WYKŁAD 6:

SYNTEZA STEROWNIKÓW:

METODA CHARAKTERYSTYK CZĘSTOTLIWOŚCIOWYCH

1 Układ zamknięty

Strukturalny schemat układu sterowania

Transmitancja otwartego układu sterowania:
.

Pulsacja odcięcia
amplitudowej charakterystyki transmitancji
:

.

Pulsacja odcięcia
fazowej charakterystyki transmitancji
:

.

Zapasy stabilności:

zapas wzmocnienia:

,

zapas fazy:

( w praktyce wymaga się
).

Przykład 1 (sterownik proporcjonalny: zapas fazy)

Dany jest układ sterowania z jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym złożony z obiektu o operatorowej transmitancji

oraz proporcjonalnego sterownika o transmitancji
. Wyznacz wzmocnienie
tego sterownika, zapewniające zamkniętemu układowi zapas fazy
. Oszacuj wskaźnik oscylacyjności
, pulsację rezonansową
oraz pasmo przenoszenia
zaprojektowanego układu.

Rozwiązanie

Zgodnie z definicją zapasu fazy, pulsacja odcięcia
amplitudowej charakterystyki transmi-tancji
układu otwartego spełnia równanie
. Dla rozważanego obiektu mamy:
. Wynika stąd, iż pulsację odcięcia
wyznaczyć zatem można z następującego równania kwadratowego:
. Na tej podstawie otrzymujemy
. Ponieważ dla pulsacji
zachodzi
, zatem poszukiwana wartość wzmocnienia proporcjonalnego sterownika dana jest wzorem
. Po podstawieniu
otrzymujemy
. Częstotliwościowe wskaźniki rozważanego układu sterowania oszacowano, korzystając z programu CC; wynoszą one odpowiednio:
,
oraz
.

Przykład 2 (sterownik proporcjonalny: zapas wzmocnienia)

Układ sterowania z jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym złożony jest z obiektu o operatorowej transmitancji

oraz proporcjonalnego sterownika opisanego transmitancją
. Wyznacz parametr
tego sterownika, przy którym zamknięty układ charakteryzuje się zapasem wzmocnienia
. Oszacuj zapas fazy
oraz pasmo przenoszenia
tego układu.

Rozwiązanie

Zgodnie z definicją zapasu wzmocnienia
, pulsacja odcięcia
fazowej charakterystyki transmitancji
układu otwartego spełnia równanie
. W rozważanym przypadku mamy
, co prowadzi do równania
. Rozwiązaniem tego równania jest
. Wymaganie dotyczące zapasu modułu zapisujemy w postaci równania
, z którego uzyskujemy następujący wzór na wzmocnienie sterownika:
. Po podstawieniu
, otrzymujemy
. Zapas fazy tak uzyskanego układu sterowania odczytać można z częstotliwościowych charakterystyk układu otwartego (rys. a,b).

Charakterystyki częstotliwościowe transmitancji układu sterowania: a,b - układ otwarty, c - układ zamknięty

Zapas ten wynosi
, przy pulsacji odcięcia amplitudowej charakterystyki transmitancji
otwartego układu sterowania równej
. Z kolei wartość pulsacji
odczytujemy z amplitudowej charakterystyki
zamkniętego układu sterowania (rys. c). Dokładniejsze wartości powyższych wskaźników uzyskać można, korzystając z instrukcji margin oraz point programu CC - co prowadzi do oszacowań
oraz
.

Przykład 3 (sterownik proporcjonalny)

W tabeli dana jest częstotliwościowa charakterystyka sterowanego obiektu. Przyjmując, iż obiekt ten sterowany jest przy pomocy proporcjonalnego sterownika w zamkniętym układzie z jednostkowym ujemnym sprzężeniem, dobierz wzmocnienie
tego sterownika, zapewniające układowi zamkniętemu zapas wzmocnienia
oraz zapas fazy
.

[ ]
1.193	2.6407	-100
1.404	2.2441	-110
1.642	1.8872	-120
2.209	1.2988	-140
2.919	0.8691	-160
3.788	0.5729	-180
4.823	0.3780	-200
7.332	0.1753	-240
9.492	0.1071	-270

Częstotliwościowe charakterystyki transmitancji

Rozwiązanie

Zakładając spełnienie warunku dotyczącego zapasu fazy, otrzymujemy następującą wartość wzmocnienia proporcjonalnego sterownika:
. Zachodzi bowiem (zob. tabela):
. Wzmocnieniu
odpowiada zapas wzmocnienia
. Z tabeli tej wynika bowiem, iż
. Jak widać, układ z proporcjonalnym sterownikiem o wzmocnieniu
nie spełnia stawianych wymagań. Rozważmy z kolei warunek, dotyczący zapasu wzmocnienia. Na podstawie danych z tabeli, otrzymujemy wzmocnienie
o wartości
. Aby określić zapas fazy
odpowiadający wzmocnieniu
, należy wyznaczyć pulsację odcięcia
amplitudowej charakterystyki transmitancji
układu otwartego. Dla pulsacji tej zachodzi
. Z podanej tabeli odczytujemy, iż
, czemu odpowiada zapas fazy
. Proporcjonalny sterownik o wzmocnieniu
spełnia zatem warunki zadania.

Przykład 4 (sterownik I)

Wyznacz wartość stałej całkowania
sterownika typu I, który zastosowany w układzie z jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym do sterowania obiektem o operatorowej transmitancji

zapewni temu układowi zapas wzmocnienia
.

Rozwiązanie

Transmitancja sterownika typu I określona jest wzorem
. Niech
oznacza pulsację odcięcia fazowej charakterystyki transmitancji otwartego układu sterowania:
. Z równania
wynika, iż
. Z kolei, na podstawie warunku
uzyskujemy następujący wzór na stałą całkowania:
. Stała ta wynosi zatem
. Pulsację odcięcia
amplitudowej charakterystyki transmitancji otwartego układu sterowania otrzymujemy z równania
. Korzystając z programu CC, wyznaczono pulsację
, co pozwoliło na oszacowanie zapasu fazy:
(
).

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1

Wyznacz wzmocnienie
proporcjonalnego sterownika, który zastosowany do sterowania obiektem o transmitancji
w układzie z ujemnym jednostkowym sprzężeniem zwrotnym, zapewnia zapas fazy
. Oszacuj wskaźnik oscylacyjności
, rezonansową pulsację
oraz zapas wzmocnienia
uzyskanego układu sterowania.

Odpowiedź

Wzmocnienie sterownika wynosi
, gdzie
oznacza pulsację odcięcia amplitudowej charakterystyki transmitancji układu otwartego. Układ zamknięty charakteryzują wskaźniki:
,
oraz
.

Zadanie 2

Układ sterowania składa się z dynamicznego obiektu o operatorowej transmitancji
oraz proporcjonalnego sterownika o wzmocnieniu
. Wyniki pomiarów częstotliwościowych charakterystyk tego obiektu przedstawiono w poniższej tabeli. Wyznacz wzmocnienie sterownika, zapewniające zamkniętemu układowi sterowania z jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym zapas fazy
. Ile wynosi zapas wzmocnienia tak zaprojektowanego układu?

[ ]
0.6235	4.1448	-100
0.9385	2.5480	-120
1.4006	1.4313	-140
2.1030	0.7190	-160
3.2115	0.3170	-180
5.0035	0.1209	-200

Częstotliwościowe charakterystyki transmitancji

Odpowiedź

Wzmocnienie proporcjonalnego sterownika równa się
, czemu odpowiada zapas wzmocnienia
.

Zadanie 3

Dla jakiej wartości wzmocnienia
proporcjonalnego sterownika, zastosowanego w układzie sterowania obiektem opisanym operatorową transmitancją
, układ ten charakteryzuje się wskaźnikiem oscylacyjności
? Założono jednostkowe ujemne sprzężenie zwrotne. Oszacuj zapas wzmocnienia oraz zapas fazy układu sterowania.

Odpowiedź

Wzmocnienie sterownika wynosi
, gdzie
jest pulsacją odcięcia amplitudowej charakterystyki transmitancji otwartego układu sterowania. Zapas wzmocnienia równa się
przy pulsacji odcięcia fazowej charakterystyki transmitancji otwartego układu sterowania
. Zapas fazy wynosi
.

Zadanie 4

Układ sterowania z jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym składa się z obiektu o transmitancji
oraz całkującego sterownika o transmitancji
. Wyniki pomiarów częstotliwościowych charakterystyk sterowanego obiektu przedstawiono w poniższej tabeli. Określ taką wartość stałej całkowania
sterownika, która zapewni układowi zapas fazy
. Jaki jest zapas wzmocnienia
tak zaprojektowanego układu sterowania?

[ ]
0.3080	7.9177	-10
1.3375	6.7624	-40
4.3685	3.3044	-90
8.0570	1.6656	-120
14.449	0.6970	-150
26.240	0.2280	-180
39.977	0.0909	-200

Częstotliwościowe charakterystyki transmitancji sterowanego obiektu

Odpowiedź

Stała całkowania wynosi
, czemu odpowiada zapas wzmocnienia
.

Zadanie 5

Transmitancyjny model sterowanego obiektu ma postać
. Wyznacz wzmocnienie sterownika proporcjonalnego, przy którym zamknięty układ sterowania z jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym posiada zapas wzmocnienia
. Oszacuj zapas fazy
oraz wskaźnik oscylacyjności
tak zaprojektowanego układu sterowania.

Odpowiedź

Wzmocnienie dane jest wzorem
, przy czym
oznacza pulsację odcięcia fazowej charakterystyki transmitancji otwartego układu sterowania. Warunki zadania spełnia sterownik o wzmocnieniu
, któremu odpowiada zapas fazy
przy pulsacji odcięcia amplitudowej charakterystyki transmitancji układu otwartego
oraz wskaźnik oscylacyjności
.

Zadanie 6

Transmitancja otwartego układu sterowania ma postać
, gdzie
,
oraz
. Wyznacz wartość wzmocnienia
, przy którym zamknięty układ sterowania z jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym posiada zapas fazy równy
. Oszacuj zapas wzmocnienia
tego układu.

Odpowiedź

Wzmocnienie otwartego układu sterowania wynosi
, co odpowiada pulsacji odcięcia amplitudowej charakterystyki transmitancji układu otwartego równej
. Układ zamknięty posiada zapas wzmocnienia
przy pulsacji odcięcia fazowej charakterystyki transmitancji układu otwartego
.

Zadanie 7

Sterowany obiekt opisany jest operatorową transmitancją
. Częstotliwościowe charakterystyki odpowiadające tej transmitancji przedstawiono w poniższej tabeli. Określ wartość stałej całkowania
sterownika o operatorowej transmitancji
, który użyty do sterowania tym obiektem zapewni zamkniętemu układowi z jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym zapas wzmocnienia
. Oszacuj zapas fazy
uzyskanego układu sterowania.

[ ]
0.2213	0.80266	-45
0.6415	0.40626	-90
1.4045	0.16945	-13
3.1780	0.04248	-180
6.6260	0.00725	-220

Częstotliwościowe charakterystyki transmitancji sterowanego obiektu

Odpowiedź

Stała całkowania wynosi
. Ponieważ zachodzi
, zatem jako oszacowanie pulsacji odcięcia
amplitudowej charakterystyki transmitancji układu otwartego przyjąć można
. Wynika stąd, iż układ ten powinien charakteryzować się zapasem fazy
. Dokładna wartość zapasu fazy wynosi
, przy pulsacji odcięcia
.

Zadanie 8

Dynamiczny obiekt opisany operatorową transmitancją
, sterowany jest w układzie zamkniętym z jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym przy pomocy całkującego sterownika o operatorowej transmitancji
. Wyznacz taką wartość stałej całkowania
sterownika, aby zapas wzmocnienia układu zamkniętego wynosił
. Oszacuj zapas fazy uzyskanego układu sterowania.

Odpowiedź

Stałą całkowania sterownika oblicza się ze wzoru
, w którym
oznacza pulsację odcięcia fazowej charakterystyki transmitancji otwartego układu sterowania. Wynika stąd, iż
. Zapas fazy tak zaprojektowanego układu wynosi
przy pulsacji odcięcia amplitudowej charakterystyki transmitancji układu otwartego
.

1

---