ZADANIA STR 43

Y((*y « 07 /    * l ^w

, ounij 1 \n 1 i.)    &oy •

sinn    ^ , 2\ⁿ

,c)a„=(J + -J .

»J 1 ll<< lililAJO

\ rc+1 ^

*J^a““_n + 2^,b>⁰ⁿ    2«

2j Zbadać monotoniczność ciągu (a_u), gdy

n + 3 _1X . n + 5 __x _ 2n+l _JX _

a) ctfi ■—    _{t Ą}, by 0>it ‘    » ej cifi — n > dy a,j

ć<vil 9 ^

n + 4 ad a)    &n.

ii

ad b) cijri-i—i    u??,

ad c) ćtji-f-j ™

n + 4'

n + 4 n 4- 3

n + 5 n f4 ■ y_ n + 6 n + 5

n+5    n+4

n + 2 1

(n + 5) (n + 4) 1

>0

2^

n!

2n + 3 2n + lV

(n + 5) (n + 4)

<(

ad d)

&«-+*!

₂n+l

n + 3 n

•    o_ v. n

IjTjf “ (»+3)(n+2) ^{> U}

ni

xr < 1 dla n > 1, ai = 2, a-2 — 2

a_n (n + 1)! 2^{n n+l} 3. Wykazać, że:

. .. 2n +1    2    2n² +1    2

^; a—oo3n — 1    3    n—*00 5n² + n    ^K

2n^2 + 1 2		—5 + 2n	2n — 5 ^ 2n 2
5??.^2 + n 5		5n (5n + 1)	5n (5n + 1) ^ 5n (5n + 1) 5 (5n + 1)
4. Wykazać, że Hm ja„ j — 0 <=> lim an = 0.

5. Obliczyć granicę ciągu (a_n), gdy: _x    n + 2    _3«²+6n~~l

^a) °* ~ SIT?’ ^}    ~ 4n² + 3n + 6

1-2+3-4+.

,    1 + 2 + 3 + ... + n .

’ ^{C) _} (2n — 1} (n + 3) ’ ^d) °"

1 + 2 + 4 + ... + 2n

n² + 7n — 1

<4 a

n² + n + 2 .. l + 2+... + n n + l .

^f)n,1 = —TT2——2~.g)°.

j) «» ~ v^«T+T — \/2n² + 2, k) a_r

2n^__ (1 + 3 + 5 + ... + (2n — 1)) — (2 + 4 + ... + 2n) ^

n² + n + 2

3*+i ₊ 4«+2    4.5«+2 ₊ 5.₆«+2

5»»-i 4. 4a-2^; >^an “ 2 * 3ⁿ+² + 4 • 6ⁿ~^ł 3n + 1 ~ \/9?i² + 2, ł) a_n = ybi⁴ + ?z² — \/n⁴ — n²,

i) a_n = 's/n² + T-?i,

JL

2-3

\/ 'TL^¹ -?-• 7 -r— ^2    _____ 1

—•—*p=;i..rT,■■■.•..■,, m) c,_t = %/2ⁿ + 3ⁿ + 7^m. u) n,_Ł ~ 1/3 - 4ⁿ+¹ + 6 • 7²ⁿ⁺¹. o'!    = -- +

n — v n² + 8    •    *    1-2

1    11    1    _x    n² •    /    1\^M

+ ™—p) a_n — ttt; + 7'To +    + 7ĆI ówel .    <ł) «n = ^^{1 r}) ^an “ ( ^x “ ^ j »

?7 (n +1) ’ ^ ⁿ 2-7    7-12    "    (5n~3)(5n + 2)^:

M’*^S    ,/3B-l\^3n+l . (Zn — X\ⁿ⁺³ ,    -H4n² 4-4n H-1V

) ’^t)a"⁼lSmJ ’ ^U) “ (>TTj »^v>^a»~\_t-n»+8»³+n j

n^£

n^A

((« + 1) (;i² + 3n + l) ~ n³+4n²+4n + l), w) a„ = (1 + -^    1 +

1 +

r22e")

6. Jeśli «_n > 0 i lima_n = a, to lim — y/a.

^ 2vS^|a’*    ^o|’

' Gtyi “j" y (i

7. Obliczyć granicę ciągu (a„),gdy ai - y/2, a_n+1 = y/a_n + 2.

2 — y&i +2 — \Zy§ + 2, «3 — y«2 + 2 = yv^+2+2.

\jyj7jź

«2

(t4 ~ ya₃ + 2

+2+2+2

l^a (+) jest rosnący:!) jeśli «„ > a_njl, to a_n+1 > a„:

®n-rl &h ^=: y^n +~2 Cl_n = CLn + 2 — yCl_n_ j + 2 >

> y4,i_3 + 2 — ya_n_x + 2 = 0.

2° Ciąg («_n) jest ograniczony;®,* 2.

ai = \/2 < 2

.Jeśli a_n < 2, to a_><+l ^ 2: a«-fi = y«uT2 ^ y§T2 — 2.

Zatem (a_n) jest zbieżny do liczby g. Wtedy yo^ jest zbieżny do liczby ^/g. Stad g ~ y/g + 2. Solution

1