Scan10022

gdzie współczynniki ^ai»^a2i“-»^am(^an ^ 0) e Z. a_B £ 2..

TWIERDZENIE

Jeżeii liczba z = x + yi jest pierwiastkiem wielomianu ^K(^z) o współczynnikach rzeczywistych to liczba z = x~yi iest również pierwiastkiem.

PRZYKŁAD

Rozwiązać równanie:

Z⁴+2z³+2z²-2z-3=0

Bez trudu zauważymy, że W(i)=W(-l)=0 czyli 2 pierwiastki: z_:=i, z?=-l.

W takim razie W(z) dzieli się bez reszty przez (z-l)(z+l)=z²-l ^ z podzielania uzyskan y wynik to z²+2z+3.

Trójmian ten ma A <0, więc pierwiastki będą zespolone i zgodnie z^rpoprzednim tw. są do siebie sprzężone:

A = 4-12 = -8 —► -s/A = \/-8 =    =2    •[

Równania różniczkowe zwyczajne

Podstawowe określenia.

DEF.

Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie, w którym niewiadomą jest funkcja jednej zmiennej i w którym występuje przynajmniej jedna pochodna jakiegoś rzędu tej funkcji.

Np. (1) y'+l=C ; (2) y'"-4y'=e^x ; (3) y"=5 Itd.

DEF.

Rzędem równania różniczkowego nazywamy rząd najwyższej pochodnej występującej w tym równaniu.

Tak więc:

(1)    - równanie różniczkowe I-go rzędu

(2)    - równanie różniczkowe Iii-go rzędu

(3)    - równanie różniczkowe Ii-go rzędu

Ooólna postać równania różniczkowego n-tego rzędu jest następująca:

F(x, y, y',-..,y⁽ⁿ⁾) = 0.

W szczególności F(x, y, y') = 0 - równanie różniczkowe I-go rzędu w postaci ogólnej. DEF.

Równanie postaci (I):y^,=f(x,y) (postać jawna) nazywamy równaniem różniczkowym

i