img085

(zobacz określenie wielomianu dokładnie tak samo Jak wyżej.

P_ na eteonie

HI

) 1 rozumować niemal

Formy kwadratowe

Definicje 7.3. Formę kwadratowe n zmiennych rzeczywistych h₁,.*.,h_n generowane przez symetrycznę macierz A    nazywamy funkcję

Q:Rⁿ —* R okrsślonę wzorem

n

Q(h) •    ^aiJ^hl^hj    (7.11)

l.J-1

Zauważmy, że jeśli wektor h - (h.....h ) traktujemy Jako macierz

T ^{1    n}

o wymiarach l x n, to Q(h) w hAh .

Definicja 7,A. Mówimy, że forma kwadratowa Q Jest dodatnio (ujemnie) określona lub krócej, że Jest ona dodatnia (ujemna). Jeśli dla każdego niezerowego wektora h£Rⁿ spełniona Jest nierówność Q(h) > 0 (Q{h)< 0).

Formę kwadratowa Q nazywamy formę nleujemnę (niedodatnlę), Jeśli Q(h) >0 (Q(h)4 0) dla każdego wektora h£Rⁿ.

Wyżej wspomniane własności form kwadratowych będziemy oznaczać odpowiednio nierównościami

Q(h) > 0, Q(h) < 0. Q(h) > 0, Q(h) 4 0

Oośli forma kwadratowa Q dla pewnych wektorów przyjmuje wartość ujemnę, dla innych zaś dodatnię, to mówimy, że Q Jest formę nieokreś-lonę.

Przykłady

2    o    2

1.    Forma kwadratowa określona wzorem Q(h) ■ h| ♦ ... ♦ h* » I hI ^

Jest oczywiście dodatnio określona, zaś forma -Q Jest ujemna.

2.    Oeśll Q(h) - hf ♦ ••• ♦    to Q(0,•••,0,l)< 0 oraz

Q(1,0,...,0) > 0 co oznacza, że forma Q Jest nieokreślona.

3.    Fprma kwadratowa określona wzorem Q(h) ■ (h^ ♦ ... ♦ h_n)² Jest nieujemna, ale nie jest ona formę dodatnię (dlaczego?).