Wyklad (24)

24

2yj/3¹ -0)

e ^ptsh*\p¹ -co¹\

(25')

Daraus ist ersichtlich, da sowohl e * ais auch sh yj(j3 - co¹)t (flir t > O ), positiv sind, dass x_h > O. Aus (23) geht hervor, dass die Auslenkung von t=0 von nuli ansteigt. Diese Tatsachen und der Grenzwert lim x_h(t) - O

r-+o

bedeuten fur die stetige Funktion (25).

dass sie ein Maximum hat, das an Hand der Bedingung Xh - 0 gefunden werden kann.

3. Man spricht von einem aperiodischen Grenzfall, wenn P -W₀. Die charakteristische Gleichung hat jetzt eine zweifache Nullstelle

1 II	(26)
x„=e-^f,(Cl+C2t).	(27)

und die Lósung der Dgl lautet

Wahlen wir nochmals die Anfangsbedingung (23), dann erhalten wir

*» = te-*".    (28)

Diese Gleichung bedeutet, dass die Ausleckung x nichtnegativ ist und x_h -> 0 fur t -» oo. Die Funktion hat also wie zuvor ein Maximum. Die notwendige Bedingung flir eine Extremstelle ergibt, dass sie bei

max

(29)

auftritt und

₌ Ys_

Pe b). Erzwungene Schwingung

Der bisher behandelte Oszillator (oder Schwinger) war sich selbst uberlassen. Jetzt wird eine aiiBere Kraft beriicksichtig, die sich nach (5) harmonisch andert. Es bleibt uns noch ubrig eine spezielle Losung der inhomogenen Dgl (7)

(30)

1

*

x+ 2P x+ w₀ x- f₀ cos co t mit jc(0) = x₀, jc(0) = v₀