117
Rozdział 9. Dynamika procesu uczenia sieci neuronowych
Do tego samego wniosku można dojść także na innej drodze. Rozważmy tak zwany punkt stały równania dynamiki uczenia, to znaczy taką wartość W", dla której rozwiązanie równania
d\V
— = (o I - 0 W WT) X
przestaje się zmieniać, to znaczy dW/dt = 0. Rozważmy ten warunek przy podstawieniu X = X oraz W = W. Wówczas
{cni — 0 W’ W"7') X = 0
Spróbujmy znaleźć rozwiązanie w postaci W* = pX, gdzie p jest poszukiwaną stalą. Po podstawieniu tej „odgadniętej” formuły otrzymuje się równanie
0 X - 0pXp(XT X) = 0 | |
a z niego |
otX = 0 p' ||X|| X |
i dalej |
P VF||X|| |
a zatem |
w* _ v |
Przypadek 4. Zagadnienie liczenia jest dwuliniowe, gdyż obie rozważane funkcje są liniowo zależne od y : <f> = ol t/, 7 = 0y. Wówczas
—<*VX—fiyW
albo — uwzględniając równanie opisujące funkcjonowanie neuronu
dW — T
—— = « X XT W - fł W WT X dt
Wprowadzając oznaczenia:
E { X | W } = X
oraz
E{XXr|W}= Cxx
gdzie CXx jest macierzą kowariancji składowych wektora X, otrzymujemy równanie:
<7IV
łatwo rozpoznawalne jako równanie Bernouliego drugiego stopnia. Ustalenie zachowania rozwiązań tego równania nie jest tak łatwe, jak w poprzednio rozważanym przypadku: w szczególności poszukiwanie punktu stałego W* za pomocą warunku ~ = 0 prowadzi do trywialnego rozwiązania W’ = 0, całkowicie nieprzydatnego w naszych rozważaniach. Łatwo można jednak wykazać, że rozwiązaniem (określającym punkt stały równania) są