Wyklad (17)

17

dl I

R — + — = a)U₀cos(ot    mit I(0)=0

dt C

Lose das Anfangswertproblem.

Aufgabe 14. Ein Kórper mit der Masse m bewegt sich in einem Medium geradlinig und erfahrt eine zur Zeit proportionale Kraft und eine zur Geschwindigkeit proportionale hemmende Kraft des Mediums. Die Bewegung beginnt zur Zeit t=0.

Wie andert sich die Geschwindigkeit mit der Zeit?

Aufgabe 15. Ein Ohmscher Widerstand R eine Spule mit der Induktivitat L und eine Stromąuelle mit der Spannung U₀ - xt werden zur Zeit t=0 in Reihe geschaltet. Wie andert sich die Stromstarke mit der Zeit? Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung

Eine Differentialgleichung von Typ

y"+M*)y'+f₂(x)y = M^x)    0)

heifit lineare Differentialgleichung 2. Ordnung, wobei f_x, f₂ und /₃ gegebene auf einem offenen Intervall stetige Funktionen bedeuten. Wir betrachten zumachst den Fali der homogenen Gleichung, bei der f₂(x) = 0 d.h

y''+M*)y'+M*)y = o    (2)

Definition. Zwei Funktionen ę_x (x) und ę₂ (x) heiBen auf I=(a;b) linear unabhangig genau dann, wenn keine von ihnen identisch verschwindet (tożsamościowe równe zeru) und keine aus der anderen durch Multiplikation mit einer Konstanten hervorgeht.

Satz 1. Wenn die Funktionen <p_x(x) und <p₂(x) Lósungen der homogenen Dgl (2) sind C_x und C₂ beliebige Konstanten bedeuten, dann ist auch die Funktion

<p(x) = c, ę, (*) + C₂ ę₂ (x)    (3)

eine Losung derselben

Beweis. GemaB der Yoraussetzung erflillen ę_x (x) und <p₂(x) die Dgl (2). Es gilt also

\y"+A<Pt'+f2<p_l =o    ,₄₎

=o

Setzt man (3) in (2), so erhalt man

C,<P)' '+C₂<P₂''+/, (C, ip, '+C₂tp₂') + f₂ (c, (», +C₂ę₂) = C_t(<f>,’'+/, <P_t '+/₂ę>i )+C₂((p₂'^,+f_lę₂'+f₁ę₂)    (5)

Die Ausdrucke in den Klammem sind nach (4) nuli und das bedeutet, dass der ganze Ausdruck (5) identisch verschwindet und das heiBt, dass (3) die Dgl (2) befriedigt, w.z.b.w.

Satz 2. Sind ę_x (x) und (p₂{x) linear unabhangige Lósungen der homogenen Dgl (2), dann ist jede Losung in der Form

(6)

<p(x) = C₂ę_](x) + C₂ę₂(x)