badania1

20 1. Wybrane zagadnienia programowania liniowego

pozostają bez zmian, a zmieniają się jedynie wartości wyrazów wolnych. -W zależności od sytuacji (F —>max bądź F—»min) wartości wyrazu wolnego należy zwiększać lub zmniejszać. Punktem najdalej wysuniętym na odcinku OA w sensie równoległego przesunięcia jest zatem punkt A. Współrzędne¹ tego punktu x* = 3000 oraz ** = 2000 są optymalnym rozwiązaniem zadania. Wartość przychodu ze sprzedaży przy uwzględnieniu optymalnego asortymentu wyniesie więc jcf) = 170000 zł.

Przykład 2. Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby W₍ i W₂. W procesie produkcji tych wyrobów zużywa się wiele środków, spośród których dwa są limitowane. Limity te wynoszą: środek I — 36000 jedn., środek II — 50000 jedn. Nakłady limitowanych środków na jednostkę produkcji podano w tabl. 2.

Tablica 2

Środki	Jednostkowe nakłady
produkcji	W,	w2
I	6	6
11	10	5

Należy także uwzględnić, że zdolność produkcyjna jednego z agregatów nie pozwala wyprodukować więcej niż 4000 szt. wyrobu W₂ . Nie ma natomiast żadnych dodatkowych ograniczeń w stosunku do wyrobu W,.

Określić optymalne rozmiary produkcji przy założeniu, że zysk realizowany na obu wyrobach jest jednakowy. Przy rozwiązywaniu zastosować metodę geometryczną.

Rozwiązanie. Przystępując do budowy modelu, przyjmujemy oznaczenia: *2 — wielkość produkcji wyrobów Wj, x₂ — wielkość produkcji wyrobów W₂. Pierwsze dwa ograniczenia dotyczą limitów na środki produkcji I i II:

(1)    6*2 + 6*2^ 36000,

(2)    10*, + 5*₂«50000.

Warunek brzegowy dla zmiennej *, ma postać

(3)    *,2*0.

Warunek brzegowy dla zmiennej *₂ ze względu na ograniczenie od góry ma postać

(4)    0«*₂^4000.

Kryterium optymalności tego zadania stanowi wielkość łącznego zysku osiągniętego ze sprzedaży wyrobów Wj i W₂. Ponieważ zysk jednostkowy na obu wyrobach jest jednakowy, przeto i parametry w funkcji celu powinny być jednakowe, a najprościej można przyjąć, że są równe jedności. Zatem funkcja celu jest następująca:

(5)    F(x_u x₂) = x_l+x₂—> max,

a cały model ma postać:

(1)    ó*,+ 6x₂=£;36 000,

(2)    IOjc, +5^50 000,

(3)    *i»0,

(4)    0 *£ x₂ ^ 4000,

(5)    F(x_u x₂) = x_t +.v₂ —» max.

Również rozwiązanie tego zadania, jeżeli rozwiązanie to istnieje, ze względu na warunki (3) i (4), musi się znaleźć w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Podobnie jak w przykładzie 1 poszczególne relacje ponumerowano (rys. 3).

Zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest obecnie wielobokiem (obszar zacienio-wany). Przesuwając równolegle izolinię CD, stwierdzamy, iż jej najdalsze możliwe przesunięcie pokryje się z odcinkiem AB. A zatem w tym przypadku mamy nieskończenie wiele rozwiązań optymalnych (rozwiązania te stanowią współrzędne wszystkich punktów odcinka AB). W szczególności rozwiązania optymalne stanowią współrzędne punktów A i B, czyli x* = 2000 szt. i x* = 4000 szt. lub xf = 4000

1

W punkcie tym przecinają się proste (1) i (3) (por. rys. 1), zatem aby wyznaczyć jego współrzędne, należy rozwiązać układ tych dwu równań: (1) i (3).