MAT25

25

¹    2    i    2    y

f , ^dx = f —‘&— + f ^dx = lim [    , ^dx + lim f , ^dx =

f ~jś~=r— f —■ ^dx =24 [ _i^rf(2jt~^l) =arcsin(2.v - 1).

^J w ^J /mho^{1 2 J} /hSTTF

= lim |^arcsin^2 • — - 1^ - arcsin(2a - 1) J + jim [^arcsin(2/? - 1) - arcsin^2 • y - 1 ^ J =

= arcsinO - arcsin(-l) + arcsin 1 - arcsinO = n.

Bardzo często, szczególnie w zastosowaniach, trzeba stwierdzić, czy całka niewłaściwa istnieje. W takich problemach najczęściej stosujemy odpowiednie kryteria, które cytujemy niżej.

Tw. (kryterium porównawcze). Jeżeli funkcje rzeczywiste figsą określone na przedziale [a. b[cz R oraz 0 <f[x) < g(x) dla każdego x g [a,b[, to b    b

1⁰ z istnienia [ g(x)dx wynika istnienie    a ponadto jest spełniona nierówność

a    a

b    b

| /(.v)r/.Y < J g(x)dx;

a    a

b    b

2° jeśli nie istnieje \f[x)dx, to również nie istnieje [ g(x)dx.

a    a

Z kryterium porównawczego wynika natychmiast następujące

Tw. Jeżeli odwzorowanie f : R zd [a,b\-> R jest nieujemne na przedziale [«,&[, to z istnienia b    b

||/(.v)!<r/.v wynika istnienie całki ^f[x)dx.

a    a

Def. Mówimy, że funkcja f: R zo (//,&[-* R jest całkowalna bezwględnie na przedziale [«,£[, gdy

b    b

istnieją całki j"f{x)dx i |i/(.v)|r/.v.

a    a

Odnotujmy pewne własności całek niewłaściwych, podobne do własności zwykłej całki oznaczonej w sensie Riemanna.

Tw.

1° Jeżeli odwzorowania fg:Rzo [a, 6[-+ R są całkowalne w przedziale oraz a. fi e R, to

b    b    b    b

J[q/W + Pg(x)]dx = a |J[x)dx + p J g(x)dx ^,f[x)dx.

a    a    a    a

2° Jeżeli funkcja f : R => [a,6[-> R jest całkowalna bezwględnie na przedziale [a,b[, to

Uwaga. Jak już wiemy z faktu, że/G /,([«, Z»]) wynika, żef² g L([a,b]) oraz J/[g L([a,b]). Dla całek niewłaściwych takie twierdzenie nie jest prawdziwe, o czym świadczą odpowiednie przykłady (zobacz zadania).

Zadania

1. Obliczyć całki niewłaściwe

‘■J

dx

7TT ’

Opracował: Marian Malec