11

103

Zadania

czyli ostatecznie

/-(sinx)'*

/Insi

Vcos*

sinx \ —,—+1 )•

>s x /

Zadanie 6.22. Obliczyć pochodną funkcji y-sinfjc***) w przedziale 0<x<irc. Rozwiązanie. Podstawiając z - x'* * otrzymujemy funkcję złożoną, określoną wzorami:

y-sinz, gdzie z-x'*^v.

Mamy dyl<h=cos z. Aby znaleźć pochodną dz/dx. wykonujemy podobne przekształcenie jak w zadaniu poprzednim:

2 — X^<f '— ć^t*^xt,x

Mamy więc

4-=^“^lłir    1, czyli

dx    L^x    cos* xj

_    , dy dy dz

Stosując wzór ----— —- otrzymujemy

dx dz dx

y=_Co_S(,-₎x«<rsi₊ 1.

L X COS*Xj

Zadanie 6.23. Obliczyć, jaki kąt z osią Ox tworzy styczna do paraboli

y=x*-3x + S

w punkcie x = 1.

Rozwiązanie. Jeżeli a oznacza kąt między osią x i styczną do krzywejy-f(x) w punkcie x = x_0> to, jak wiemy z geometrycznej interpretacji pochodnej, zachodzi związek tg a =/'(x₀), gdzie f\x₀) oznacza wartość pochodnej y w danym punkcie x - x_u.

Obliczamy pochodną y'-f‘(x)-2x—3. W punkcie x- 1 pochodna ta przybiera wartość/'(I)--1- Po uwzględnieniu równości tga=/'(x₀) otrzymujemy

tga--1, skąd «-135° (a-i*).

Zadanie 6.24. Obliczyć, w jakim punkcie styczna do linii

y = x³-3x³-9x-i-2

jest równoległa do osi Ox.

Rozwiązanie. Styczna będzie równoległa do osi Ox. jeżeli będzie spełniony warunek

y' = tga=0.

Obliczając pochodną i przyrównując ją do zera otrzymujemy

3*³-6x 9-0.

Rozwiązując to równanie otrzymujemy x. = - I, x. = 3, a więc w dwóch punktach (-1, 7) i (3, -25) styczna do danej linii jest równoległa do osi Ox.