i równoległych do osi 

układu odniesienia.

Macierz uporządkowana jest w ten 

sposób, że na przekątnej 

występują odkształcenia liniowe, a 

poza przekątną połówki 

odkształceń kątowych.

Np. e

z

 to odkształcenie liniowe włókna 

równoległego do osi Z, a γ

xy

 to 

odkształcenie kątowe włókien równoległych 

do osi X i Y               

Z definicji elementów macierzy odkształceń wynika jej symetria:

Można go przedstawić w postaci deformacji przechodzących przez 

ten punkt trzech wzajemnie do siebie prostopadłych włókien o 

dowolnie małych długościach dx=dy=dz=1, które są równoległe 

do osi układu współrzędnych.

Macierz odkształceń jest tensorem drugiego rzędu co oznacza, że jej 

elementy transformują się przy zmianie układu odniesienia w pewien 

ściśle określony sposób zwany prawem transformacji tensora, oraz, że w 

wyniku mnożenia jej przez jednostkowy wersor     (l, m, n) otrzymamy 

pewien wektor                            , który możemy nazywać wektorem 

odkształcenia  określony zależnościami

Znajomość macierzy odkształceń w dowolnym 
punkcie O wystarcza do określenia odkształceń 
liniowych i kątowych dowolnych włókien 
przechodzących przez ten punkt, bo własności 
tensora pozwalają napisać zależności:

Korzystając z analogii wzorów w płaskim stanie naprężenia oraz w płaskim 

stanie odkształcenia

można stwierdzić że 

odkształcenia główne w danym punkcie to 

ekstremalne wartości odkształceń liniowych w nim występujących. 
Są to odkształcenia liniowe dwóch do siebie prostopadłych włókien 
których odkształcenia kątowe są równe zero.

                              

Wartości odkształceń głównych i ich 

kierunki:

Ekstremalne odkształcenia kątowe wynoszą:

Włókna których odkształcenia kątowe  są ekstremalne połowią kąty miedzy 
włóknami odkształceń głównych.
Koła Mohra dla stanu odkształcenia są analogiczne jak dla stanu naprężenia.



W  definicji odkształceń występuje punkt i określone co do 
kierunku włókno przez niego przechodzące 



W definicji naprężenia występuje punkt i płaszczyzna o określonej 
normalnej przechodzącej przez ten punkt 

Nie  wszystkie cechy obu tych stanów mogą być identycznie 

interpretowane i traktowane

Prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od 

naprężenia. Mówi ono, że odkształcenie ciała pod 

wpływem działającej na niego siły jest wprost 

proporcjonalna do tej siły.

Prawo Hooke'a zakłada też, że odkształcenia ciała, w reakcji 

na działanie sił, następują w sposób natychmiastowy i 

całkowicie znikają, gdy przyłożone siły przestają działać. 

Takie uproszczenie jest wystarczające jedynie dla ciał o 

pomijalnie małej lepkości.

Współczynnik między siłą a odkształceniem jest często 

nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości.