0000001

WYDZIAŁ MECHANICZNO - TECHNOLOGICZNY

AiR sem.l studia int-mgr, rok 2008-2009 Zestaw 1

Zagadnienia: rachunek wektorowy, kinematyka punktu materialnego (m.in. rodzaje ruchu, ruch dwuwymiarowy w płaszczyźnie - rzuty, ruch po okręgu)

1.    Dane są dwa wektory: A = 27 + 6/ -10£oraz B = -4] + k ■ Obliczyć: a) długość każdego wektora, b) iloczyn skalarny i wektorowy, c) kąt zawarty między wektorami.

2.    Siła P = 57-2] + 7lć N działa na punkt P(5, 2, 2) m. Jaki jest moment tej siły względem początku układu współrzędnych 0(0,0,0) a jaki względem punktu Q(0, 5, 0) ml

3.    Położenie ciała w układzie współrzędnych XY opisuje wektor /*(/) = [r +3/ -4.2], gdzie t - czas liczony w sekundach. Współrzędne wektora są wyrażone w metrach. W jakiej chwili czasu t_x odległość tego ciała od początku układu współrzędnych jest najmniejsza? Ile ona wynosi?

4.    Dwie cząstki A i B poruszają się wzdłuż osi OX i OY z prędkościami v =27 ^m oraz = 5] ^m . W chwili t₀ są one w

s    s

punktach o współrzędnych P_Ao =(3m, 0) i P_Bo =(0, -3m). Znajdź wektor, który określi położenie cząstki B względem cząstki A w funkcji czasu. Kiedy i gdzie te cząstki będą najbliżej siebie?

5.    Trzy siły 3F, 4F, 5F działają na cząstkę F = 2 N. Cząstka porusza się jednak ruchem jednostajnym prostoliniowym, wobec

tego, jakie są kierunki i zwroty działania sił. Narysuj i ewentualnie    wykonaj obliczenia.

6.    Jednocześnie wyrzucono w górę dwa ciała: jedno z    prędkością v, =    25    m/s,    drugie    pod    kątem

a = 30° do poziomu z prędkością v₂ = 30 m/s. Znaleźć ich prędkość względną

7.    Punkt materialny porusza się wdłuż osi OX zgodnie z równaniem    x(t)=At - Bt², gdzie    A =    3cm/s i B=0,5    cm/s².    Znajdź

średnią prędkość w ciągu pierwszych 2, 6, 10 sekund ruchu    oraz czas po którym odległość    od początku    układu

współrzędnych jest maksymalna. Oblicz średnie przyspieszenie między 5 i 10 sekundą ruchu i przyspieszenie chwilowe w 11 sekundzie ruchu.

8.    Punkt materialny porusza się w płaszczyźnie XY, przy czym zależność współrzędnych położenia punktu od czasu podają następujące zależności:

a* = At², y = B + Ct², gdzie A = 5 m/s², B = 2 /«, C = 4 m/s².

Opisać ruch ciała przedstawiając na wykresie:

•    tor punktu materialnego postaci funkcji y = f(x),

•    zależność prędkości oraz przyspieszenia punktu materialnego od czasu.

9.    Ciało spadające swobodnie ma w punkcie A prędkość v_A = 30 cm/s a w punkcie B prędkość v_B = 300 cm/s. Oblicz odległość AB wiedząc, źc przyspieszenie ziemskie wynosi g.

10 .Pod jakim kątem do poziomu należy wyrzucić ciało, aby zasięg rzutu był równy największej wysokości na jaką wzniesie się ciało.

11.    Ciało wyrzucono pod kątem a do poziomu z prędkością początkową v₀. Oblicz na jaką wysokość wzniesie się ciało, jak daleko upadnie od miejsca wyrzucenia oraz jak długo będzie trwał ruch. Wyznacz trajektorię ruchu ciała w postaci funkcji

y = f(x).

12.    Wyprowadź równanie toru poruszającego się ciała w rzucie poziomym oraz wyznacz przyspieszenie styczne i normalne po czasie t. Ciało wyrzucone jest poziomo z wysokości H z prędkością v₀.

13. Pod jakim kątem do poziomu należy wyrzucić ciało, aby zasięg rzutu był równy największej wysokości na jaką wzniesie się ciało.

14.    Koło o promieniu R = 1 m obraca się ze stałym przyspieszeniem kątowym 8 = 2 rad/s². Znaleźć, dla punktów leżących na obwodzie koła, po czasie t = 0.5 s licząc od rozpoczęcia ruchu:

•    prędkość kątową i liniową,

•    przyspieszenie styczne, normalne i całkowite,

•    kąt między kierunkiem przyspieszenia całkowitego promieniem koła.

15 .Punkt materialny porusza się po okręgu z prędkością v = at. gdzie a = 0,50 m/s². Znaleźć jego przyspieszenie po wykonaniu n = 0,10 obrotu